基于粒子群優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID的閥門開度控制

朱 敏，臧昭宇，趙聰聰

（合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

調(diào)節(jié)閥在工業(yè)控制系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，在化工、冶煉、核電和污水處理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用[1]。然而調(diào)節(jié)閥工作環(huán)境惡劣，具有非線性、滯后性和時(shí)變性等特征，導(dǎo)致閥位控制易超調(diào)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間長(zhǎng)。在閥門開度控制策略方面，國內(nèi)外學(xué)者做了很多工作。文獻(xiàn)[2～3]提出新的滑?？刂破鳎瑴p少抖振并保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4～5]針對(duì)閥門定位器精度較差的劣勢(shì)引入模糊控制，提高了系統(tǒng)控制精度和響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[6]提出基于模型的自適應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器，所提出的觀測(cè)器有效且易實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[7]將仿人智能控制應(yīng)用到閥門開度控制系統(tǒng)中，使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。文獻(xiàn)[8]提出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PI控制器，所提出方法具有良好控制效果。其中有些策略還在研究階段，至今實(shí)際工程應(yīng)用中仍以PID控制器或PI控制器為主，難以實(shí)現(xiàn)對(duì)閥位精確有效的控制，通常出現(xiàn)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間長(zhǎng)，穩(wěn)態(tài)誤差較大的缺點(diǎn)[9,10]。

目前少有學(xué)者將分?jǐn)?shù)階控制理論應(yīng)用到閥門開度控制系統(tǒng)中，分?jǐn)?shù)階PID在原有的PID控制器基礎(chǔ)上增加了微分階次λ和積分階次μ，盡可能地提高系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，可以靈活的調(diào)節(jié)被控系統(tǒng)，使之達(dá)到要求的性能指標(biāo)。因此，針對(duì)閥門開度控制系統(tǒng)，本文將分?jǐn)?shù)階微積分和PID控制器相結(jié)合，采用最新提出的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法對(duì)控制器參數(shù)整定，設(shè)計(jì)閥門開度PIλDμ-氣室氣壓P的串級(jí)控制方法，通過整定6個(gè)參數(shù)（Kp1，Ki，Kd，λ，μ，Kp2）以獲取合理的控制器參數(shù)值。仿真結(jié)果表明，所提出的控制方案提高了閥位控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性，為控制閥門開度提供了一種可靠的方法。

1 閥門控制系統(tǒng)工作原理和建模

調(diào)節(jié)閥的串級(jí)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案如圖1所示，它由分?jǐn)?shù)階PID控制器、比例P控制器、電氣比例閥、單/雙作用氣缸、調(diào)節(jié)閥、壓力傳感器和位移傳感器等部件組成。分?jǐn)?shù)階PID將接收的反饋閥位信號(hào)和上位機(jī)輸入的控制指令運(yùn)算處理后，輸出脈寬調(diào)制信號(hào)驅(qū)動(dòng)電氣比例閥，比例控制P將分?jǐn)?shù)階PID輸出的信號(hào)和接收的反饋壓力傳感器信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算處理，并輸出氣壓信號(hào)，進(jìn)而改變氣缸中的氣壓，帶動(dòng)調(diào)節(jié)閥中閥桿運(yùn)動(dòng)，從而改變閥門開度[11]。

圖1 調(diào)節(jié)閥串級(jí)控制系統(tǒng)

閥門控制的終端部分主要由電氣比例閥、單/雙作用氣缸、調(diào)節(jié)閥體組成。氣缸和調(diào)節(jié)閥共同組成氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。以雙作用氣缸為例，其控制的終端機(jī)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 閥門控制的終端機(jī)構(gòu)

電氣比例閥作為氣壓放大裝置，將電信號(hào)轉(zhuǎn)換成氣壓驅(qū)動(dòng)氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)完成閥門動(dòng)作。假設(shè)外部環(huán)境和氣源壓力恒定，氣動(dòng)介質(zhì)為理想氣體，對(duì)比例閥閥芯受力分析，有如下微分方程：

式(1)中，A1和A2分別為閥芯頂部和底部的截面積，k為彈簧系數(shù)，x1為彈簧壓縮量，p1和p2分別為先導(dǎo)腔壓力和比例閥輸出壓力，F(xiàn)f為摩擦力。由質(zhì)量守恒定律知進(jìn)入比例閥內(nèi)氣體質(zhì)量流量與氣缸內(nèi)質(zhì)量變化率相等，有：

G為氣缸氣體質(zhì)量流量。ρ為氣體密度，V為氣缸體積。假設(shè)氣體進(jìn)入氣缸過程瞬間完成，由熱力學(xué)第一定律：

cpGT為介質(zhì)內(nèi)能，T為理想氣體溫度，cp和cv分別表示比壓系數(shù)和比容系數(shù),dQ/dt為單位時(shí)間氣缸與外界交換的熱量；PdV/dt為單位時(shí)間氣缸氣體變化所做功。若氣體進(jìn)入氣缸立即充滿全腔且過程絕熱，則dQ/dt=0，pdV/dt=0。氣體壓強(qiáng)與氣體密度之間的表達(dá)式為：

R為理想氣體常數(shù)，根據(jù)氣體比熱r=cp/cv和R=cp-cv，由式(3)和式(4)得：

式(5)拉氏變換后為比例環(huán)節(jié)，驗(yàn)證了比例閥放大作用。綜合由式(1)和式(5)，為方便分析，可將比例閥可看作一個(gè)含有比例特性的二階震蕩環(huán)節(jié)。

薄膜氣缸可看作氣動(dòng)阻容環(huán)節(jié)，微分方程為：

p2為比例閥輸出壓強(qiáng)，p2為比例閥輸入壓強(qiáng)，T2為氣動(dòng)阻容時(shí)間常數(shù)，氣動(dòng)執(zhí)行器可看作含有純滯后的慣性環(huán)節(jié)：

其中T2=R·C,R=α·l/α，R為氣路氣阻，α為氣路截面積，α為氣阻系數(shù)，l為氣路長(zhǎng)度，K為放大系數(shù)。

對(duì)閥桿分析，當(dāng)氣缸中氣體作用在閥桿頂部膜片上的壓力大于閥桿受到的摩擦力和彈簧彈力之和時(shí)，閥桿會(huì)運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律得閥桿力平衡方程：

其中Fp為氣室壓力，F(xiàn)s為彈簧反作用力，F(xiàn)d為彈簧預(yù)緊力，F(xiàn)f為靜摩擦力，F(xiàn)vc為介質(zhì)反作用力。忽略Fvc,對(duì)式(8)展開得如下微分方程：

式(9)中m為閥桿部件質(zhì)量，p為氣缸相對(duì)氣壓，As為氣缸薄膜面積，Kf為氣缸中彈簧剛度系數(shù)，x和x0分別為彈簧壓縮量和彈簧預(yù)壓縮量，Kb為閥桿動(dòng)摩擦系數(shù)。忽略x0，因此閥桿運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的傳遞函數(shù)近似表示為：

2 分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階PID是在分?jǐn)?shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上對(duì)整數(shù)階PID的發(fā)展，其傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

圖3為分?jǐn)?shù)階PID控制器平面。由于多了兩個(gè)參數(shù)，使分?jǐn)?shù)階PID的可調(diào)參數(shù)更廣，控制器可以更靈活的控制被控對(duì)象，從而滿足復(fù)雜系統(tǒng)性能指標(biāo)。

圖3 分?jǐn)?shù)階PID控制平面圖

圖4為分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)模型。r(t)、u(t)和y(t)分別為系統(tǒng)輸入、控制器輸出和系統(tǒng)輸出。G(s)為被控對(duì)象。

圖4 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)模型

本文通過Oustaloup濾波法[12]，設(shè)近似頻段的范圍為[wb,wh]，將微積分分?jǐn)?shù)階算子近似成整數(shù)階形式，傳遞函數(shù)為：

式(12)中，K為增益，N為階次，w′k和wk分別表示零點(diǎn)和極點(diǎn)，其中：

式(13)中δ為分?jǐn)?shù)階階次。這樣通過濾波器就能使分?jǐn)?shù)階PID得以實(shí)現(xiàn)。

3 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法及改進(jìn)

3.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法[13]，又稱微粒群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization），源于對(duì)鳥群覓食等過程中的行為模擬。假設(shè)粒子種群的規(guī)模為S，粒子種群的搜索空間為D維，記X為第t次迭代所有粒子的位置，那么第i個(gè)粒子的位置為,設(shè)粒子i經(jīng)歷的最優(yōu)位置即個(gè)體極值為,整個(gè)粒子群的最優(yōu)位置即全局極值,設(shè)第i個(gè)粒子的第t次迭代速度為，則粒子i在t+1次迭代更新速度和位置的計(jì)算如式(16)所示：

式(16)中d=1,2,…,D,s=1,2,…,S。D為慣性權(quán)重系數(shù)，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，r1和r2為(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

3.2 改進(jìn)PSO算法

在PSO算法中粒子通過迭代產(chǎn)生新的位置，新的位置由前代的迭代位置和當(dāng)代的速度決定。粒子速度更新由三部分組成：粒子先前的速度，粒子的“自身認(rèn)知”部分和粒子的“群體認(rèn)知”部分。慣性權(quán)重ω決定上一代的種群速度對(duì)新一代的種群速度影響程度，當(dāng)慣性權(quán)重ω的取值較大時(shí)，粒子具有較強(qiáng)的全局探索能力，但收斂速度較慢；當(dāng)慣性權(quán)重ω的取值較小時(shí)，粒子具有較強(qiáng)的局部搜索能力，但容易陷入局部最優(yōu)。

典型的慣性權(quán)重ω取值采用線性遞減策略：

式(18)中t為當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax為最大迭代次數(shù)?；诰€性慣性權(quán)重遞減方法使得粒子在迭代前期和后期具有不同的慣性權(quán)重，一定程度上提高了尋優(yōu)能力，但在整個(gè)迭代過程中慣性權(quán)重的變化率是固定值，在局部搜索和全局搜索上強(qiáng)度一致，可能在全局搜索時(shí)找不到全局最優(yōu)或在迭代后期無法在全局最優(yōu)值更好的逼近。

文獻(xiàn)[14]使用改進(jìn)粒子群優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID，對(duì)權(quán)重系數(shù)最小值和最大值設(shè)置上下限，并使其隨迭代次數(shù)按照指數(shù)函數(shù)非線性降低。具體為：

式(21)和式(22)中α為冪系數(shù)，一般為正整數(shù)。wtmin和wtmax分別為第t次迭代慣性權(quán)重最小值和最大值。由圖5看出，慣性權(quán)重在迭代初期下降的很快，在迭代后期變化率減小，下降的慢。盡管該方法改變了慣性權(quán)重變化率，但存在缺點(diǎn)：粒子在迭代初期時(shí)具有較大的權(quán)重系數(shù)，隨著迭代次數(shù)增加，慣性權(quán)重快速下降，易使得在前期較少迭代的次數(shù)內(nèi)全局搜索不足導(dǎo)致找不到全局最優(yōu)解，或粒子群已找到全局最優(yōu)解但迭代后期慣性權(quán)重過小，粒子局部搜索能力較強(qiáng)而陷入局部最優(yōu)解，得不到最優(yōu)的結(jié)果。

因此本文提出新的方法對(duì)文獻(xiàn)[14]法進(jìn)行改進(jìn)，引入正弦變化將慣性權(quán)重公式改為：

取wtmin∈[0.3,0.6]，wtmax∈[0.7,1.2]，tmax=100，以冪系數(shù)α=3為例，文獻(xiàn)[14]和本文改進(jìn)法權(quán)重系數(shù)隨迭代次數(shù)增加的變化趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 權(quán)重系數(shù)變化趨勢(shì)對(duì)比

可以看出在迭代前期ω變化率小，下降較慢，粒子群在前期有較長(zhǎng)時(shí)間的全局搜索，有利于找到全局最優(yōu)解，搜索中期ω變化率大，下降迅速，在搜索后期粒子群具有較強(qiáng)的向全局最優(yōu)靠近能力，提高算法的優(yōu)化精度。

另外，在迭代過程中，不同粒子具有不同的適應(yīng)度值，高適應(yīng)度值的粒子離較優(yōu)位置遠(yuǎn)，適合使用較大權(quán)重系數(shù)以增強(qiáng)粒子全局搜索能力，低適應(yīng)度值的粒子離較優(yōu)位置近，適合使用較小慣性權(quán)重系數(shù)以提高粒子搜索精度。在每次迭代后，將所有粒子按適應(yīng)度值從高到低排序，排序后粒子i的適應(yīng)度值序號(hào)設(shè)為δi(i=1,2,...,S),則第t次迭代時(shí)粒子i的權(quán)重系數(shù)為：

PSO算法中學(xué)習(xí)因子c1和c2分別調(diào)節(jié)個(gè)體認(rèn)知部分和社會(huì)認(rèn)知部分在粒子飛行速度中所占比重，A.Ratnawecra等人提出了異步線性改變學(xué)習(xí)因子法[15]，即隨著迭代次數(shù)增大，學(xué)習(xí)因子c1減小，學(xué)習(xí)因子c2增加。在A.Ratnawecra等人的基礎(chǔ)上，本文對(duì)學(xué)習(xí)因子公式加入粒子適應(yīng)度值項(xiàng)，當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，適應(yīng)度小的粒子使用較大c1利于搜索全局空間遍歷，不會(huì)很快聚集到局部最優(yōu)；適應(yīng)度大的粒子使用較小c2利于粒子向全局最優(yōu)靠近。如式(26)所示：

c1min、c2min為學(xué)習(xí)因子c1的最小值，取值均為0.2；c1、c2為學(xué)習(xí)因子c2最大值，取值均為2.2；β1和β2為權(quán)值系數(shù)，分別取0.3和0.7。改進(jìn)后的公式綜合了迭代次數(shù)和粒子的適應(yīng)度值對(duì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行選取，將迭代次數(shù)和適應(yīng)度值序號(hào)賦予不同權(quán)重求取學(xué)習(xí)因子，提高獲得滿意最優(yōu)解的可能性。

3.3 改進(jìn)PSO對(duì)分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)整定

本文根據(jù)閥門控制系統(tǒng)的閥門開度輸出信號(hào)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)，將外回路分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)和內(nèi)回路比例參數(shù)（Kp1，Ki，Kd，λ，μ，Kp2）作為單個(gè)粒子6個(gè)分量，對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算。

根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的值衡量粒子群對(duì)參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果的好壞，選取ITAE性能指標(biāo)(系統(tǒng)的絕對(duì)值誤差和時(shí)間的積分)，可以反映系統(tǒng)的精確性和快速性，同時(shí)可兼顧較小超調(diào)量以盡量避免閥門開度控制產(chǎn)生超調(diào)；為防止外環(huán)控制量輸出過大在目標(biāo)函數(shù)中加入外環(huán)控制器輸出平方項(xiàng)。目標(biāo)函數(shù)為：

式(28)中，e(t)為控制誤差，u(t)為外環(huán)控制器輸出量，λ1和λ2為權(quán)重系數(shù)，λ1和λ2分別取0.999和0.001。

改進(jìn)PSO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)步驟如下：

步驟1：粒子種群初始化，包括種群的規(guī)模、最大迭代次數(shù)，搜索區(qū)域的范圍、粒子的初始速度和初始位置、慣性權(quán)重的最大值和最小值的范圍以及學(xué)習(xí)因子c1、c2的最小值和最大值.

步驟2：根據(jù)式(28)計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)度值.

步驟3：比較當(dāng)前粒子的適應(yīng)度值與個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值，取較優(yōu)值作為個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值并保存該位置。

步驟4：比較當(dāng)前粒子適應(yīng)度值和全局最優(yōu)適應(yīng)度值，取較優(yōu)作為全局最優(yōu)適應(yīng)度值并保存該位置。

步驟5：將種群中所有粒子適應(yīng)度值由高到低排序，并根據(jù)迭代次數(shù)確定權(quán)重系數(shù)最大值和最小值，然后計(jì)算粒子的慣性權(quán)重系數(shù)。

步驟6：由式(26)和式(27)確定學(xué)習(xí)因子c1、c2。

步驟7：更新粒子的速度和位置。

步驟8：判斷迭代是否結(jié)束，如果結(jié)束則退出，否則返回步驟2繼續(xù)迭代。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為檢驗(yàn)改進(jìn)粒子群優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)的效果，采用閥門開度PIλDμ-氣室氣壓P的串級(jí)控制思路，建立雙閉環(huán)閥門開度控制系統(tǒng)模型，內(nèi)環(huán)使用比例系數(shù)P控制電氣比例閥輸出氣室氣壓信號(hào)，提高系統(tǒng)快速性和抗干擾性，外環(huán)采用PIλDμ控制器以獲得精確的閥門開度。

利用Simulink搭建閥門開度控制系統(tǒng)模型。設(shè)置粒子群規(guī)模S為50，最大迭代次數(shù)tmax=100，最小適應(yīng)度值為0.1，權(quán)重系數(shù)最小值范圍取wtmin∈[0.3,0.6]，最大值范圍取wt

max∈[0.7,1.2]；學(xué)習(xí)因子最小值c1min、c2min均取0.2，學(xué)習(xí)因子最大值c1max、c2max均取2.2。冪系數(shù)α取3。外環(huán)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)取值范圍為：Kp1∈[0.01,20]，Ki∈[0.01,10]，Kd∈[0.01,10]，λ∈[0.1,2]，μ∈[0.1,2]，內(nèi)環(huán)比例參數(shù)Kp2∈[0.01,20]。給定系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)。將標(biāo)準(zhǔn)PSO算法、文獻(xiàn)[14]改進(jìn)的PSO算法、本文改進(jìn)的PSO算法三者各進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，取平均值作為參數(shù)對(duì)比，得到平均適應(yīng)度值曲線如圖6所示。

圖6 最優(yōu)個(gè)體平均適應(yīng)度變化

如圖6所示，標(biāo)準(zhǔn)PSO算法和文獻(xiàn)[14]改進(jìn)法分別在36代和22代基本趨于穩(wěn)定，本文改進(jìn)法在18代趨于穩(wěn)定，本文收斂速度較快。文獻(xiàn)[14]改進(jìn)算法和本文改進(jìn)PSO算法收斂精度分別為5.33和4.42?？梢钥闯霰疚母倪M(jìn)的算法在收斂精度上更優(yōu)。

將三種方法優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)值進(jìn)行閥門開度控制的仿真實(shí)驗(yàn)，取控制參數(shù)的平均值，在單位階躍輸入下得到控制效果如圖7所示。

圖7 三種算法階躍響應(yīng)對(duì)比

將四種算法的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間以及穩(wěn)態(tài)誤差三項(xiàng)控制指標(biāo)性能對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 四種算法性能指標(biāo)

由圖7和表1可以得出，本文改進(jìn)的PSO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID算法超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差較另三種算法小，且調(diào)節(jié)時(shí)間最短。另外，根據(jù)表1也不難看出，分?jǐn)?shù)階PID較整數(shù)階PID使系統(tǒng)有更優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能。

在16s后，對(duì)內(nèi)環(huán)施加幅值為0.1的階躍擾動(dòng)，系統(tǒng)的相應(yīng)輸出曲線如圖7所示。

由圖8看出系統(tǒng)在加入擾動(dòng)后，本文提出的改進(jìn)方法在受到擾動(dòng)后可以更快速地恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)，有更好的抗干擾性。

圖8 不同算法的抗擾動(dòng)曲線

5 結(jié)語

為提高閥門開度控制的精度，本文設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器，采用閥門開度PIλDμ-氣室氣壓P的串級(jí)控制思路，通過引入適應(yīng)度值對(duì)慣性權(quán)值自適應(yīng)調(diào)整，并綜合迭代次數(shù)和適應(yīng)度值選取學(xué)習(xí)因子，將改進(jìn)的粒子群算法對(duì)Kp1，Ki，Kd，λ，μ和Kp26個(gè)參數(shù)優(yōu)化。

仿真結(jié)果表明，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)PSO優(yōu)化整數(shù)階PID、標(biāo)準(zhǔn)PSO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID和文獻(xiàn)[14]改進(jìn)PSO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID這三種方法，本文改進(jìn)PSO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID的調(diào)節(jié)時(shí)間快，超調(diào)量小，收斂精度更好，使控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，為閥門開度控制研究提供了參考。