六自由度協(xié)作機(jī)器人絕對(duì)定位精度標(biāo)定研究

馮利民，俞經(jīng)虎*，王延玉，朱行飛，劉佳怡

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，無(wú)錫 214122；2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，無(wú)錫 214122；3.長(zhǎng)廣溪智能制造（無(wú)錫）有限公司，無(wú)錫 214000)

0 引言

機(jī)器人的定位精度是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)。然而由于加工、裝配等原因，機(jī)器人的絕對(duì)定位精度遠(yuǎn)低于某些應(yīng)用要求，因此提升機(jī)器人的絕對(duì)定位精度已成為國(guó)內(nèi)外機(jī)器人研究人員重點(diǎn)關(guān)注的問題[1]。機(jī)器人的絕對(duì)定位精度主要受幾何因素與非幾何因素的影響，其中幾何因素主要包括裝配誤差、制造誤差、磨損等，其引起的誤差占對(duì)總誤差的80%[2]。因此在提高機(jī)器人定位精度研究中，大多數(shù)研究者主要研究幾何因素，對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行精確標(biāo)定。

目前運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法一般分為四步：誤差建模、誤差測(cè)量、參數(shù)辨識(shí)和誤差補(bǔ)償[3]。對(duì)于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定，通常重點(diǎn)在于誤差建模與參數(shù)辨識(shí)。文獻(xiàn)[4]建立了基于微分變換的誤差模型，并將其運(yùn)用到運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定；文獻(xiàn)[5，6]對(duì)工業(yè)機(jī)器人建立了完整的串聯(lián)機(jī)器人微分誤差模型，通過最小二乘法進(jìn)行辨識(shí)，試驗(yàn)驗(yàn)證了誤差模型的有效性；文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Lavenberg-Marquardt算法對(duì)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)，有效提升了工業(yè)機(jī)器人的定位精度。上述文獻(xiàn)表明，運(yùn)用微分變換方法對(duì)誤差建模、使用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)能有效對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

本文為實(shí)現(xiàn)精確標(biāo)定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，簡(jiǎn)化標(biāo)定過程，推導(dǎo)了基于微分變換的末端位姿線性誤差模型，并且采用激光跟蹤儀測(cè)量計(jì)算位置誤差，并且將其代入該方程用于離線參數(shù)辨識(shí)，最后在Lavenberg-Marquardt算法改進(jìn)的最小二乘法基礎(chǔ)上，再次對(duì)Lavenberg-Marquardt算法進(jìn)行改進(jìn)求解參數(shù)誤差，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)完成補(bǔ)償修正。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文所研究的對(duì)象為長(zhǎng)廣溪智能制造公司新研發(fā)的六自由度協(xié)作機(jī)器人，其由六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)構(gòu)成，各關(guān)節(jié)采用模塊化設(shè)計(jì)，具有碰撞檢測(cè)、拖動(dòng)示教等功能，相對(duì)傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人具有較好的安全性，可較好的實(shí)現(xiàn)人機(jī)協(xié)作功能。

首先采用DH法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其原理是通過建立機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系，得到各個(gè)關(guān)節(jié)之間的坐標(biāo)關(guān)系，通過各坐標(biāo)系變換矩陣相乘來(lái)描述機(jī)器人末端相對(duì)基座的位姿關(guān)系。根據(jù)DH參數(shù)建立規(guī)則與協(xié)作機(jī)器人的自身機(jī)械結(jié)構(gòu)，可得到協(xié)作機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系（如圖1所示）與DH參數(shù)表，如表1所示。

圖1 協(xié)作機(jī)器人本體模型

表1 協(xié)作機(jī)器人DH參數(shù)表

圖2 六自由度協(xié)作機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

運(yùn)用機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)可在已知機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)與各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角情況下，推導(dǎo)出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)關(guān)節(jié)i相對(duì)于關(guān)節(jié)i-1的理論位置與姿態(tài)，此時(shí)可得到關(guān)節(jié)i與關(guān)節(jié)i-1之間的轉(zhuǎn)換矩陣T：

式(1)中，c為cos的縮寫形式，s為sin的縮寫形式。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型

2.1 單連桿誤差模型的建立

由式(1)可知，當(dāng)連桿參數(shù)ai-1、αi-1、di、θi存在一定誤差，且誤差足夠小時(shí)可用微分方程表示誤差方程，此時(shí)單個(gè)連桿運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生dTi的變量誤差，連桿坐標(biāo)系由理論位姿Ti變?yōu)門i+dTi，根據(jù)微分變換[8]，dTi與各連桿參數(shù)間的線性關(guān)系式為：

式(3)中，Δai、Δαi、Δdi、Δθi分別為連桿長(zhǎng)度ai、連桿扭角αi、連桿偏置di、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi的誤差量。

2.2 多連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型的建立

當(dāng)機(jī)器人有n個(gè)自由度時(shí)，結(jié)合上述單連桿的誤差方程，將機(jī)器人多個(gè)連桿的微分變換的誤差方程聯(lián)立分析。設(shè)機(jī)器人末端相對(duì)于基座標(biāo)系的位姿變換矩陣為TN，其誤差矩陣為dTN，則此時(shí)實(shí)際位姿可由式(7)所示：

當(dāng)誤差量較小時(shí)，二階以上微分誤差項(xiàng)忽略不計(jì)[14]，此時(shí)可得到：

根據(jù)式(7)可得到：

為簡(jiǎn)化式(8)，將機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)換矩陣用Ni表示：

將式(8)、式(9)、式(10)聯(lián)立，此時(shí)可得到n自由度關(guān)節(jié)末端的誤差矩陣模型：

由式(11)可得到位姿誤差一般形式[9]：

最終可將誤差模型簡(jiǎn)化表示為：

最終，將機(jī)器人末端相對(duì)于基座的誤差表示為待辨識(shí)的雅克比矩陣J與DH的參數(shù)誤差矩陣u的乘積。本文研究對(duì)象為6自由度協(xié)作型機(jī)器人，測(cè)量關(guān)節(jié)角組數(shù)為30組時(shí)，在式(12)中，Δe是一個(gè)180×1的矩陣，表示理論位姿與實(shí)際位姿的差值；J是一個(gè)180×24的矩陣，表示基于誤差的雅克比矩陣；u是一個(gè)24×1的矩陣，表示DH參數(shù)誤差。

2.3 參數(shù)辨識(shí)

在建立機(jī)器人末端相對(duì)于基座坐標(biāo)系的誤差模型后，需要對(duì)模型求解得到DH參數(shù)誤差。由于DH模型有4個(gè)參數(shù)，即對(duì)于n連桿串聯(lián)機(jī)器人有4n個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，一組誤差參數(shù)有著6個(gè)參數(shù)dx、dy、dz、δx、δy、δz，只能列出6個(gè)方程，若要解出所有參數(shù)，則需要取大于4n/6的整數(shù)組數(shù)據(jù)。對(duì)試驗(yàn)得到的多組數(shù)據(jù)處理，可得到一個(gè)超定的線性方程組。求解DH參數(shù)誤差時(shí)通常采用最小二乘法，然而當(dāng)雅克比矩陣的列之間存在線性關(guān)系時(shí)，采用普通的最小二乘法求解會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象，進(jìn)而影響計(jì)算結(jié)果，因此常見的解決辦法采用式(13)所示的Lavenberg-Marquardt算法對(duì)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn)[10]，其求解方程為：

式(14)中，I表示單位矩；k表示組合系數(shù)，初值為0.01。

本文考慮到迭代的收斂速度以及參數(shù)辨識(shí)精度，將組合系數(shù)k與迭代前后位姿誤差相結(jié)合，提升其辨識(shí)精度，在Lavenberg-Marquardt算法（L-MA）的基礎(chǔ)上，再次對(duì)辨識(shí)算法進(jìn)行改進(jìn)，其組合系數(shù)如式(15)所示：

式(15)中，v表示調(diào)節(jié)因子，本文取10；Δei與Δei+1分別表示迭代第i次與第i+1次的平均位置誤差。

將組合系數(shù)代入式(14)，最終得到改進(jìn)的迭代L-MA辨識(shí)算法的求解公式：

當(dāng)標(biāo)定后的位置誤差滿足本次標(biāo)定機(jī)器人精度要求時(shí)，迭代停止，輸出此次辨識(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。標(biāo)定過程流程如圖3所示。

圖3 標(biāo)定算法流程圖

3 機(jī)器人標(biāo)定試驗(yàn)與分析

3.1 仿真分析

為驗(yàn)證本文的線性誤差模型，首先預(yù)設(shè)一組較小的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差如表2所示，設(shè)置機(jī)器人空間可變姿態(tài)范圍內(nèi)的30組關(guān)節(jié)角，用MATLAB仿真分析計(jì)算得到實(shí)際的機(jī)器人末端位置與理論位置，進(jìn)而得到標(biāo)定前的位置誤差，將其代入式(13)求解運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差參數(shù)；再次將計(jì)算后的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差參數(shù)代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解標(biāo)定后的修正位姿，與其理論位姿進(jìn)行比較分析。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差預(yù)設(shè)值

本文中位置誤差標(biāo)定前后的位置誤差由式(16)計(jì)算得到：

式(17)中，xr、yr、zr表示機(jī)器人末端實(shí)際的位置，xn、yn、zn表示機(jī)器人末端理論的位置；

經(jīng)過計(jì)算，得到仿真條件下標(biāo)定前后的定位誤差，其結(jié)果如圖4所示。應(yīng)用本文建立的辨識(shí)算法，標(biāo)定后的平均誤差降低了0.250mm，較標(biāo)定前降低43.2%；標(biāo)定后的最大誤差降低了0.604mm，較標(biāo)定前降低60.3%；標(biāo)定后的RMS誤差降低了0.28mm，較標(biāo)定前降低44.9%。相比普通的L-MA算法，標(biāo)定后精度提升更加顯著。該仿真試驗(yàn)表明本文建立的誤差模型與辨識(shí)算法相對(duì)相比普通的標(biāo)定效果更好，下文將通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證分析。

圖4 仿真標(biāo)定前后位置誤差

3.2 標(biāo)定試驗(yàn)分析

仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文誤差模型與辨識(shí)算法的有效性，標(biāo)定現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)采用本文的誤差模型與辨識(shí)算法進(jìn)行驗(yàn)證。本文標(biāo)定試驗(yàn)的測(cè)量系統(tǒng)為T-Mac裝置與Leica AT960激光跟蹤儀，試驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)如圖4所示。此測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量范圍廣，位置測(cè)量精度達(dá)到15um±6um/m，具有精度高、操作簡(jiǎn)便、實(shí)時(shí)性高等優(yōu)點(diǎn)。

圖5 標(biāo)定試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

標(biāo)定試驗(yàn)流程可簡(jiǎn)單概括為：

1）綜合考慮機(jī)器人結(jié)構(gòu)與激光跟蹤儀工作范圍，隨機(jī)選擇機(jī)器人可變姿態(tài)范圍內(nèi)30組關(guān)節(jié)角；

2）利用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)械臂工具末端相對(duì)于激光跟蹤儀的位姿及工具相對(duì)于機(jī)械臂六軸末端的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

3）采用正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出30組關(guān)節(jié)角下末端工具相對(duì)于基座坐標(biāo)系理論位姿與實(shí)際位姿的差值Δe，代入誤差模型求解出DH參數(shù)誤差；

4）將修正的DH參數(shù)寫入控制器中，并取30組不同關(guān)節(jié)角進(jìn)行精度驗(yàn)證分析。

對(duì)試驗(yàn)測(cè)量的位姿誤差進(jìn)行求解計(jì)算，并基于上文建立的誤差模型，采用改進(jìn)L-MA參數(shù)辨識(shí)算法，并對(duì)標(biāo)定試驗(yàn)測(cè)得的參數(shù)誤差進(jìn)行辨識(shí)計(jì)算，最終其辨識(shí)結(jié)果如表4所示。

表3 DH參數(shù)誤差

將表中的DH運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差補(bǔ)償進(jìn)控制器，并對(duì)關(guān)節(jié)零位角進(jìn)行補(bǔ)償，重新選取30組不同的關(guān)節(jié)角進(jìn)行驗(yàn)證分析，得到標(biāo)定前后的末端位姿，采用式(24)計(jì)算位置誤差，通過計(jì)算得到標(biāo)定前后30個(gè)末端位置誤差如圖6所示。

對(duì)標(biāo)定前后位置誤差進(jìn)行處理，求得標(biāo)定前后的位置與姿態(tài)的誤差最大值，平均值，均方根值如表所示。由表5可知，六自由度協(xié)作機(jī)器人經(jīng)過標(biāo)定后，誤差最大值，標(biāo)準(zhǔn)差值，均方根（RMS）值得到了顯著降低，其中位置定位誤差最大值減小了42.8%，位置定位誤差平均值減小了61.9%，位置定位誤差RMS值減小了59.3%，協(xié)作機(jī)器人定位精度得到了顯著提升。

表5 標(biāo)定前后位置誤差

4 結(jié)語(yǔ)

本文以新研發(fā)的六自由度協(xié)作機(jī)器人為研究對(duì)象，采用微分法建立了協(xié)作機(jī)器人的誤差模型，并采用改進(jìn)的Lavenberg-Marquardt算法用于求解運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差方程。采用激光跟蹤儀進(jìn)行標(biāo)定試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，采用本文的辨識(shí)算法進(jìn)行標(biāo)定，位置定位誤差最大值減小了42.8%，位置定位誤差平均值減小了61.9%，位置定位誤差RMS值減小了59.3%，絕對(duì)定位精度得到了有效提升，驗(yàn)證了本文提出標(biāo)定方法的有效性。