基于SIF均勻化方法的FGM板及FGM圓筒Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力研究

李 戎，楊 萌，梁 斌

（河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023）

0 引 言

功能梯度材料（FGM）因其消除了傳統(tǒng)層壓復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的界面問(wèn)題，可在滿足工程結(jié)構(gòu)輕量化需求的同時(shí)增強(qiáng)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度而被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶和汽車(chē)制造等領(lǐng)域[1-3]。以汽車(chē)為例，車(chē)身噪音往往會(huì)伴隨實(shí)際行駛速度的持續(xù)提高而以幾何級(jí)數(shù)規(guī)律增加，共振有可能導(dǎo)致產(chǎn)生裂紋甚至結(jié)構(gòu)破壞，對(duì)內(nèi)燃機(jī)和氣缸套等關(guān)鍵FGM 零部件進(jìn)行斷裂力學(xué)分析是保障整個(gè)車(chē)體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和安全性的先決條件。

FGM 板和FGM 圓筒是工程機(jī)械關(guān)鍵零部件常見(jiàn)結(jié)構(gòu)形式[4-5]。已有研究表明，含裂紋結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力值與構(gòu)件斷裂韌性密切相關(guān)[6]。但是，由于裂紋尖端應(yīng)力奇異性的存在，由有限元軟件得到的應(yīng)力值不能直接用于工程設(shè)計(jì)中。因此，目前關(guān)于含裂紋FGM 結(jié)構(gòu)的研究主要集中在應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIF）、斷裂韌性（臨界SIF）特性以及計(jì)算方法優(yōu)化等方面[6-11]。Nazari 等[12]證明了功能梯度鋼的斷裂韌性取決于裂紋所在梯度區(qū)域的位置和方向。Sabuncuoglu等[13]利用位移相關(guān)方法（DCT）計(jì)算了FGM裂紋尖端附近SIF。陳建等[7]和Kim 等[8]則嘗試通過(guò)改進(jìn)節(jié)點(diǎn)以及網(wǎng)格劃分方式等來(lái)優(yōu)化SIF 計(jì)算方法。項(xiàng)目組前期研究結(jié)果顯示，含裂紋FGM 結(jié)構(gòu)（板、圓筒）和對(duì)應(yīng)含裂紋均勻材料結(jié)構(gòu)的SIF之間存在與裂紋尖端應(yīng)力值有關(guān)的比例關(guān)系，可基于此關(guān)系直接使用應(yīng)力比值進(jìn)行FGM 板SIF 均勻化轉(zhuǎn)換[14-16]。但是，這兩者之間裂紋尖端應(yīng)力關(guān)系影響因素尚不明確，應(yīng)力比值方面的研究在參考文獻(xiàn)中還未見(jiàn)涉及。

本文基于SIF 均勻化轉(zhuǎn)換方法，以含裂紋FGM 板和FGM 圓筒作為研究對(duì)象，構(gòu)建FGM 結(jié)構(gòu)和相應(yīng)均勻材料結(jié)構(gòu)之間裂紋尖端應(yīng)力比值表達(dá)式，研究材料梯度、裂紋尺寸及其所在位置和構(gòu)件幾何尺寸等因素對(duì)裂紋尖端應(yīng)力比值的影響。

1 力學(xué)模型

基于有限元軟件MSC.Marc.2012 建立如圖1 所示的有限寬含邊緣裂紋平面應(yīng)變板模型和含環(huán)向裂紋圓筒軸對(duì)稱(chēng)模型，裂紋長(zhǎng)度/深度為a，模型兩端施加相同拉力，L/W＞2，L/h＞2。模型材料分別選用FGM和均勻材料，F(xiàn)GM板和FGM圓筒的材料分別沿x方向以及r'方向按照指數(shù)函數(shù)連續(xù)變化。

2 理論推導(dǎo)

2.1 FGM板SIF的均勻化

圖2中給出了FGM 結(jié)構(gòu)裂紋尖端幾何模型。對(duì)于FGM 板，其裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)可表示為如下形式[17]：

其中，上角標(biāo)P 代表FGM 板，r和θ為裂紋尖端極坐標(biāo)，a為裂紋長(zhǎng)度，KⅠ為Ⅰ型SIF。β是與結(jié)構(gòu)兩側(cè)材料彈性模量比值有關(guān)的參數(shù)，F(xiàn)GM板左、右兩側(cè)材料性質(zhì)沿x軸方向按照β連續(xù)性變化。E(x)為FGM 板彈性模量，F(xiàn)GM 板左側(cè)E(0)=E1，右側(cè)E(W)=E2。當(dāng)E2/E1= 1 時(shí)，F(xiàn)GM 板退化為均勻材料板（*）。E(x)的表達(dá)式為

當(dāng)θ= 0時(shí)，y軸方向應(yīng)力可簡(jiǎn)化為

FGM 和均勻材料裂紋尖端SIFKⅠ≠，但是應(yīng)力奇異性不受材料梯度影響[24]，可利用“比值”形式消除應(yīng)力奇異性。因此，當(dāng)r→0，F(xiàn)GM板和均勻材料板的板寬、外部載荷和裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分完全相同時(shí)，兩者裂紋尖端應(yīng)力比值σy與相應(yīng)SIF比值KⅠ/KⅠ*之間存在比例關(guān)系[14]

無(wú)量綱SIFFⅠ和SIFKⅠ滿足關(guān)系式FⅠ=KⅠ/(σhπa)，裂紋尖端應(yīng)力σy和FⅠ之間存在如下比例關(guān)系式，可基于此式進(jìn)行應(yīng)力均勻化轉(zhuǎn)換。當(dāng)FGM 板和均勻材料板裂紋尺寸相同a=a*時(shí)，(σy)P=FΙ/。

2.2 FGM圓筒SIF的均勻化

假定圖1中FGM 圓筒內(nèi)、外表面材料性質(zhì)沿厚度r'方向連續(xù)性變化，圓筒材料性質(zhì)沿厚度方向按照冪指數(shù)函數(shù)變化（材料梯度指數(shù)p滿足0 ≤p≤∞）。基于線性混合法則[18]，F(xiàn)GM 圓筒彈性模量E(r')為

式中，下角標(biāo)i代表內(nèi)表面材料，下角標(biāo)o代表外表面材料。根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)，F(xiàn)GM 圓筒裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式為

上式中，上角標(biāo)C 代表圓筒，KⅠ、KⅡ、KⅢ為SIF，(θ)、(θ)、(θ)為無(wú)量綱角函數(shù)，i、j=1、2、3對(duì)應(yīng)空間坐標(biāo)系的三個(gè)方向，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示三種裂紋形式，r和θ為裂紋尖端極坐標(biāo)（見(jiàn)圖2）。圖1所示FGM圓柱殼所對(duì)應(yīng)的Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式為

材料梯度不影響應(yīng)力奇異性以及無(wú)量綱角函數(shù)[20]。因此，當(dāng)FGM圓筒和均勻材料圓筒（*）幾何尺寸、裂紋類(lèi)型、外部載荷和裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分完全相同時(shí)，兩者間裂紋尖端SIF和應(yīng)力之間存在與裂紋尺寸有關(guān)的比例關(guān)系[15-16]，裂紋尖端應(yīng)力比值可以進(jìn)一步寫(xiě)成如下形式：

當(dāng)FGM 圓筒和均勻材料圓筒裂紋所在位置和尺寸均相同時(shí)，裂紋尖端應(yīng)力比值和SIF比值相等，(σy/)C=FⅠ/。

對(duì)比公式（4）～（5）和（9）～（10）發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)GM 板和FGM 圓筒結(jié)構(gòu)形式不同，但是均可基于裂紋尖端應(yīng)力比值實(shí)現(xiàn)SIF均勻化轉(zhuǎn)換，且轉(zhuǎn)換公式相同。

3 算例與討論

采用四節(jié)點(diǎn)四邊形單元建立如圖3～4 所示模型，裂紋尖端附近網(wǎng)格加密。板寬W=1 mm，圓筒壁厚h=1 mm，兩端施加拉力σh=1MPa。裂紋尖端附近最小網(wǎng)格尺寸emin大小參考文獻(xiàn)[14～16]，有限寬板e(cuò)min=1/39mm，等厚圓筒emin=1/38mm。板和圓筒單元總數(shù)分別為29911和23 289，裂紋尖端附近單元數(shù)約為2萬(wàn)個(gè)。設(shè)定泊松比為常數(shù)，ν=0.3；FGM 板左側(cè)材料彈性模量E1數(shù)值固定，F(xiàn)GM 圓筒外表面材料彈性模量Eo數(shù)值固定。

3.1 FGM板和均勻材料板之間Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力關(guān)系

本文算例中，F(xiàn)GM板和相應(yīng)均勻材料板裂紋尺寸相同。通過(guò)算例分析了材料梯度、幾何尺寸以及模型網(wǎng)格劃分等因素對(duì)裂紋尖端應(yīng)力關(guān)系的影響。

3.1.1 裂紋尖端應(yīng)力分布

由于裂紋尖端存在應(yīng)力奇異性，使用Marc 得到的應(yīng)力值隨模型網(wǎng)格尺寸改變而發(fā)生變化。由表1可知，F(xiàn)GM板和均勻材料板在幾何尺寸、網(wǎng)格劃分、裂紋尺寸a/W等完全相同的情況下，材料不同，裂紋尖端應(yīng)力值不同；材料性質(zhì)影響應(yīng)力數(shù)值，但并不影響尖端附近應(yīng)力分布規(guī)律；由于兩種板左側(cè)材料相同（E1=），F(xiàn)GM 板E2/E1=0.1，均勻材料板應(yīng)力值σ*y均小于FGM 板應(yīng)力值σy。當(dāng)裂紋尖端附近最小網(wǎng)格尺寸emin小到一定程度（1/39mm）時(shí)，兩種板裂紋尖端應(yīng)力比值恒定，不隨與尖端距離r/W的變化而發(fā)生改變（見(jiàn)圖5），此結(jié)論與文獻(xiàn)[14]相同。因此，下文中取用尖端第一個(gè)單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值進(jìn)行分析。

表1 板裂紋尖端應(yīng)力分布Tab.1 Stress distributions of crack tip in plate

3.1.2 應(yīng)力比值影響因素分析

本文中，假定FGM 板由兩種材料混合而成，板中左、右兩側(cè)（x= 0,W）材料彈性模量比E2/E1反映FGM 材料組分變化，彈性模量E沿x軸方向按照材料梯度指數(shù)β=( 1/W)·ln(E2/E1)連續(xù)性變化，β= 0（E2/E1=1）時(shí)可退化為均勻材料板。圖6 中給出了FGM 板和相應(yīng)均勻材料板裂紋尖端應(yīng)力比值隨裂紋尺寸a/h和指數(shù)β變化的曲線圖。由圖6可見(jiàn)，在裂紋尺寸以及板寬一定的情況下，E2/E1不同，裂紋尖端應(yīng)力比值不同；應(yīng)力比值曲線變化幅度隨 |β|增大而變大，曲線形狀與β值有關(guān)。β＜0 時(shí)應(yīng)力比值隨a/h的增大先增大后減小，曲線形狀開(kāi)口向下，β＞0時(shí)曲線形狀開(kāi)口向上。

結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力值與所處位置材料性質(zhì)有關(guān)，裂紋尖端位置沿x軸方向隨裂紋尺寸a/h增大發(fā)生變化。為方便對(duì)照，圖7 給出了圖6 中FGM 板和均勻材料板裂紋尖端位置彈性模量比值E/E*變化曲線。結(jié)果顯示，σy/σy*與E/E*相互對(duì)應(yīng)，曲線形狀基本相反，該現(xiàn)象反映了裂紋尖端應(yīng)力值對(duì)材料彈性模量的高度依賴(lài)性。

3.2 FGM圓筒和均勻材料圓筒之間應(yīng)力關(guān)系

3.2.1 外表面環(huán)向裂紋

外部載荷相同的情況下，含環(huán)向裂紋圓筒裂紋尖端應(yīng)力受裂紋所在位置及尺寸、材料性質(zhì)、構(gòu)件幾何尺寸等因素影響。表2 和圖8 中針對(duì)外表面環(huán)向裂紋，分別給出了均勻材料圓筒和FGM 圓筒裂紋尖端應(yīng)力分布表和應(yīng)力比值變化曲線圖（內(nèi)外半徑比Ri/Ro= 0.8）。表中，兩種圓筒外側(cè)材料相同（Eo=），F(xiàn)GM圓筒Eo/Ei=0.1。對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)，兩種圓筒裂紋尖端附近應(yīng)力分布規(guī)律完全一致，但是應(yīng)力值大小受圓筒材料性質(zhì)控制。當(dāng)圓筒裂紋尖端網(wǎng)格最小尺寸emin=1/38mm，裂紋尖端附近應(yīng)力比值穩(wěn)定、數(shù)值不隨與尖端距離r/h變化而發(fā)生改變，此結(jié)論與文獻(xiàn)[15]相同，下文同樣選取裂紋尖端第一個(gè)單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值進(jìn)行分析。

表2 含外表面環(huán)向裂紋圓筒裂紋尖端應(yīng)力分布Tab.2 Stress distributions of crack tip in hollow cylinder with external circumferential crack

FGM 圓筒體積分?jǐn)?shù)按照冪指數(shù)函數(shù)沿厚度方向連續(xù)變化，材料性質(zhì)可由材料梯度指數(shù)p控制。圖9（a）和圖9（b）分別給出了裂紋尺寸a/h以及材料梯度指數(shù)p不同時(shí)FGM 圓筒和相應(yīng)均勻材料圓筒裂紋尖端應(yīng)力比值曲線變化圖（Ri/Ro=0.8）。由圖可知，圓筒內(nèi)外表面材料彈性模量（Ei和Eo）差異越大，p對(duì)應(yīng)力比值σy/的影響越顯著，Eo/Ei對(duì)σy/的影響主要體現(xiàn)在a/h較小的情況下；p＞5時(shí)，材料性質(zhì)開(kāi)始逐漸接近均勻材料狀態(tài)，材料梯度對(duì)σy/的影響減弱。圖10給出了圖9中圓筒裂紋尖端位置彈性模量比值E/E*曲線圖?？梢钥闯觯襶/變化規(guī)律與該位置對(duì)應(yīng)E/E*變化規(guī)律相互對(duì)應(yīng)，反映了應(yīng)力對(duì)材料梯度的高度依賴(lài)。

材料梯度對(duì)圓筒裂紋尖端應(yīng)力的影響程度與構(gòu)件尺寸有關(guān)。圖11 給出了FGM 圓筒和對(duì)應(yīng)均勻材料圓筒應(yīng)力比值隨內(nèi)外半徑比Ri/Ro變化的曲線圖。當(dāng)材料梯度指數(shù)p＜0.1 或p＞5 時(shí)，F(xiàn)GM 大部分區(qū)域特性接近均勻材料特性。因此，下文中，取p= 1。

與美、英、法不同，俄羅斯保持一支龐大的常規(guī)動(dòng)力潛艇艦隊(duì)，主要在沿海作戰(zhàn)，執(zhí)行反艦任務(wù)。在政治上還被用于力量展示，曾使用“口徑”巡航導(dǎo)彈打擊敘利亞的目標(biāo)。只有較新的潛艇可攜帶“口徑”導(dǎo)彈，但與更大的攻擊型和巡航導(dǎo)彈型核潛艇相比，常規(guī)潛艇的能力顯得非常有限。

由圖可知，內(nèi)外側(cè)彈性模量比Eo/Ei對(duì)應(yīng)力比值σy/的影響主要體現(xiàn)在Ri/Ro較小的情況下，影響程度隨著Ri/Ro改變而有所不同；Ri/Ro=0.1 時(shí)，Eo/Ei對(duì)σy/的影響隨裂紋尺寸a/h增大而增大；當(dāng)Ri/Ro=0.9時(shí)，Eo/Ei對(duì)σy/的影響隨a/h增大先增大后減小。

3.2.2 內(nèi)表面環(huán)向裂紋

結(jié)構(gòu)尺寸、材料和外部載荷等均相同的情況下，裂紋尖端應(yīng)力受裂紋所在位置影響。表3和圖12針對(duì)內(nèi)表面環(huán)向裂紋，分別給出了均勻材料圓筒和FGM圓筒裂紋尖端應(yīng)力分布表和兩者應(yīng)力比值變化曲線圖（Ri/Ro= 0.8）。經(jīng)過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，兩種圓筒應(yīng)力變化規(guī)律相同，應(yīng)力值大小完全不同。對(duì)比表2 和表3 發(fā)現(xiàn)，裂紋所在位置直接影響應(yīng)力值大小，但并未影響應(yīng)力變化規(guī)律，此結(jié)論與文獻(xiàn)[16]的相同。

表3 含內(nèi)表面環(huán)向裂紋圓筒裂紋尖端應(yīng)力分布Tab.3 Crack tip stress distributions in hollow cylinder with internal circumferential crack

FGM圓筒（Eo/Ei=0.1）emin=1/38 mm FGM圓筒（Eo/Ei=0.1）emin=1/34 mm r/h→0 1/38 2/38 3/38 4/38 σy/MPa σy/MPa a/w=0.7 25.603 12.102 8.3640 6.2826 5.0752 a/w=0.1 75.765 37.903 27.649 22.128 19.096 a/w=0.3 142.24 71.096 51.848 41.473 35.766 a/w=0.5 193.38 96.670 70.463 56.345 48.584 a/w=0.7 233.24 116.53 84.944 67.914 58.542 r/h→0 1/34 2/34 3/34 4/34 a/w=0.1 8.2653 4.2485 3.2029 2.6517 2.3593 a/w=0.3 15.518 7.6241 5.4814 4.3146 3.6616 a/w=0.5 21.084 10.168 7.1699 5.5189 4.5781

對(duì)比圖8 和圖12 可見(jiàn)，當(dāng)裂紋尖端附近最小網(wǎng)格尺寸小到一定程度（emin=1/38mm）時(shí)，應(yīng)力比值σy/穩(wěn)定，裂紋所在位置影響σy/數(shù)值及其變化規(guī)律。當(dāng)裂紋位于圓筒內(nèi)表面時(shí)，σy/隨裂紋尺寸a/h增大而減小；當(dāng)裂紋位于圓筒外表面時(shí)，σy/隨a/h增大而減小。

圖13 給出了含內(nèi)表面裂紋FGM 圓筒和相應(yīng)均勻材料圓筒裂紋尖端應(yīng)力比值σy/σ*y隨裂紋尺寸a/h以及材料性質(zhì)Eo/Ei變化的曲線圖（Ri/Ro=0.8）。由圖可知，σy/σ*y隨Eo/Ei的增大而減小，材料組合對(duì)裂紋尖端應(yīng)力的影響主要體現(xiàn)在a/h較小的情況下；圓筒內(nèi)外側(cè)材料性質(zhì)差別越大，p對(duì)σy/σ*y的影響越顯著。

圖14 中給出了圖13 所示圓筒裂紋尖端位置對(duì)應(yīng)的彈性模量比值E/E*曲線圖。將兩圖進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，σy/與E/E*的變化規(guī)律高度相似，此現(xiàn)象同樣反映了應(yīng)力值對(duì)材料梯度的高度依賴(lài)。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)工程常見(jiàn)的含裂紋FGM 結(jié)構(gòu)，基于均勻化轉(zhuǎn)換方法，探討了材料梯度性質(zhì)、裂紋參數(shù)、構(gòu)件幾何尺寸等因素對(duì)裂紋尖端應(yīng)力比值的影響，主要結(jié)論如下：

（1）FGM 板和FGM 圓筒結(jié)構(gòu)形式不同，但是均可僅基于裂紋尖端應(yīng)力比值直接實(shí)現(xiàn)SIF 均勻化轉(zhuǎn)換，并且應(yīng)力均勻化轉(zhuǎn)換公式相同。

（2）外部載荷相同的情況下，含邊緣裂紋FGM 結(jié)構(gòu)（板、圓筒）和相應(yīng)含裂紋均勻材料結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力分布情況相同，但是應(yīng)力值和兩者之間應(yīng)力比值受材料性質(zhì)、結(jié)構(gòu)尺寸以及裂紋所處位置等因素影響。應(yīng)力值均隨裂紋尺寸增大而增大；應(yīng)力值和應(yīng)力比值與裂紋尖端彈性模量變化規(guī)律相互對(duì)應(yīng)，數(shù)值隨裂紋尖端所在位置材料性質(zhì)而變化；裂紋尺寸以及材料性質(zhì)一定的情況下，圓筒內(nèi)表面裂紋應(yīng)力比值大于外表面裂紋應(yīng)力比值。

（3）FGM 板和FGM 圓筒材料性質(zhì)可由材料梯度控制。而裂紋尖端應(yīng)力不僅與材料組合有關(guān)，還受裂紋所在位置影響，裂紋尖端應(yīng)力比值σy/變化規(guī)律和尖端位置彈性模量比值E/E*變化規(guī)律相對(duì)應(yīng)。以圓筒為例（取梯度指數(shù)p= 1），外表面裂紋下，σy/隨圓筒兩側(cè)彈性模量比值Eo/Ei增大而增大，E/E*隨Eo/Ei增大而減?。粌?nèi)表面裂紋下，兩者均隨Eo/Ei增大而減小。

（4）材料梯度對(duì)FGM 圓筒和相應(yīng)均勻材料圓筒之間裂紋尖端應(yīng)力比值σy/的影響程度受圓筒內(nèi)外半徑比Ri/Ro影響，影響程度隨Ri/Ro改變而發(fā)生變化；內(nèi)外側(cè)彈性模量比Eo/Ei對(duì)σy/的影響主要體現(xiàn)在Ri/Ro較小的情況下。