基于改進得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達哥拉斯模糊多屬性決策

尹東亮, 崔國恒, 黃曉穎, 張 歡

(海軍工程大學作戰(zhàn)運籌與規(guī)劃系, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多屬性決策作為一種常用的決策方法,由于決策人知識水平等方面的局限和事物本身的模糊性,往往難以用精確值對事物進行評價。針對這一問題,1965年Zadeh首次提出模糊集以對信息的不確定性進行刻畫。Atanassov在其基礎(chǔ)上擴展,提出了包含隸屬度、非隸屬度和猶豫度的直覺模糊集(intuitive fuzzy sets, IFS),三者總和為1。但當隸屬度、非隸屬度分別由決策人獨立給出時,由于決策本身的模糊性和事物刻畫的細致程度不同,可能就會存在其總和大于1的情況。因此,Yager等提出畢達哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy set, PFS),隸屬度、非隸屬度的平方和不大于1,拓展了其空間范圍。而隨著決策復雜性和不確定性不斷提高,決策人可能難以用一個具體值準確給出隸屬度或非隸屬度。

針對該情況,結(jié)合區(qū)間數(shù)的相關(guān)知識,區(qū)間值畢達哥拉斯模糊集(interval-valued Pythagorean fuzzy set, IVPFS)的概念被提出,可用區(qū)間的形式表示隸屬度或非隸屬度。在多屬性決策領(lǐng)域,文獻[9]基于IVPFS對產(chǎn)品設(shè)計要求和客戶需求進行衡量和排序,結(jié)合質(zhì)量功能展開 (quality function deployment，QFD)在太陽能光伏發(fā)電發(fā)展應(yīng)用過程中開展評估決策;文獻[10]針對共享電動自行車回收供應(yīng)商選擇問題,定義了區(qū)間值畢達哥拉斯模糊偏好關(guān)系(interval-valued Pythagorean fuzzy preference relation, IVPFPR)的概念,提出一種考慮信任程度的畢達哥拉斯模糊決策方法;文獻[11]針對如何有效分析和提取網(wǎng)絡(luò)評論中相關(guān)意見,引入IVPFS來表示區(qū)間值,提出了一種結(jié)合特征-意見IVPFS的產(chǎn)品排序方法;文獻[12-14]利用IVPFS中隸屬度、非隸屬度的相關(guān)測度,分別對無人駕駛汽車風險評估、可持續(xù)供應(yīng)商選擇以及高技術(shù)項目組合評價等問題開展了決策分析和研究。

以往研究中,一般都假設(shè)決策人是完全理性的,未考慮其偏好習慣等因素對決策的影響;同時區(qū)間值之間難以精確比較,給決策帶來不便。前景理論針對決策人面對風險時“有限理性”的心理狀態(tài),以前景價值函數(shù)的形式來體現(xiàn)決策人由于損益表現(xiàn)出的主觀感受價值,在多屬性決策中應(yīng)用廣泛;得分函數(shù)可以將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為精確單一數(shù)值,便于對比決策。文獻[20]針對PFS現(xiàn)有得分函數(shù)的不足,定義了一種新得分函數(shù),提出了基于新得分函數(shù)和累積前景理論的畢達哥拉斯模糊熵權(quán)逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS);文獻[21-22]針對IVPFS環(huán)境,利用得分函數(shù)進行排序優(yōu)選開展了多屬性決策工作。

從相關(guān)研究可以看出,得分函數(shù)雖然便于對比,但并未考慮猶豫度對決策的影響,一般決策人希望最優(yōu)決策的猶豫度越小越好,同時猶豫度往往會偏向于受支持程度較大的方案,這都會對決策結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

綜上,本文針對得分函數(shù)未體現(xiàn)猶豫度的問題,提出了改進后的新得分函數(shù),涵蓋猶豫度對決策的兩方面影響,并證明了其相關(guān)定理和性質(zhì),同時引入前景理論描述決策人的主觀感受對決策的影響,在區(qū)間值畢達哥拉斯模糊環(huán)境下,基于TOPSIS法,假設(shè)決策屬性的權(quán)重已知,利用前景價值函數(shù)得出正負理想方案的新得分函數(shù)值,對不同備選方案和理想方案的得分函數(shù)貼近度進行分析,得出各方案的綜合損益值和損益比,對損益比進行排序,確定最優(yōu)決策結(jié)論。最后,利用算例對本文改進方法進行正確性和有效性驗證,并與以往其他方法對比分析,證明該方法的優(yōu)越性。

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識

設(shè)為一個論域,則該論域中的一個PFS可表示為

={〈,(),()〉|∈}

(1)

一個PFS的某一元素((),())稱為畢達哥拉斯模糊數(shù)(Pythagorean fuzzy numbers, PFN),也可表示為=(,)。

(2)

1979年,Kahneman和Tversky提出了前景理論,定義前景價值由價值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)確定。1992年,兩人又提出價值函數(shù)的定義如下:

16令表示某一參考點,數(shù)偏離的大小為Δ,則Δ≥0表示相對于獲得收益,Δ≤0表示相對于有所損失,設(shè)置的價值函數(shù)為

(3)

式中:>0,表示決策人對收益的敏感度;<1,表示決策人對損失的敏感度;>1,表示相對于收益,一般對損失更敏感。

2 區(qū)間值畢達哥拉斯模糊得分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有得分函數(shù)分析

(4)

由于該得分函數(shù)在某些情況下難以區(qū)分IVPFN的大小,Zhang提出了精確函數(shù)的定義：

(5)

在現(xiàn)有得分函數(shù)和精確函數(shù)計算都存在一定特例難以區(qū)分IVPFN大小的情況下,Garg提出了現(xiàn)有方法并沒有考慮區(qū)間猶豫度對IVPFN大小的影響,將區(qū)間猶豫度引入了精確函數(shù)中,定義了考慮區(qū)間猶豫度的精確函數(shù):

(6)

該函數(shù)中猶豫度越小,精確函數(shù)越大,體現(xiàn)了不論受支持或反對的事件必定期望其猶豫度越小越好。而在實際決策中,猶豫度一般受到隸屬度和非隸屬度的影響。隸屬度占比越大,說明該事件受支持的概率更大,則猶豫度往往會偏向于支持,對隸屬度存在一定的激勵作用,反之亦然。式(6)這種判斷方法并未考慮這一影響,故在一定條件下會存在與常理相悖的情況。

2.2 改進得分函數(shù)

通過對上述得分函數(shù)和精確函數(shù)的分析,現(xiàn)有研究主要存在以下不足:① 計算步驟多,遇到特殊情況,一般要通過3次計算判斷才能區(qū)分IVPFN的大小;② 由于式(4)～式(6)都是通過平方計算對值進行比較的,一定程度上數(shù)值通過平方后會被壓縮而偏小,值比較時差距也更接近,故依然存在一定的特殊情況無法區(qū)分;③ 式(6) 僅體現(xiàn)了受支持的事件必定期望其猶豫度越小越好,并未體現(xiàn)出猶豫度對隸屬度或非隸屬度的激勵或懲罰作用。

為解決這一問題,本文提出一種改進后的新得分函數(shù),既涵蓋現(xiàn)有得分函數(shù)和精確函數(shù)的優(yōu)點,又彌補其不足。

(7)

整體來看,改進后的新得分函數(shù)僅需要1步計算即可判斷IVPFN的大小,不需要兩次比較,也考慮了決策人一般都希望決策事件的猶豫度越小越好的心態(tài)和猶豫者的從眾心理,解決了上述現(xiàn)有得分函數(shù)的問題。下面對改進后的得分函數(shù)相關(guān)性質(zhì)和定理進行證明,以驗證該函數(shù)的正確性。

(8)

證畢

證畢

藝體類術(shù)課與技能技巧課程：不斷加大學生自學自訓的任務(wù)與要求，以獲得核心技能技巧或技能技巧的核心環(huán)節(jié)在技能技巧形成過程中的遷移能力并進行自學自訓為主要目標。

證畢

3 基于前景理論的區(qū)間值畢達哥拉斯模糊TOPSIS法

根據(jù)本文提出的改進后新得分函數(shù)的相關(guān)定義和性質(zhì),可將IVPFN轉(zhuǎn)換為改進后的得分函數(shù),從而開展決策工作。而區(qū)間值畢達哥拉斯模糊多屬性決策一般都是假設(shè)決策人完全理性的,但在實際決策中,人是有一定的主觀判斷和非理性心理的,尤其是對風險的偏好所造成的得失心理對決策影響較大。因此,依據(jù)本文提出的新得分函數(shù),利用前景理論考慮決策人的主觀感受,提出了基于改進得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達哥拉斯模糊TOPSIS法,具體描述如下。

(9)

(10)

確定正理想方案和負理想方案相對應(yīng)的得分函數(shù)集()、()。由于得分函數(shù)已將區(qū)間模糊數(shù)精確化,且具有一定的單調(diào)性,故不需要再對效益型屬性和成本型屬性進行區(qū)分,可直接得出()、()如下:

令Δ表示各個備選方案與正理想方案得分函數(shù)集()的貼合矩陣如下:

(11)

由于各備選方案相對于正理想方案的貼合度表示損失值,相對于負理想方案的貼合度表示收益值,則根據(jù)前景理論價值函數(shù)的定義,結(jié)合各屬性權(quán)重由式(3)可得各備選方案的綜合損失值()和綜合收益值() 如下:

(12)

(13)

由文獻[16]可知,根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù),一般取==088、=225。

4 算例分析

算例分為兩部分:① 以校企間研發(fā)項目合作為對象,利用本文方法對備選研發(fā)項目進行多屬性決策,得出項目排序以供校企合作參考,驗證本文方法的正確性和適用性;② 以上述數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),將本文方法與基于原得分函數(shù)的區(qū)間值畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法,即式(4)相對比,驗證本文方法的有效性。

4.1 多屬性決策應(yīng)用

為進一步促進科研成果轉(zhuǎn)化,加強校企合作,某高校和企業(yè)之間計劃開展一系列研發(fā)項目,現(xiàn)有4個備選研發(fā)項目={,,,},依據(jù)5個決策屬性戰(zhàn)略、技術(shù)、經(jīng)濟、資源、風險開展多屬性決策,屬性權(quán)重已知且相等,均為02。

首先,以區(qū)間值畢達哥拉斯數(shù)給出各備選研發(fā)項目在各屬性下評價信息,如表1所示。

表1 備選研發(fā)項目在各屬性下的區(qū)間值畢達哥拉斯數(shù)評價信息Table 1 Evaluation information of interval Pythagorean number under each attribute of candidate research and development projects

再次,確定正負理想研發(fā)項目的得分函數(shù)集()=(1860,0228,1295,1045,0334)、()=(-1846,-1686,-0769,-1417,-1846),繼而由式(11)得出貼合矩陣Δ、Δ,根據(jù)式(12)和式(13)得出各備選項目的綜合損益值和綜合損益比如表2所示。

表2 備選研發(fā)項目綜合損益值Table 2 Comprehensive profit and loss value of alternative research and development projects

最后,根據(jù)綜合損益比對各備選項目進行排序,順序為>>>,最佳項目為。根據(jù)結(jié)果進行分析,可以看出本文方法能有效區(qū)分各備選研發(fā)項目,得出其中比較具有優(yōu)勢的項目,差異度明顯,驗證了本文方法的正確性和有效性。

4.2 得分函數(shù)改進前后對比分析

為進一步驗證本文方法的有效性,采用第4.1節(jié)原數(shù)據(jù),基于原得分函數(shù)式(4),以第3節(jié)方法為依據(jù)開展多屬性決策得出各備選項目綜合損益值和綜合損益比,如表3所示。

表3 基于原得分函數(shù)的備選研發(fā)項目綜合損益值Table 3 Comprehensive profit and loss value of the candidate research and development projects based on the original score function

根據(jù)綜合損益比,同樣得出排序為>>>,最佳項目為,與本文方法一致。對兩種方法所得綜合損益比進行分析,如圖1所示。

圖1 得分函數(shù)改進前后綜合損益比對比圖Fig.1 Comparison chart of comprehensive profit-loss ratio before and after score function improvement

對圖1進行分析可以看出,雖然兩種方法所得項目排序一致,但基于原得分函數(shù)的計算方法所得各項目綜合損益比值之間的差距較小,難以確定最佳項目。在特定情況下,可能會存在各項目綜合損益比難以區(qū)分的問題。而本文方法最佳項目的區(qū)分度較為明顯,綜合損益比遠大于其他備選項目,具有較高的有效性。

5 結(jié) 論

本文針對多屬性決策過程一般未考慮決策人偏好習慣的問題,在區(qū)間值畢達哥拉斯模糊環(huán)境下引入前景理論,為解決現(xiàn)有得分函數(shù)忽略區(qū)間猶豫度對決策影響的情況,對得分函數(shù)進行改進,在假設(shè)決策權(quán)重已知的前提下,提出了基于改進得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法。

與以往研究相比,本文研究的主要創(chuàng)新之處為:① 針對現(xiàn)得分函數(shù)的不足,考慮區(qū)間猶豫度對多屬性決策的影響,提出了一種改進后的新得分函數(shù),并證明了相關(guān)定理和性質(zhì);② 針對以往決策中假設(shè)決策人一般都是完全理性的,引入前景理論價值函數(shù)來體現(xiàn)決策人由于損益表現(xiàn)出的主觀感受價值;③ 借鑒TOPSIS法,優(yōu)化多屬性決策流程,利用綜合損益比來進行方案排序優(yōu)選,更符合實際決策過程。