問題驅(qū)動的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念構(gòu)建

陶 紅，徐耀坤，侯臣平

（國防科技大學(xué) a.理學(xué)院；b.電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073）

引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科，研究描述不確定性的數(shù)學(xué)模型和理論方法，可以應(yīng)用于科學(xué)研究、工程實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)管理和人文社科等各個領(lǐng)域，是各大高校理工科專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一。作為隨機(jī)數(shù)學(xué)這一數(shù)學(xué)分支中學(xué)生所接觸到的第一門課，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”肩負(fù)著引導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會利用隨機(jī)性思維解決問題的重任。不同于以往的確定性數(shù)學(xué)課程，學(xué)生真正掌握概率統(tǒng)計的概念與思想具有一定難度。例如，很多學(xué)生難以完全理解條件概率、條件分布、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)等概念及其內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)概念反映了事物在數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、空間形式等方面的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延，理解概念間的邏輯關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)注重概念的構(gòu)建過程，通過概念的構(gòu)建過程，對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練。讓學(xué)生在體會原理的過程中，不僅學(xué)會新概念，而且學(xué)會利用數(shù)學(xué)進(jìn)行科學(xué)研究的思維方法。也就是說，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不能僅滿足于讓學(xué)生接受、記憶、模仿和練習(xí)，更要教會學(xué)生自主探究，在自主探究的過程中發(fā)展智力、提高科學(xué)研究能力。

問題驅(qū)動教學(xué)模式以學(xué)生為主體，教師設(shè)置一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題尋找解決方案，在解決問題的過程中達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。采用問題驅(qū)動的教學(xué)模式，有助于幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的深刻內(nèi)涵，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。本文以協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)為例，遵循問題驅(qū)動的教學(xué)原理，以“實(shí)例引入—提出問題—分析問題—解決問題”為主線，通過國內(nèi)生產(chǎn)總值與軍費(fèi)支出的關(guān)系分析實(shí)際案例，提出隨機(jī)變量關(guān)系描述的問題，并采用逆向推理得到協(xié)方差的定義。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化研究如何描述隨機(jī)變量關(guān)系的強(qiáng)弱及所研究的關(guān)系是何種關(guān)系，逐步構(gòu)建協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義與內(nèi)涵。

一、提出問題

為減少抽象感并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在課程開始時通過“國內(nèi)生產(chǎn)總值與軍費(fèi)支出的關(guān)系分析”這一實(shí)例提出問題：如何從數(shù)字特征的角度來描述兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系。具體地，我國2000—2013年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）與軍費(fèi)支出數(shù)據(jù)如表1所示。GDP與軍費(fèi)支出均為隨機(jī)變量，不妨分別記為和，則（,）是二維隨機(jī)變量，（,）的幾何意義是平面上的隨機(jī)點(diǎn)。通過圖1（a）所示散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，14個樣本點(diǎn)散落在一條直線附近，隨著GDP逐年增長，軍費(fèi)支出也逐年增長?？梢?，隨機(jī)變量與之間存在同向變化趨勢。從而結(jié)合本章主題提出問題：如何從數(shù)字特征的角度來描述兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系。

表1 我國2000—2013年GDP與軍費(fèi)數(shù)據(jù)

圖1 GDP與軍費(fèi)支出散點(diǎn)圖

二、協(xié)方差概念引入

提出問題后，讓學(xué)生思考如何從數(shù)學(xué)形式角度進(jìn)行描述。通過分析，問題轉(zhuǎn)變?yōu)檎业揭粋€依賴于,的數(shù)字量（,），滿足：（,）≠0，則表示,之間有關(guān)系。應(yīng)如何找到滿足上述條件的數(shù)字量呢？通常學(xué)生難以從正面直接得到解決方案。于是基于逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生從反面分析。如果存在一個數(shù)字量（,），滿足：當(dāng)隨機(jī)變量,之間沒有關(guān)系時必有（,）=0，那么利用逆否命題則可以得到：當(dāng)（,）≠0時，隨機(jī)變量,之間必有關(guān)系。由逆否命題的等價性，（,）所要滿足的條件轉(zhuǎn)換為“當(dāng)隨機(jī)變量,之間沒有關(guān)系時必有（,）=0”。所謂沒有關(guān)系即相互獨(dú)立，由此引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)期望與方差在隨機(jī)變量相互獨(dú)立時所具有的性質(zhì)。當(dāng),相互獨(dú)立時，有E（,）=E（）E（），D（+）=D（）+D（）。

如果令（,）=E（,）-E（）E（），（,）=D（+）-（D（）+D（）），那么（,）與（,）均滿足我們所提的要求。應(yīng)該選擇哪一個呢？由于方差本質(zhì)上是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，而且計算比數(shù)學(xué)期望更復(fù)雜，因此優(yōu)先選擇（,）。

更進(jìn)一步，為了使定義更簡潔，如何將（,）=E（,）-E（）E（）寫成1項？如果寫成1項，其形式上必定是,的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即需要把E（,）-E（）E（）變形為,的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。由于其中涉及的,交叉項的期望及各自期望的乘積，啟示我們變形為E{［-E（）］（-E（）］}，進(jìn)一步驗(yàn)證確實(shí)有E{［-E（）］（-E（）］}=E（,）-E（）E（）。

此時，詢問學(xué)生是不是完全得到了協(xié)方差的定義。為什么要問這個問題，協(xié)方差是利用數(shù)學(xué)期望定義的，而數(shù)學(xué)期望的存在需要滿足絕對收斂的條件，因此協(xié)方差存在的前提是E［-E（）］［-E（）］＜∞。由Cauchy-Schwarz不等式知，當(dāng),的方差都存在時，E［-E（）］（-E（）］＜∞成立。

定義1（協(xié)方差）：如果隨機(jī)變量,的方差都存在，那么稱Cov（,）=E{［-E（）］［-E（）］}為,的協(xié)方差。

三、相關(guān)系數(shù)概念引入

當(dāng)協(xié)方差的值非0時，則隨機(jī)變量之間存在關(guān)系。按照由淺到深的思路，接下來探討如何描述關(guān)系的強(qiáng)弱程度及是什么關(guān)系。向?qū)W生提問：協(xié)方差的大小能否用來度量關(guān)系的強(qiáng)弱程度，能夠反映關(guān)系強(qiáng)弱的數(shù)字量應(yīng)具有哪些特點(diǎn)？為輔助思考，以GDP與軍費(fèi)支出為例，讓學(xué)生計算單位分別為億元和億萬元時的樣本協(xié)方差。通過計算學(xué)生將發(fā)現(xiàn)兩種情況下的樣本協(xié)方差之間相差10倍，然而實(shí)質(zhì)上GDP與軍費(fèi)支出之間的關(guān)系并不會因金額單位的變化而變化。由此得出結(jié)論：協(xié)方差不能用于度量關(guān)系的強(qiáng)弱程度。事實(shí)上，由協(xié)方差的定義可驗(yàn)證，對于常數(shù),，Cov（,）=Cov（,）。顯然，協(xié)方差是一個受量綱影響的數(shù)字量。

于是，能夠反映關(guān)系強(qiáng)弱的數(shù)字量應(yīng)具有不受量綱影響（條件1）的特點(diǎn)。除此之外，還應(yīng)具有什么特點(diǎn)？提及強(qiáng)弱實(shí)質(zhì)上是為了比較，因此數(shù)字量的取值應(yīng)該是限定在一定范圍內(nèi)（條件2），而且取值隨著關(guān)系的強(qiáng)弱單調(diào)變化（條件3）。

四、相關(guān)系數(shù)的意義

從構(gòu)建相關(guān)系數(shù)定義的過程可知ρ不受量綱影響且取值在［-1,1］。但仍沒有揭示ρ的大小如何反映,何種關(guān)系的強(qiáng)弱。為此以常見的二維均勻分布與二維正態(tài)分布為例，利用Matlab動畫演示當(dāng)上述兩個總體的相關(guān)系數(shù)從-1增加到1時樣本點(diǎn)散點(diǎn)圖的變化趨勢，以此來發(fā)現(xiàn)ρ的大小與,之間關(guān)系強(qiáng)弱的對應(yīng)關(guān)系，并探索ρ描述的是,之間的何種關(guān)系。具體地，所采用的二維均勻分布與二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)分別為

由此可得到如下結(jié)論：（1）|ρ|≤1。（2）|ρ|越大，則+與之間的均方誤差越小，即與之間的線性關(guān)系越強(qiáng)；反之，則與之間的線性關(guān)系越弱。并且，結(jié)合圖形（圖2）可知，當(dāng)ρ＞0時，與整體上具有同向變化趨勢；當(dāng)ρ＜0時，與整體上具有反向變化趨勢；當(dāng)ρ=0時，與之間沒有線性關(guān)系，稱為與不相關(guān)。

圖2 二維均勻分布和二維正態(tài)分布總體相關(guān)系數(shù)變化時樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖

結(jié)語

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)，為于課程體系的理解具有非常重要的作用。本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計中協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)概念為例，遵循“以問題結(jié)構(gòu)推進(jìn)教學(xué)”的原理，圍繞隨機(jī)變量之間關(guān)系描述這一主題，提出一系列層層遞進(jìn)、步步深入、具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的問題，形成“問題—解決—問題—解決……”的問題導(dǎo)向結(jié)構(gòu)教學(xué)過程，建構(gòu)出協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念。在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生探索、深究，有助于學(xué)生形成自主探究的思維模式和提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。