“線性代數(shù)”教學的幾點體會

吳 飛

（中國地質(zhì)大學〔北京〕 數(shù)理學院，北京 100083）

“線性代數(shù)”是理工科院校中的一門重要的數(shù)學基礎課，具有定義和定理多、內(nèi)容抽象、知識聯(lián)系緊密，需要較強的邏輯推理能力和抽象思維能力等特點，這些特點對于側(cè)重于計算能力培養(yǎng)的理工科學生來說具有一定的困難。如果學生在學習過程中把一些基本和重要的問題搞清楚，教師在教學中就關(guān)鍵重點問題加以強調(diào)，學生的學習就能收到事半功倍的效果。下面結(jié)合“線性代數(shù)”教學，談談教學的幾點體會。

一、充分認識“線性代數(shù)”課程的重要性

“線性代數(shù)”是理工科大學生必修的數(shù)學基礎課之一，也是研究生入學考試的必考課程。它不僅是后續(xù)課程的基礎，而且廣泛應用于技術(shù)科學的各個領(lǐng)域。線性代數(shù)的理論與方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學、技術(shù)、經(jīng)濟、管理的各個領(lǐng)域，提供描述、處理問題的思想和方法。隨著相關(guān)學科和計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)在高等教育和現(xiàn)代技術(shù)中的地位越來越重要。尤其在計算機日益普及的今天，解決大型線性方程組、求矩陣的特征值與特征向量等已經(jīng)成為工程技術(shù)人員常遇到的問題，這就要求學生具備線性代數(shù)這門課程的基礎知識，并熟練地掌握它的理論和方法。

“線性代數(shù)”課程尤其能培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力，比如證明一個向量組線性無關(guān)，可以從線性無關(guān)的定義入手進行證明，可以從向量組秩的角度來證明，還可以從向量組所對應的齊次線性方程組解的情況來研究和證明。無論用哪個相關(guān)理論，都有相關(guān)的證明條件和邏輯推理過程，這樣就培養(yǎng)了學生的抽象思維和邏輯推理能力，同時也培養(yǎng)了學生多角度考慮問題的能力。

二、在教學中把數(shù)學思想融入教學中

數(shù)學思想在數(shù)學各門類學科的形成和發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用，線性代數(shù)這門學科也不例外，每種理論和方法都融入了數(shù)學的思想。

下面分別舉線性方程組求解、二次型方面和證明逆矩陣三個方面加以說明。

方程組的求解方法從中學就開始學習，從高中的高斯消去法到大學階段的用矩陣和向量組的相關(guān)理論進行求解，尤其是當齊次線性方程組有無窮多解時，這無窮多解可以用構(gòu)成基礎解系的有限個解線性表示，體現(xiàn)了用有限來表示無限這一重要數(shù)學思想，實現(xiàn)了能用更多的方法、更高的觀點研究和求解方程組。

轉(zhuǎn)化思想作為數(shù)學的一個重要思想，是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決。在二次型這章開始就使用了這一轉(zhuǎn)化的思想方法，對二次型的二次齊次表示式作了a=a假設后，應用矩陣的相關(guān)知識把二次型的定義式的代數(shù)表示轉(zhuǎn)化為矩陣表示=xAx，這樣就可以用矩陣理論研究二次型的相關(guān)問題，這是用矩陣方法解決二次型問題的前提。而二次型的核心問題是如何把二次型化為標準型，在前面章節(jié)已經(jīng)學習過實對稱矩陣的對角化問題，而由于二次型對應的矩陣是實對稱矩陣，這樣就可以借助于正交變換把二次型化為標準型，很好地體現(xiàn)和應用了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想。

證明一個矩陣是否可逆是線性代數(shù)課程中的一個重要核心問題，證明的方法很多，可以從行列式角度證明矩陣對應的行列式不等于零；可以從矩陣秩的角度，證明階矩陣的秩等于；可以使用初等變換的相關(guān)理論，用階矩陣是否可以表示為若干個初等矩陣的乘積的角度來證明；還可以用階矩陣的特征值是否都不等于來證明；還可以用階矩陣的行向量組或列向量組的秩等于；還可以從階矩陣是否與階單位矩陣等價的角度來研究和證明。從上面的敘述可以知道，考慮問題需要變換思維模式和思維角度，不能“一根筋”，那么通過總結(jié)這些證明方法，就會拓寬思路，學會辯證地看待問題。

三、在教學中強調(diào)矩陣初等行變換的重要性

矩陣的初等行變換是矩陣的重要運算之一，原因在于矩陣在初等行變換下的行階梯形和行最簡形有極其強大的功能，就像電腦的操作平臺，在這一平臺下可以解決線性代數(shù)中的很多問題，如求矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組；判斷向量組的線性關(guān)系；求線性方程組的基礎解系；當矩陣可逆時借助分塊矩陣求矩陣的逆；求矩陣方程；等等，這些重要的問題都可以借助于這一平臺解決，在教學中應該著重強調(diào)這一點。另外還應該指出什么時候需要把矩陣化成行最簡形矩陣，什么時候化為行階梯形矩陣。注意跟學生講清楚行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的定義和特點，以及把一個矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的方法和使用時需要注意的問題。行階梯形和行最簡形都是矩陣作初等行變換時的某種意義下的“標準形”，并且任何一個矩陣總可以經(jīng)過有限次的初等行變換化為行階梯形和行最簡形，注意強調(diào)這是矩陣的一個非常重要的運算。

矩陣的行階梯形矩陣不是唯一的，但行最簡形矩陣卻是唯一確定的，這些知識也是需要強調(diào)的內(nèi)容。

四、加強對線性方程組求解方法的總結(jié)

線性方程組的求解是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，在教學中應注意幾種解法的區(qū)別與聯(lián)系。

高斯消去解法包括消元和回代兩個過程，消元過程的實質(zhì)是通過一系列方程組的同解變換得到一個同解的形式簡單便于求解的方程組，然后再進行回代求解，這是非常重要的求解方程組的方法。

方程組的消元和回代過程所對應的三種同解變換自然而然引出矩陣的三種初等行變換，從而通過把方程組的系數(shù)矩陣（齊次線性方程組）或增廣矩陣（非齊次線性方程組）化成行階梯形或行最簡形進行研究和求解，這樣就把矩陣的相關(guān)理論用于解決方程組的求解。

教會了學生用以上兩種方法求解方程組，而第三種求解方法是從幾何意義的角度給出的方法。當齊次線性方程組有無窮多解時，它的通解能由基礎解系即解集合的極大無關(guān)組來線性表示，這就不僅從解的結(jié)構(gòu)角度表示出通解，還實現(xiàn)了用有限來表示無限的思想。同時學生在學習過程中也對向量組的極大無關(guān)組加深了理解，因為基礎解系就是解集合的極大無關(guān)組。

克萊姆法則僅能用于求解系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組，當方程組中變量的個數(shù)和方程的個數(shù)不等時不能使用克萊姆法則，在教學中注意向?qū)W生強調(diào)這一點。

當線性方程組有無窮多解時，無論是齊次還是非齊次方程組，都可以用矩陣秩的相關(guān)理論、矩陣行的初等變換等理論和方法，以及從解的結(jié)構(gòu)的角度和方法進行研究和求解，在使用的時候要用到基礎解系這一基本概念。

五、把握矩陣運算系統(tǒng)與實數(shù)運算系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別

矩陣的代數(shù)運算系統(tǒng)是指矩陣的加法、減法、數(shù)乘、矩陣的乘法及可逆矩陣求逆這幾種運算。那么矩陣運算系統(tǒng)與我們所熟知的實數(shù)運算系統(tǒng)有著本質(zhì)的區(qū)別，比如不滿足交換律、消去律等，下面詳細加以說明。

矩陣及其相關(guān)理論是線性代數(shù)課程一個重要而核心的內(nèi)容，在學習過程中特別需要注意與以往學過的代數(shù)運算系統(tǒng)相區(qū)別。教師在講授時應注意講清楚二者之間的本質(zhì)區(qū)別：（1）實數(shù)運算系統(tǒng)是一個乘法可交換的系統(tǒng)，即有(∈R)，而矩陣運算系統(tǒng)是一個乘法不滿足交換律的系統(tǒng)，這表現(xiàn)在若矩陣與可乘，但與未必可乘。（2）若AB與BA均存在，當時，；即使均為階方陣，也未必等于。（3）在實數(shù)運算系統(tǒng)中，若0，∈R，則中至少有一個數(shù)是零；但在矩陣運算系統(tǒng)中，這一運算規(guī)則是不成立的，因為有這樣的例子：當0且0（均為階方陣），卻有0成立。（4）實數(shù)運算系統(tǒng)中乘法滿足消去律，但在矩陣運算系統(tǒng)中乘法消去律不再成立。教師在講授這些知識時注意強調(diào)這些區(qū)別和聯(lián)系，對學生掌握知識大有裨益。

六、注意概念和相關(guān)知識間的聯(lián)系

線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表示等概念是向量組理論中的幾個重要概念，教學中一定強調(diào)掌握這些概念。另外，還要注意知識間的聯(lián)系，比如：向量組:,,…,α線性相關(guān)是指齊次線性方程組(,,…,α)=0有非零解，向量組:,,…,α線性無關(guān)是指齊次線性方程組(,,…,α)=0僅有零解，向量能由向量組線性表示是指非齊次線性方程組(,,…,α)=有解，這樣就建立起了知識間的聯(lián)系，對學習這部分知識和內(nèi)容很有幫助。

對一個方陣是否可逆的問題，在線性代數(shù)教材中就從很多角度進行研究和特征刻畫：從定義、從行列式角度、從伴隨矩陣、從初等矩陣、從方程組、從矩陣的秩、從向量組、從特征值、從線性相關(guān)性等角度給出判斷矩陣可逆的充要條件，在學習中注意加以總結(jié)。

線性代數(shù)教材中對線性方程組的求解一個是用矩陣秩的相關(guān)理論，一個是基于向量組的相關(guān)理論的解的結(jié)構(gòu)思想。這兩個方法實際上是一個整體，只不過是在兩個不同層次上的學習，一個是如何求解線性方程組，一個是賦予線性方程組更多幾何上的意義，因而讓學生學會：（1）齊次線性方程組的通解能用它的基礎解系來構(gòu)造，它的解集是基礎解系的所有可能的線性組合，而基礎解系是解集的最大無關(guān)組；（2）非齊次線性方程組的通解與其導出組的基礎解系的關(guān)系及它的解集與其導出組的解集的關(guān)系。因此，可以用更多的方法、更高的觀點來求解方程。

另外，行列式和矩陣是線性代數(shù)中兩個截然不同的概念，不要混淆，它們的表示方法不同，矩陣的記號是數(shù)表外加括號或中括號，而行列式記號是數(shù)表外加兩豎線。另外本質(zhì)也不同，矩陣是個數(shù)表，而行列式是一個數(shù)，這是由各自定義的本質(zhì)決定的。另一方面，方陣與它的行列式又是緊密聯(lián)系的，方陣有對應的行列式，行列式是對應方陣所確定的一個數(shù)，所以行列式可看作是方陣的函數(shù)，同時行列式又是方陣特性的重要標志。注意這些區(qū)別和聯(lián)系有助于這些知識的學習。

七、注重解題方法的研究和總結(jié)

線性代數(shù)課本身的特點導致了學生學習上的困難，有的學生上課聽懂了，基本的概念、定理也掌握了，但課下證明問題和解題時仍然遇到很大的困難，尤其是證明問題經(jīng)常感到無從下手。針對這種情況，在學習過程中，首先，要掌握基本概念和定理，這是前提，在上課聽講時應注意老師是如何根據(jù)題中的條件分析問題和解決問題的，多思考多琢磨，逐步積累證明問題和解題的經(jīng)驗和方法；其次，課下需要勤練習，在練習的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題；最后，證明完一個問題或解完一個題目后還要思考有沒有其他的思路，如果有幾種不同的思路和方法，注意比較它們各自的優(yōu)缺點，這樣可以拓寬思路，開辟自己的解題途徑，此外，還要自己總結(jié)和歸納解題的方法和技巧，最好準備個單獨的本子，把這些經(jīng)驗匯總成冊，便于復習和回顧，這樣經(jīng)過日積月累，學生的解題能力就會有很大提高，這也體現(xiàn)了“不積跬步無以至千里，不積小流無以成江?！钡恼軐W思想。下面結(jié)合書上的例題加以說明。例題：設向量組,,線性無關(guān)，且=+2，=-，=4-3，試證向量組,,線性無關(guān)。這個例題是一個典型的證明向量組線性無關(guān)問題，證明方法既可以從線性無關(guān)的定義入手把問題轉(zhuǎn)化為證明齊次方程組只有零解來證明，還可以用向量組線性無關(guān)的一個充要條件——向量組的秩等于向量組所含向量的個數(shù)來證明，這樣引導學生從不同的角度來研究和思考，不僅鞏固了學生所學習的基本的理論和方法，還提高了學生分析和解決問題的能力。比如第二種證明方法就把一個向量組可以由另一個向量組線性表示的定義鞏固和復習了一下，并且還可以熟悉這個定義的矩陣表示式。另外，證明過程還用到矩陣可逆的一個充要條件和判斷一個向量組線性無關(guān)的一個用向量組的秩跟向量組中向量的個數(shù)關(guān)系的充要條件，很多學習的知識通過這一個題得到了綜合的運用，使得學生分析問題和解決問題的能力得到了鍛煉和提升。再舉一個例子：取何值時，非齊次線性方程組

（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解，并在有無窮多解時求其通解。這是一個帶參數(shù)的非齊次線性方程組的求解問題，是求解線性方程組的一個典型問題，那么求解方法可以用常規(guī)的方法可以從增廣矩陣入手進行行的初等變換化為行階梯形矩陣，再討論求解。另外考慮到系數(shù)矩陣是三階方陣，也可以從系數(shù)矩陣的行列式入手加以研究和計算。通過這些訓練一方面會大大提高解題能力，另一方面讓學生通過這兩種解題方法的研究和比較，發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單，避免了對帶參數(shù)矩陣施行初等行變換，但第二種解法的使用是有條件的，即適用于系數(shù)矩陣為方陣的情況。通過這些計算和分析學生也加深了對基本概念和理論的理解。

八、注意強調(diào)在向量空間中定義內(nèi)積的意義

在向量空間中，向量之間的運算定義了向量的線性運算，包括加法和數(shù)乘，若把三維向量空間與解析幾何中三維歐式空間相比較，就會發(fā)現(xiàn)三維向量空間缺少向量的幾何度量性質(zhì)，比如沒有定義向量的長度、兩個向量的夾角等。但向量的幾何度量性質(zhì)在很多問題中有著非常重要的地位，在維向量空間中引入向量的內(nèi)積，就能合理定義長度（即范數(shù)）、兩個向量之間的夾角等，使之成為一個可度量的向量空間。在此基礎上，就可以定義正交向量組、單位向量、規(guī)范正交基和正交矩陣等概念，從而可以使用這些知識和理論解決方陣的對角化，解決二次型化為標準型等重要的研究課題?？梢娫谙蛄靠臻g中定義內(nèi)積具有重要意義。