中深層套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算解析方法

湯昌福，羅萬(wàn)靜，黃駿瑋

(1.安徽省煤田地質(zhì)局勘查研究院，安徽 合肥 230088；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 熱科學(xué)和能源工程系，安徽 合肥 230026；3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 能源學(xué)院，北京 100083)

0 引 言

地?zé)崮荛_發(fā)在我國(guó)受到越來(lái)越多的重視，特別是淺層地?zé)崮芤呀?jīng)通過地源熱泵技術(shù)獲得了大面積應(yīng)用。近年來(lái)，為解決我國(guó)北方冬季清潔供暖問題，研究人員嘗試推廣中深層套管換熱器建筑應(yīng)用技術(shù)[1-4]。中深層套管換熱器深度通常在1 000～3 000 m之間，使用水為循環(huán)介質(zhì)，具有占地少、地溫高、取熱不取水的優(yōu)點(diǎn)，特別適合在嚴(yán)寒地區(qū)應(yīng)用，在我國(guó)北方已有多個(gè)中深層套管建筑供暖項(xiàng)目示范，并且在新修訂的《地源熱泵系統(tǒng)工程技術(shù)規(guī)范》征求意見稿(2020)中也增加針對(duì)中深層套管換熱技術(shù)的條文。

為科學(xué)分析套管換熱器傳熱能力及影響分析，指導(dǎo)工程實(shí)踐，學(xué)者們已經(jīng)開展了大量的研究。Rybach和Hopkirk[5]最早提出利用深層套管換熱技術(shù)開采地?zé)崮転榻ㄖ┡eierrichard等[6-7]基于無(wú)限長(zhǎng)線熱源理論建立了淺層套管換熱器換熱解析模型，并分析垂向溫度分布特征。Gordon等[8]建立了一種套管換熱器傳熱復(fù)合介質(zhì)模型，研究管子材料對(duì)換熱效果的影響，指出采用鋼制外管可以大大減小鉆孔總長(zhǎng)度需求。Zanchini等[9]采用有限元軟件COMSOL分析了熱短路、循環(huán)流量以及管材和換熱器幾何結(jié)構(gòu)對(duì)淺層套管換熱器換熱性能的影響。Morgan等[10]利用三維有限元軟件FEFLOW建立了管內(nèi)外解耦三維非穩(wěn)態(tài)模型，研究了巖土熱物性參數(shù)、深埋管材料、運(yùn)行機(jī)制等因素對(duì)同軸套管式深層套管換熱性能的影響。研究表明，與淺層地?zé)豳Y源利用相比，深層系統(tǒng)可以獲得更高的溫度和投資回報(bào)，在125～600 kW裝機(jī)容量之間，深層套管換熱器更具潛力。Henrik等[11]運(yùn)用Matlab軟件建立了深層套管換熱器二維數(shù)值模型，并給出了300～1 000 m埋深范圍內(nèi)的套管換熱器性能曲線。

隨著中深層套管建筑供暖技術(shù)的推廣，國(guó)內(nèi)在中深層套管換熱器傳熱方面的研究也逐漸增加。張兵兵等[12]基于鉆孔壁溫度均勻且恒定假設(shè)，建立不同流體循環(huán)方式下套管換熱器穩(wěn)態(tài)換熱解析模型，并進(jìn)行了鉆孔深度方向流體溫度分析特征及換熱器換熱能力影響因素分析，但該解析模型沒有考慮地溫梯度的影響?？讖埖萚1]采用開源數(shù)值模擬軟件OpenGeoSys研究了地溫梯度對(duì)深層套管換熱器換熱特性的影響，研究表明不考慮地溫梯度影響換熱器出口溫度偏低。王碩等[13]應(yīng)用Fluent軟件模擬了青島市深度為2 605 m深層套管換熱器系統(tǒng)，并通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，建議深層套管換熱器應(yīng)采取有效措施提高內(nèi)管的隔熱性能。方亮等[2-3]提出采用“名義取熱量”評(píng)價(jià)套管換熱器傳熱性能，并運(yùn)用有限差分方法計(jì)算“名義換熱量”圖版，供工程技術(shù)人員參考。Wang等[4]建立了考慮垂向熱物性差異的數(shù)值模型，并對(duì)某示范工程項(xiàng)目進(jìn)行模擬分析。

注意到目前中深層套管換熱器換熱性能模擬以數(shù)值方法為主[1-4,9-11,13]，例如有限元法、有限差分方法，并且有較為成熟的軟件FLUENT、COMSOL、OpenGeoSys等，而已有解析模型[6-7,12]都未考慮地溫梯度的作用，僅僅適用于淺層套管計(jì)算。與解析模型相比，數(shù)值方法操作復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，不便于工程計(jì)算。筆者從中深層套管換熱器地下傳熱基本原理出發(fā)，考慮地溫梯度影響，建立并求解中深層套管換熱器傳熱模型，并推導(dǎo)了短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算公式，用于中深層套管換熱器換熱性能研究。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，套管換熱器安裝在鉆孔中，套管外管與周邊地層之間以水泥砂漿回填。為獲得更好的取熱效果，中深層套管換熱器流體循環(huán)通常采用外進(jìn)內(nèi)出模式，流體由外管流入換熱器底部，經(jīng)內(nèi)管上升到地面后流出。套管換熱器傳熱模型建立滿足以下條件：

圖1 套管換熱器示意圖Fig.1 Schematic diagram of casing heat exchanger

(1)地層平均導(dǎo)熱系數(shù)為λs，體積熱容為cs。地層初始溫度Tg分布滿足，

Tg(z)=T0+gG·z

(1)

式中，gG為地溫梯度，T0為地表平均溫度，z為垂向深度，坐標(biāo)軸朝下。

(2)鉆孔半徑為rb，深度為H；回填材料導(dǎo)熱系數(shù)為λg；套管內(nèi)管內(nèi)徑為dii，內(nèi)管外徑die，內(nèi)管管壁導(dǎo)熱系數(shù)為λpi；外管內(nèi)徑為doi，外管外徑為doe，外管導(dǎo)熱系數(shù)λpe。

(3)循環(huán)流體體積流量恒定為Wf，平均導(dǎo)熱系數(shù)為λf，熱容為cf，黏度為μf；流體進(jìn)口溫度為Tfin，出口溫度為Tfout。

(4)假設(shè)地層內(nèi)軸向傳熱可以忽略，鉆孔內(nèi)為穩(wěn)態(tài)傳熱，套管換熱器熱流恒定為QG。

1.1 地層傳熱

當(dāng)忽略軸向傳熱時(shí)，套管換熱器在地層中傳熱以平面熱傳導(dǎo)為主，當(dāng)鉆孔內(nèi)傳熱為穩(wěn)態(tài)時(shí)，內(nèi)管流體1和外管流體2溫度Tf1和Tf2分別滿足：

Tf1=Tf2+qf1·R12

(2)

Tf2=Tb+qf2·R2b

(3)

式中，qf1為內(nèi)管流體1與內(nèi)管管壁之間熱流強(qiáng)度(延米換熱量)，qf2為外管流體2與外管管壁之間熱流強(qiáng)度，R12為內(nèi)管流體1和外管流體2之間的熱阻，R2b為外管流體2與鉆孔壁之間穩(wěn)態(tài)熱阻。鉆孔內(nèi)相關(guān)熱阻R12和R2b計(jì)算可以參考文獻(xiàn)[6-7]。

式(3)中Tb為鉆孔壁溫度，將鉆孔看作無(wú)限大地層中線熱源，鉆孔壁溫度Tb滿足[14]：

Tb-Tg(z)=qf2·Tu(t,rb)

(4)

式中，Tu為無(wú)限長(zhǎng)線熱源函數(shù)：

(5)

式中，t為時(shí)間，λs為地層平均導(dǎo)熱系數(shù)，cs為體積熱容，rb為鉆孔半徑，Ei為指數(shù)積分函數(shù)[14]。

綜合式(3)(4)可以得到：

(6)

1.2 管內(nèi)流體流動(dòng)傳熱

套管換熱器內(nèi)流體流動(dòng)傳熱以對(duì)流傳熱為主，內(nèi)管流體溫度Tf1與外管流體Tf2分別滿足：

(7)

(8)

綜合式(2)(3)(6)，管內(nèi)流體流動(dòng)傳熱方程(7)和(8)可以進(jìn)一步寫為：

(9)

(10)

1.3 定解條件

在進(jìn)出口處，流體溫度滿足：

z=0，-cfWf·(Tf1-Tf2)=QG

(11)

在套管換熱器底部流體溫度連續(xù)，滿足：

z=H，Tf1-Tf2=0

(12)

式中，H為鉆孔深度。

2 結(jié) 果

2.1 模型求解

在無(wú)量綱坐標(biāo)下對(duì)中深層套管換熱器傳熱模型進(jìn)行求解，所采用的無(wú)量綱量定義見附錄A，具體解析求解過程在附錄B給出。

2.1.1 流體進(jìn)出口平均溫度解

套管換熱器進(jìn)出口(zD= 0)流體平均溫度TfmD滿足：

(13)

將附錄B中內(nèi)管流體1溫度解(B16)代入(13)可以得到：

TfmD=fQ·[R2bD+TuD(tD,rbD)]+fg·gGD

(14)

式中，系數(shù)fQ和fg分別滿足：

(15)

(16)

式(14)中，右邊第一項(xiàng)代表套管換熱器熱流作用，第二項(xiàng)代表地溫梯度作用。

2.1.2 短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算

當(dāng)中深層套管換熱器運(yùn)行時(shí)間較短、熱干擾尚未發(fā)生時(shí)，可以采用短期無(wú)干擾名義取熱量評(píng)價(jià)中深層套管換熱器換熱能力[2-3]。中深套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量應(yīng)滿足[2-3]：以名義取熱量連續(xù)運(yùn)行三個(gè)月(90天)后，套管換熱器進(jìn)口流體溫度應(yīng)不低于5 °C。

根據(jù)無(wú)量綱量定義，式(14)可以寫為：

fg·gGH+T0

(17)

在外進(jìn)內(nèi)出模式下，外管流體入口溫度滿足：

(18)

則套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量QN計(jì)算公式為：

(19)

式(19)表明，名義取熱量是地溫梯度gG的線性函數(shù)，地層地溫梯度越大，套管換熱器的取熱效果越好。

2.1.3 驗(yàn) 證

方亮等[2-3]采用數(shù)值方法計(jì)算了不同地層導(dǎo)熱系數(shù)(λs=1 W/(m·K)、2 W/(m·K)、3 W/(m·K))、不同深度(H=1 500 m、2 000 m、2 500 m)時(shí)深層套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量隨地溫梯度變化曲線。圖2給出了式(19)計(jì)算的名義取熱量與方亮等[2-3]的結(jié)果對(duì)比情況，圖中直線為方亮等[2-3]的結(jié)果，三角、圓圈和方框?yàn)槭?19)計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二者基本保持一致，證明了短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算解析公式(19)的正確性。

2.2 近似解

當(dāng)時(shí)間較大時(shí)，Δη～ 0，η～0，存在近似表達(dá)式[15]：

圖2 短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison results of short-term non-interference nominal heat rates calculated with different methods

(20)

(21)

式(14)右邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別可以近似為：

fQ·[R2bD+TuD(tD,rbD)]≈TuD(tD,rbD)+

(22)

(23)

綜合(22)(23)可以得到套管換熱器進(jìn)出口流體平均溫度近似解：

(24)

有量綱形式為：

(25)

式(25)中右邊T0+gGH/2表示地層垂向初始平均溫度。

此外，當(dāng)時(shí)間滿足：

(26)

圖3 短期無(wú)干擾名義取熱量近似解計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of approximate solution of short-term non-interference nominal heat rates

式(25)可以近似為[14]：

(27)

此時(shí)，進(jìn)出口流體平均溫度是對(duì)數(shù)時(shí)間的線性函數(shù)。進(jìn)一步根據(jù)式(19)可以得到短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算近似公式：

QN≈

(28)

圖3給出了近似解(28)計(jì)算的名義取熱量與精確解(19)的對(duì)比情況，圖中直線為近似解計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二者基本保持一致。在圖3的計(jì)算范圍內(nèi)，近似解(28)計(jì)算的名義取熱量與精確解(19)之間的相對(duì)誤差不超過2%。

與精確解(19)相比，短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算近似公式(28)更加簡(jiǎn)單方便，非常適合現(xiàn)場(chǎng)工程技術(shù)人員使用。

3 結(jié) 論

(1)基于地下傳熱基本理論，考慮地溫梯度影響，建立了中深層套管換熱器地下傳熱模型，并推導(dǎo)了進(jìn)出口流體平均溫度解析解。

(2)推導(dǎo)了中深層套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量計(jì)算公式，計(jì)算了不同深度、不同地層導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)深層套管換熱器名義取熱量隨地層地溫梯度變化曲線，并進(jìn)行了驗(yàn)證。研究表明中深層套管換熱器短期無(wú)干擾名義取熱量是地層地溫梯度的線性函數(shù)，地溫梯度越大，套管換熱器取熱效果越好。