小題大做 別有洞天*
——以一道中考選擇壓軸題為例

李加祿

(云南省昆明市第三中學(xué),650500)

本文對2021年浙江省嘉興市一道中考試題進(jìn)行深入探究，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)和方法系統(tǒng)構(gòu)建的同時(shí)，挖掘試題的潛在育人價(jià)值，幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，提升解題能力，開闊解題視野.

一、原題呈現(xiàn)

如圖1,在?ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,點(diǎn)D在AC上,且AD=2,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE,點(diǎn)F,G分別是BC和DE的中點(diǎn),連結(jié)AG,FG,當(dāng)AG=FG時(shí),線段DE長為( )

二、總體分析

本題以等腰直角三角形為背景,以線段中點(diǎn)為載體,融入動(dòng)態(tài)幾何問題,題干簡單,圖形簡潔,以小見大,凸顯素養(yǎng).仔細(xì)研讀題目條件,不難發(fā)現(xiàn),我們只要求出AE的長,即可根據(jù)勾股定理求出DE的長,或者根據(jù)題目隱藏條件AG=DG=EG=FG,求出這四條中的任何一條線段即可.因此,如何運(yùn)用好中點(diǎn)相關(guān)知識,聯(lián)想“中點(diǎn)”的生長點(diǎn):等腰三角形遇中點(diǎn),三線合一;直角三角形遇中點(diǎn),斜中線定理;中點(diǎn)遇中點(diǎn),三角形中位線定理和倍長中線等是破題的關(guān)鍵.

三、解法探究

1.曲徑通幽——化斜為直,構(gòu)造方程

評析當(dāng)遇到“斜線段”時(shí),如本題中的AG,FG,我們可通過“斜線段”的兩個(gè)端點(diǎn)作水平線和鉛垂線,構(gòu)造直角三角形,將其“化斜為直”,再利用勾股定理及中位線定理分別表示出線段AG和FG的長,最后運(yùn)用等量關(guān)系構(gòu)造方程求解.

2抽絲剝繭——利用對角互補(bǔ),構(gòu)造全等

評析考慮到在?DEF中,FG=DG=EG,易證∠DFE=90°,進(jìn)而得四邊形AEFD對角互補(bǔ).又AF平分∠DAE,進(jìn)而聯(lián)想通過“截長補(bǔ)短”或“旋轉(zhuǎn)變換”構(gòu)造全等三角形解決“對角互補(bǔ)模型”問題,此時(shí)真有一覽眾山小之感.

3.上屋搭梯——遇角平分線作兩邊垂線,構(gòu)造全等

評析根據(jù)等腰三角形遇中點(diǎn),聯(lián)想到三線合一,可得AF平分∠CAB,進(jìn)而嘗試遇角平分線作角兩邊垂線,構(gòu)造全等三角形,然后利用全等三角形的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化和遷移,最后巧設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程使問題得解.此種解法由“中點(diǎn)”搭臺,“角平分線”唱戲,“全等”壓軸,精彩紛呈.

4.欲擒故縱——遇直角,構(gòu)造“K”型相似

評析當(dāng)題中出現(xiàn)特殊角是直角時(shí),我們通常作兩條垂線構(gòu)造“一線三直角”全等或相似,這是處理直角問題的重要策略.如解法4中,證得∠DFE=90°,進(jìn)而聯(lián)想構(gòu)造“K”型相似.

5. 柳暗花明——“圓”來如此,構(gòu)造輔助圓

評析若能根據(jù)題目條件的本質(zhì)特征覓得解題思路,可使問題化難為易,化繁為簡,化隱為顯.如題中隱含了GA=GD=GE=GF或四邊形AEFD對角互補(bǔ),可聯(lián)想到構(gòu)造輔助圓,則問題變得“圓”來如此簡單.

6. 另辟蹊徑——以“數(shù)”解“形”,建立坐標(biāo)系

評析若題中存在垂直關(guān)系,如本題中AB⊥AC,則可建立平面直角坐標(biāo)系,將幾何問題代數(shù)化,圖形性質(zhì)坐標(biāo)化,通過數(shù)形結(jié)合,使解題思路更加直觀簡潔.

7.豁然開朗——主從聯(lián)動(dòng),利用“瓜豆原理”

評析不難發(fā)現(xiàn),題目中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),則由“瓜豆原理”,可知從動(dòng)點(diǎn)G和主動(dòng)點(diǎn)E的軌跡類型相同,都為線段,進(jìn)而確定點(diǎn)G的軌跡為?DAE的中位線G1G2,再運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)求解.此種解法利用極端化思想確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡,化動(dòng)為靜,真可謂無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰.

四、解題反思

基于以上對一個(gè)中點(diǎn)動(dòng)態(tài)問題的深入探究,我們從不同的視角出發(fā),通過聯(lián)想、變通和構(gòu)造不同的模型,進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)化,挖掘其隱藏條件,衍生出不同的求解思路.而破解題目的關(guān)鍵就是洞悉中點(diǎn)的“生長點(diǎn)”和構(gòu)造幾何模型.如本題中構(gòu)造直角三角形列方程、構(gòu)造“K”相似模型、構(gòu)造對角互補(bǔ)模型、構(gòu)造輔助圓、構(gòu)建直角坐標(biāo)系等促進(jìn)知識間的關(guān)聯(lián)和重構(gòu),但無論哪一種解法都需要學(xué)生對基本圖形的結(jié)構(gòu)有深刻的認(rèn)識.一題多解不僅豐富了解題思路,同時(shí)也使一些基本知識和基本方法得到充分展示,提升了學(xué)生的類比能力和遷移能力,達(dá)到“以題會類”的歸一境界,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、廣闊性、靈活性和深刻性.