立足幾何建模 領(lǐng)悟構(gòu)造思想

劉 震

(浙江省杭州銀湖實驗中學(xué),311422)

數(shù)學(xué)模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中扮演著非常重要的角色,特別是在幾何部分,通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,常?？梢詫⒊橄髥栴}直觀化,復(fù)雜問題簡單化.本文介紹“手拉手”模型,并運用“手拉手”模型解決近年來中考數(shù)學(xué)中的一系列熱點難點問題,旨在深挖模型構(gòu)造依據(jù),感悟數(shù)學(xué)建模思想,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、模型預(yù)備

1.“手拉手”全等

如圖1,已知?ABC和?ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,連結(jié)BD,CE,則?ABD≌?ACE.

此模型具有三個特征:共頂點、雙等腰、頂角相等.

2.“手拉手”相似

如圖2,已知?ABC∽?ADE,連結(jié)BD,CE,則?ABD∽?ACE.

此模型具有三個特征:共頂點且共頂點的兩對對應(yīng)邊成比例、頂角相等.

二、模型應(yīng)用

1.求線段長度

例1(2014年武漢中考題)如圖3,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長為______.

2.求線段最值

(1)求證:AE=CF;

(2)若A,E,O三點共線,連結(jié)OF,求線段OF的長；

(3)求線段OF長的最小值.

解析(1)由“手拉手”全等模型,易得?ADE≌?CDF,所以AE=CF.

(2)略.

(3)如圖4,連結(jié)OD,將線段OD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得GD,連結(jié)OG,FG.同樣,由“手拉手”全等模型,易得?GDF≌?ODE,所以GF=OE=2.

3.判定線段的數(shù)量關(guān)系

(1)求證:BD是該外接圓的直徑;

(3)若?ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為?ABM,連結(jié)DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

解析(1)略.

4.求面積最值

例4如圖7,在四邊形ABCD中,AD=2,CD=4.若?ABC為正三角形,則?BCD面積的最大值為______,最小值為______.

解析如圖8,以CD為邊向形內(nèi)作正?CDE,連結(jié)BE.因為?ABC也為正三角形,由“手拉手”全等模型,易得?BCE≌?ACD,所以BE=AD=2.

因為?CDE位置確定,所以點E為定點,由圓的定義可知,動點B在以E為圓心,2為半徑的⊙E上運動.

5.求動點路徑長

三、教學(xué)反思

1.分析條件特征,挖掘構(gòu)造依據(jù)

通過構(gòu)造“手拉手”模型,我們解決了初中幾何中多種類型難題.那么上述問題為什么都可以構(gòu)造“手拉手”模型呢?我們不難發(fā)現(xiàn),這類題目中都存在著特殊幾何圖形——“等腰三角形”“等腰直角三角形”“等邊三角形”,它們自身的幾何性質(zhì)為構(gòu)造“手拉手”模型提供了方便.這樣的例子有很多,如“中點”.當(dāng)遇到中點時,我們應(yīng)從哪些方面進行思考,進而構(gòu)造出對應(yīng)的模型呢?可以通過分析條件特征,挖掘模型構(gòu)造依據(jù):(1)已知一個中點,聯(lián)系條件看是否為“等腰三角形三線合一”還是“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.普通三角形中線可考慮“倍長中線”,有時也可考慮過中點作平行線或再取中點構(gòu)造中位線以挖掘出隱含中點;(2)已知兩個中點,多為三角形中位線,若是兩中點不在一個三角形中,可考慮再構(gòu)造一個中點,將分散條件集中,化隱性為顯性.

2.重視閱讀能力,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

很多學(xué)生在閱讀題目之后沒有頭緒,缺乏思路,甚至出現(xiàn)理解錯誤.究其原因，一方面是因為幾何模型的綜合,有時并不會完整地展現(xiàn)幾何模型,而只會展現(xiàn)模型中最基礎(chǔ)的、關(guān)鍵的非連續(xù)文本或片段.這就需要我們掌握一定的非連續(xù)性文本閱讀策略以提高數(shù)學(xué)閱讀能力,進而能準(zhǔn)確快速地捕捉到這些關(guān)鍵字眼或圖表信息,找到顯性或隱性的已知條件,并能在大腦中反應(yīng)出可能的基本幾何模型,進而選出正確的做法;另一方面是因為學(xué)生的推理能力不足,邏輯思維混亂,對模型的條件、結(jié)論及推理過程不熟,也就是對圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有深入的認識和理解.因此,在解題教學(xué)中,教師應(yīng)注重對試題的本質(zhì)屬性,圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)進行鉆研和挖掘,讓學(xué)生清楚知識的來龍去脈.只有這樣才能發(fā)展學(xué)生的合情推理、演繹推理能力和理性精神,培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng),養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

3.立足幾何建模,領(lǐng)悟構(gòu)造思想

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型,并對數(shù)學(xué)模型進行求解,然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題.而數(shù)學(xué)建模思想其實是數(shù)學(xué)思想方法中的“構(gòu)造法”.所謂“構(gòu)造法”，就是指結(jié)合題目條件,在對條件進行深入分析的基礎(chǔ)上,通過數(shù)學(xué)想象構(gòu)建出一個合適的數(shù)學(xué)模型,從而輔助數(shù)學(xué)解題的方法.初中數(shù)學(xué)中的很多問題都可以模型化,但在構(gòu)造模型時,一要明確構(gòu)造的目的, 即為什么目的而構(gòu)造(對問題進行轉(zhuǎn)化化歸,化抽象為具體,化繁為簡,化難為易);二要弄清問題的特點,以便依據(jù)特點,確定方案、實現(xiàn)構(gòu)造.正如匈牙利數(shù)學(xué)家路沙·彼得在其名著《無窮的玩藝:數(shù)學(xué)的探索與旅行》中所指出的:數(shù)學(xué)家們往往不是對問題進行正面攻擊,而是不斷將它構(gòu)造、變形,直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題.