一道線段比最值問題的解法探究與變式拓展

黃 維

(江蘇省寶應(yīng)縣城北初級中學(xué),225800)

最值問題是中考考查的重點(diǎn),也是考生的難點(diǎn),并多以填空題、解答題或探究題等形式出現(xiàn).本文以一道線段比最值問題為例,著力一題多解,以此來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,拓寬學(xué)生的思維路徑.

一、原題呈現(xiàn)

分析本題以正方形為背景,將勾股定理、相似三角形、手拉手模型融為一體,涉及的知識點(diǎn)多,綜合性強(qiáng).

二、多彩解法

解法1(旋轉(zhuǎn)法)如圖2,將?DCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到?BCP′,取邊CP的中點(diǎn)E,連結(jié)BE,P′E.

由三角形法的三邊關(guān)系,得

點(diǎn)評由三線共點(diǎn)且有一組線段相等想到旋轉(zhuǎn),建立手拉手模型,再固定一條邊的長,通過三角形的三邊關(guān)系以確定另一條邊的范圍,從而求得最值.

由?DCE∽?DPC,可知AD2=CD2=DE·DP.

∵∠ADE=∠PDA,∴?ADE∽?PDA,

∴∠AED=∠PAD=90°,

即點(diǎn)E在以AD為直徑的圓上.

點(diǎn)評利用相似將雙動邊比值轉(zhuǎn)化為一動邊比一定邊,從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)C到動點(diǎn)E的最小值.而動點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以AD為直徑的圓,最終通過“一箭穿心”模型解決問題.

解法3(代數(shù)法)設(shè)BP=x,DC=1,則PC2=x2+1,PD=(x+1)2+1,

(t-1)x2+2tx+2t-1=0.

(*)

∵P是AB延長線上一點(diǎn),∴t≠1.

點(diǎn)評幾何問題直接求解往往比較困難,若采用代數(shù)法,有時(shí)可取得意想不到的效果.

通過多彩解法的展示,一方面可以通過不同思路的訓(xùn)練,復(fù)習(xí)了相關(guān)的基礎(chǔ)知識,感受幾何題的殊途同歸;另一方面,上述思路方法也可應(yīng)用到一般問題上.

四、變式拓展

解法1如圖5,將?BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?ACP′,取CP的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,P′E,P′P.

設(shè)CP=CP′=a，則由三角形的三邊關(guān)系,得PB=P′A≤P′E+AE,且當(dāng)P′,A,E三點(diǎn)共線時(shí),P′A取得最大值.

由?CDB∽?PCB,得AB2=BC2=BD·BP.

∵∠ABD=∠PBA,∴?ADB∽?PAB,

∴∠ADB=∠PAB=120°,即點(diǎn)D在以AB為弦,所張角為120°的圓弧上.

解法3如圖6,過點(diǎn)P作PH⊥BC交BC延長線于點(diǎn)H.

在實(shí)際教學(xué)中,教者要善于運(yùn)用“一題多解”,培養(yǎng)學(xué)生的求同和求異思維.通過一題多解的訓(xùn)練,不僅開闊學(xué)生的視野,而且達(dá)到拓寬學(xué)生的思維廣度,以及鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維的目的.