基于教材理解 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
——對一道九年級期末試題的思考

鐘曉紅

(廣東省中山市永寧中學(xué),528415)

教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的依據(jù),因此教師如何合理、靈活地處理好教材,是當(dāng)前深化課堂教學(xué)改革的重要環(huán)節(jié).本文以2021-2022學(xué)年廣東省中山市九年級(上)期末試卷第17題為例,通過解讀試題,引發(fā)對教材中“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的思考,與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1,將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB,在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A′O′B′處,則頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線總長為______.

二、試題評價(jià)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“綜合與實(shí)踐”是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體.教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容,設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程,是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑[1].本題以圖形滾動(dòng)為背景,以操作探究問題呈現(xiàn),凸顯對學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查.

1.源于教材

本題源于人教版教材九年級上冊第118頁數(shù)學(xué)活動(dòng)1“車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”,蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和極強(qiáng)的趣味性.題目涉及旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)、扇形的弧長公式、圓的概念與切線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查了學(xué)生操作、幾何直觀、推理計(jì)算、應(yīng)用意識(shí)等素養(yǎng).

2.活于教材

在圖形滾動(dòng)的過程中,構(gòu)成圖形要素(點(diǎn)、線等)也隨之運(yùn)動(dòng).通過探求特殊點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,從而得到某個(gè)點(diǎn)經(jīng)過的路線總長.解題時(shí),把扇形的弧長計(jì)算與運(yùn)動(dòng)軌跡問題結(jié)合起來,把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、模型、分類討論、運(yùn)動(dòng)與靜止等數(shù)學(xué)思想方法,從而獲得研究問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和空間想象的能力.

三、試題解析及難點(diǎn)分析

如圖2所示,頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線可以分成三部分:

難點(diǎn)1結(jié)合“扇形AOB在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A′O′B′處”的文字和圖形語言,可以理解為“扇形AOB在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周”;

難點(diǎn)2學(xué)生雖然能理解“無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周”的含義,但缺乏“無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),對其操作含糊不清;

難點(diǎn)3大部分學(xué)生對求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的基本方法摸不著頭腦,不知道如何尋找動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變的性質(zhì).如圖3,可以看到扇形AOB在運(yùn)動(dòng)中有(1)～(4)的四個(gè)狀態(tài),點(diǎn)O有三個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡過程,為什么要討論(1)～(4)的四個(gè)狀態(tài),學(xué)生缺乏思考;

難點(diǎn)4出現(xiàn)知識(shí)盲區(qū),從狀態(tài)(2)到狀態(tài)(3),點(diǎn)O到直線l的距離始終保持不變,這個(gè)距離為扇形AOB(圓O)的半徑,為什么此時(shí)點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于直線l的線段?

四、教學(xué)實(shí)踐

1.探究活動(dòng),感受難點(diǎn)

活動(dòng)用“半徑為1、圓心角為60°”的扇形紙片AOB,在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周.

問題1用筆畫出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路線.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生通過動(dòng)手操作的活動(dòng),猜測、觀察點(diǎn)O所形成的軌跡過程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力,感受數(shù)學(xué)來源于生活,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.從特殊到一般,化解難點(diǎn)

問題2如圖4,在直線l上線段BO繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到線段BO′的位置,點(diǎn)O到點(diǎn)O′的軌跡是什么形狀?點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長是多少?

問題3如圖5,圓O在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周到圓O′,點(diǎn)O到點(diǎn)O′的軌跡是什么形狀?圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長是多少?

設(shè)計(jì)意圖我們知道“圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑”,那么圓O上的特殊點(diǎn)是圓心O與直線l相切的切點(diǎn)A,連結(jié)OA，有OA⊥l,從而把點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡,由OO′∥AA′且OO′=AA′,推斷出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于直線l的線段OO′,該線段長為AA′等于圓O的周長,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長與圖形的周長有關(guān).在這實(shí)驗(yàn)操作中,學(xué)生對圓的滾動(dòng)有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí),提出“車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”,幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系,積累了生活經(jīng)驗(yàn),獲得了知識(shí)體驗(yàn).

問題4(2021-2022學(xué)年中山市九年級(上)期末試卷第17題)詳見文首,此處從略.

設(shè)計(jì)意圖通過問題1、2、3的鋪墊,問題4本質(zhì)是對問題2和3的綜合運(yùn)用，學(xué)生對點(diǎn)O經(jīng)過的路線分成三部分有了更深刻的理解.在探求點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡過程中,學(xué)生了解到動(dòng)點(diǎn)軌跡有圓弧型、直線型；解題過程中，學(xué)生體會(huì)了運(yùn)動(dòng)變化思想、特殊化思想、分類討論思想、化歸思想.這些都有助于學(xué)生將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為思想方法,形成解題技巧,提高解題能力.

3.變式訓(xùn)練,發(fā)散思維

變式1如圖6,將邊長為1的等邊?AOB,在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周,則點(diǎn)O經(jīng)過的路線總長為______.

變式2如圖7,將邊長為1的正方形OABC,在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周,則點(diǎn)O經(jīng)過的路線總長為______.

設(shè)計(jì)意圖如圖8、9所示,通過變式1和2,類比其他幾何圖形在直線上滾動(dòng)的情況,了解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,幫助學(xué)生積累解決這類問題的模型和方法,起到觸類旁通的作用.

四、教學(xué)啟示

1.立足教材,夯實(shí)基礎(chǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》強(qiáng)調(diào):教材是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[1].人教版初中數(shù)學(xué)教材在章引言、閱讀與思考、數(shù)學(xué)活動(dòng)、信息技術(shù)應(yīng)用、實(shí)驗(yàn)與探究等學(xué)習(xí)素材提供了豐富的與學(xué)生生活相聯(lián)系的“綜合與實(shí)踐”資源,學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等,感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的發(fā)展.因此,在平時(shí)教學(xué)中,教師不僅讓學(xué)生了解知識(shí)背景,還要理解知識(shí)形成過程,從而揭示知識(shí)間的聯(lián)系.

2.動(dòng)手操作,積累經(jīng)驗(yàn)

“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行.”數(shù)學(xué)活動(dòng)“車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”屬于“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容,在教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作與實(shí)踐,最終達(dá)成學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)(圓的概念與切線的性質(zhì))與方法解決實(shí)際問題；培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.

3.注重思想,提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法的形成是一項(xiàng)長期的任務(wù),應(yīng)該落實(shí)在每一堂數(shù)學(xué)課上.如本文中的教學(xué)實(shí)踐利用數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程,從線段、圓到扇形再到等邊三角形、正方形等規(guī)則圖形來發(fā)現(xiàn)幾何圖形滾動(dòng)問題的規(guī)律,滲透運(yùn)動(dòng)變化和從特殊到一般的思想;扇形AOB的頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線需要分成三部分來解釋,應(yīng)用了分類思想;通過動(dòng)手操作畫出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線求點(diǎn)的路徑長,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學(xué)思想方法需要“悟”[2],因此教師通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境,讓學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程,從而真正地理解知識(shí),提升學(xué)生解決問題的素養(yǎng).