作圖無定法 要旨系得法
——以網(wǎng)格作圖中的軸對(duì)稱為例

雷改良

(湖北省武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第二中學(xué),430056)

近幾年中考網(wǎng)格作圖經(jīng)常出現(xiàn)軸對(duì)稱的影子.相較于網(wǎng)格作圖中的作分點(diǎn)、作垂線、作平移、作角平分線而言,網(wǎng)格中的作對(duì)稱要稍微難一點(diǎn).很多問題不是直接要我們作對(duì)稱,而是將對(duì)稱性的作圖意圖雜糅在頗為棘手的看似與對(duì)稱無關(guān)的問題里面,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)作圖的核心把握不準(zhǔn),更不能將平時(shí)提煉的基本模型直接運(yùn)用到該問題上.本文分類例說如何利用作對(duì)稱的常用策略解決網(wǎng)格的有關(guān)經(jīng)典作圖問題.

一、作對(duì)稱的常用策略

策略1利用軸對(duì)稱性質(zhì)直接作對(duì)稱

例1如圖1～圖3,作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn).

基本方法對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

分析先過點(diǎn)A作對(duì)稱軸的垂線,垂足是格點(diǎn)(如圖1～圖2)，則直接倍長.若垂足不是格點(diǎn),則可想辦法構(gòu)造中位線模型,如圖3,連結(jié)AM并將其倍長至點(diǎn)C,再過C作對(duì)稱軸MN的平行線交對(duì)稱軸的垂線于一點(diǎn)B即為所求.

例2如圖4,?ABC是邊長為1正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形.

(1)畫點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D;

(2)連結(jié)AD交BC于E點(diǎn),畫點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F.

分析(1)過點(diǎn)A作對(duì)稱軸BC的垂線,垂足不是格點(diǎn),則先將AB倍長至點(diǎn)M,再過點(diǎn)M作對(duì)稱軸BC的平行線交對(duì)稱軸的垂線于點(diǎn)D即為所求.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)E為非格點(diǎn),且∠BAC=45°，則可利用后面的策略3,構(gòu)造?ACH與?ACB全等,再作CH邊上的高AF,即可得點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F.

策略2利用對(duì)稱軸作對(duì)稱

例3(2020年武漢中考題)在8×5的網(wǎng)格中建立如圖5的平面直角坐標(biāo)系,四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,4),B(8,4),C(5,0).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖,并回答問題:

(1)將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出對(duì)應(yīng)線段CD;

(2)在線段AB上畫點(diǎn)E,使∠BCE=45°(保留畫圖過程的痕跡);

(3)連結(jié)AC,畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F,并簡要說明畫法.

基本方法軸對(duì)稱圖形兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)交叉相連的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

分析第(1)、(2)問如圖6.第(3)問,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,則對(duì)角線AC為對(duì)稱軸,且點(diǎn)O與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱,連結(jié)OE與對(duì)稱軸AC交于點(diǎn)M,連結(jié)BM并延長與AO的交點(diǎn)即為所求的對(duì)稱點(diǎn)F(如圖7).

策略3利用全等作對(duì)稱

例4圖8是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).?ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,僅用無刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖,畫圖過程用虛線表示,畫圖結(jié)果用實(shí)線表示,按步驟畫出BC關(guān)于AC對(duì)稱的線段CD.

基本方法由點(diǎn)或線段所在三角形的對(duì)稱圖形,得到相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ邊.

分析易知∠BAC=45°.如圖8,構(gòu)造?ACD與?ACB全等,即可得CB關(guān)于AC對(duì)稱的線段CD.

例5如圖9,?ABC是邊長為1正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形.

(1)畫?ABC的角平分線BF;

(2)畫點(diǎn)A關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)G.

分析(1)利用三角形三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)的性質(zhì).如圖9,作出∠BAC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)E,連結(jié)BE并延長交AC于點(diǎn)F，BF即為?ABC的角平分線.

二、常用策略應(yīng)用

類型1利用對(duì)稱求最值

例6如圖10,在CD上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.

分析本題求最值,本質(zhì)則是作對(duì)稱.如圖10,利用策略1,找到點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連結(jié)BE交CD于點(diǎn)P即為所求.

類型2利用對(duì)稱作角相等

例7(2019年武漢中考題改編)圖11是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).四邊形ABCD的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn),用無刻度的直尺在邊AB上畫一點(diǎn)G,使∠AGD=∠BGC.(保留連線的痕跡,不要求說明理由)

分析要找到滿足條件的點(diǎn)G,使∠AGD=∠BGC,可利用策略1.如圖11,作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E,連結(jié)CE交AB于點(diǎn)G即為所求.

類型3利用對(duì)稱作線段相等

例8如圖12,?ABC中,AB=AC,B,C為格點(diǎn).

(1)P為邊AB上一點(diǎn),用無刻度直尺在AC上找一點(diǎn)Q,使AQ=AP；

(2)M為BC上任意一點(diǎn),在BC上找一點(diǎn)N，使CN=BM.

分析(1)此問可利用策略2解決.如圖12(1),連結(jié)CP交對(duì)稱軸于點(diǎn)D,連結(jié)BD并延長與AC的交點(diǎn)Q即為所求.

(2)可仿照問題(1),先在AC上取點(diǎn)E,在AB上找到點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F,再連結(jié)ME,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H,連結(jié)FH并延長與BC的交點(diǎn)即為N(如圖12(2)).

類型4利用對(duì)稱作全等

例9如圖13,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,僅用無刻度的直尺,將?ABC沿BC邊翻折,畫出翻折后的?DBC.

分析要求畫出翻折后的三角形,其核心是找到點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,可利用策略1解決.如圖13,先倍長AC到點(diǎn)E,作EF∥CB,再作BC的垂線AM,則AM與EF的交點(diǎn)即為點(diǎn)D.

類型5利用對(duì)稱作切線

例10圖14是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),A,B,C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖,畫圖過程用虛線表示.

(2)畫出格點(diǎn)E,使EA為⊙O的一條切線,并畫出過點(diǎn)E的另一條切線EF,切點(diǎn)為F.

分析(1)略.(2)如圖14,要求畫出過點(diǎn)E的另一條切線EF,其核心就是作點(diǎn)A關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn).因?yàn)镺E所在直線是圓O的對(duì)稱軸,只需要利用策略1,過點(diǎn)A作OE的垂線并延長,與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)F.(因?yàn)镺E為橫5.5豎1的直角三角形的斜邊,導(dǎo)致很多學(xué)生沒有想到過點(diǎn)A作橫1豎5.5的直角三角形的斜邊與OE垂直.)

三、結(jié)束語

網(wǎng)格作圖題靈活多變、豐富多彩,平面幾何中很多問題都能借助網(wǎng)格來呈現(xiàn).網(wǎng)格自身具有的幾何特征和數(shù)值特征,使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化和數(shù)量化.因此,網(wǎng)格作圖為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題提供了多角度探究的空間.網(wǎng)格作圖不僅能提高學(xué)生的識(shí)圖和作圖能力,還能多維度地培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力、計(jì)算能力、幾何直觀能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

初中數(shù)學(xué)中的尺規(guī)作圖操作方法多種多樣,教學(xué)中往往只注重操作方法,缺少對(duì)作圖依據(jù)的合理闡釋,這樣會(huì)讓學(xué)生知其然而不知其所以然,一旦遇到新問題仍是束手無策.網(wǎng)格作圖問題其本質(zhì)和常規(guī)尺規(guī)作圖相同,作圖原理并沒有發(fā)生改變,只是采用的作圖工具由直尺圓規(guī)變成了網(wǎng)格和無刻度的直尺,相當(dāng)于是問題的載體發(fā)生了變化,因此在課堂教學(xué)中我們應(yīng)更注重知識(shí)的生成過程,梳理相關(guān)內(nèi)容的邏輯,幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)體系,這樣才能有助于學(xué)生在應(yīng)用知識(shí)時(shí)進(jìn)行知識(shí)的正遷移.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,核心素養(yǎng)反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的,具有綜合性、整體性和持久性.這就要求教師在課堂教學(xué)中不能按部就班地教學(xué)生獲得問題的答案,而應(yīng)啟發(fā)學(xué)生挖掘問題內(nèi)涵,讓學(xué)生去主動(dòng)思考解決這個(gè)問題應(yīng)該使用哪些學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法.教師只有在平時(shí)教學(xué)中滲透這樣的數(shù)學(xué)思想方法,才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).