數(shù)學(xué)解題課教學(xué)的整體性和聯(lián)系性*
——以“應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠”為例

鄧冬華 劉 敏

(四川師范大學(xué)附屬青臺山中學(xué),610101)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,如何讓學(xué)生理解新學(xué)知識的重要性和必要性?如何整體把握教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生理解問題解決過程中不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系?對一題多解問題,如何在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上選擇最優(yōu)方法?如何將一個看似簡單的課,上出數(shù)學(xué)味?這些都是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中值得關(guān)注的幾個問題.筆者在北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊“應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠”一課的教學(xué)過程中,嘗試采用整體聯(lián)系的教學(xué),加深了對上述問題的理解.

一、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體性和聯(lián)系性的緣由

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體性和聯(lián)系性是由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要決定的[1],也是由教師專業(yè)發(fā)展需求決定的.

1.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體聯(lián)系是由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)決定的

數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常嚴(yán)密的學(xué)科,知識內(nèi)容本身是一個整體.教師只有在課堂教學(xué)過程中,充分理解數(shù)學(xué),把握數(shù)學(xué)邏輯,站在系統(tǒng)的高度整體把握教材內(nèi)容,才能把數(shù)學(xué)課上出數(shù)學(xué)味.

2.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體聯(lián)系是由學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要決定的

為順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,中小學(xué)數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分年級授課,在同一個知識板塊采用螺旋上升的方式進(jìn)行教學(xué),但這樣的教材編排方式和教學(xué)方式容易將知識割裂成“碎片”,學(xué)生往往只見樹木不見森林.只有注重前后整體聯(lián)系的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能讓學(xué)生融會貫通,讓他們更好地把握數(shù)學(xué)知識的整體框架結(jié)構(gòu),從而提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).

3.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體聯(lián)系是由教師專業(yè)發(fā)展需求決定的

數(shù)學(xué)教育家孫維剛老師非常強(qiáng)調(diào)新舊知識的聯(lián)系,提出“結(jié)構(gòu)教學(xué)法”.在專業(yè)成長過程中,教師的課堂教學(xué)只有注重把握整體性和聯(lián)系性,把握教學(xué)邏輯,才能達(dá)到孫維剛老師的“八方聯(lián)系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”[2]的境界.

二、“雞兔同籠”教學(xué)案例

(一)教學(xué)背景

“應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠”是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第五章“二元一次方程組”第三節(jié)的內(nèi)容,該課是在學(xué)生認(rèn)識二元一次方程組、求解二元一次方程組后,應(yīng)用二元一次方程組的第1課時.通過本課的教學(xué),學(xué)生會找出簡單問題中的等量關(guān)系,列出二元一次方程組解決問題,體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要模型.教學(xué)過程中,我們應(yīng)充分挖掘本課內(nèi)容的意義和價值,嘗試與已學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)系,建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)體系,加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與理解.

(二)教學(xué)片斷簡錄

1.“雞兔同籠”問題的不同解法及其內(nèi)在一致性

課上,教師先展示《孫子算經(jīng)》原題:今有雞兔同籠, 上有三十五頭, 下有九十四足, 問雞兔各幾何?

引導(dǎo)學(xué)生翻譯題意后,教師提出問題.

師:怎么解決這個問題?

(學(xué)生先獨(dú)立思考,再交流分享)

生1(方法1):小學(xué)學(xué)過“假設(shè)法”.假設(shè)雞和兔都是2條腿,則一共有70條腿.而兔子有4條腿,每只兔子多出2條腿,由多出的24條腿可知兔子有12只,進(jìn)而得雞有23只.

生2(方法2):小學(xué)學(xué)過“吹口哨法”.假設(shè)雞和兔都是訓(xùn)練有素的,吹一聲口哨,雞抬1條腿,兔抬2條腿,這時雞和兔的腿數(shù)減半,還剩47條;再吹一聲口哨,雞和兔都再各自抬一條腿,這時雞全部倒下了,還剩兔的12條腿.故兔12只,雞23只.

生3(方法3):小學(xué)學(xué)過“砍腿法”.假設(shè)雞和兔各砍掉2條腿,一共砍去70條腿,這時只剩兔的24條腿.而每只兔有2條腿,故兔子12只,雞23只.

生4(方法4):我用一元一次方程的方法求解.設(shè)雞的只數(shù)為x，則兔的只數(shù)為35-x.由題意,得2x+4×(35-x)=94,解得x=23,即雞23只,兔子12只.

教師逐一肯定了同學(xué)們的想法,同時指出解決雞兔同籠問題的方法很多,并再次提出問題.

師:這些不同的方法之間有沒有什么聯(lián)系呢?

(啟發(fā)學(xué)生更深層次地思考問題)

生6:方法4與方法5之間有聯(lián)系,可將方法5中的方程① 可變形為y=35-x,代入方程② 即是2x+4·(35-x)=94,也就是方法4的一元一次方程.所以說方法4可以看成是將方法5中方程① 代入方程② 消元的產(chǎn)物.

教師大加贊賞并追問:方法1、方法2、方法3與方法5之間有沒有什么聯(lián)系呢?

生7:方法3,其實(shí)質(zhì)是方法5中方程② 減去方程① 的2倍.

生8:方法2,其實(shí)質(zhì)是方法5中方程② 除以2再減去方程①.

生9:方法1與方法3本質(zhì)是一樣的,都是方法5中方程② 減去方程① 的2倍.

師:這幾位同學(xué)揭示了算術(shù)解法和方程解法之間的聯(lián)系,也就是說,以前學(xué)過的算術(shù)方法都可以回歸到最近學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法上來.

評述解決雞兔同籠問題的方法很多,教學(xué)過程中一題多解值得提倡,但更為重要的是讓學(xué)生理解不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系.本問題中,方法1、方法2、方法3是小學(xué)經(jīng)典的算術(shù)方法,方法4是七年級列一元一次方程解應(yīng)用題方法,方法5是新學(xué)習(xí)的列二元一次方程組解應(yīng)用題方法.前4種方法都能與方法5聯(lián)系起來,其實(shí)質(zhì)就是方法5中方程組的代入消元法和加減消元法.看清不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,不盲目崇拜小學(xué)的算術(shù)方法,這對學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識,形成正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀大有裨益.

2.“雞兔同籠”問題解法選擇及其用二元一次方程組解法的必要性

(1)不同解法的選擇

基于上面的分析、交流、討論,教師提出問題:解決這樣的“雞兔同籠”問題,同學(xué)們給出了5種方法,下次遇到這種問題的時候,你會選擇哪種方法?

同學(xué)們談了自己的看法,并且給出了選擇方法的理由.這時可以感覺到,同學(xué)們對使用二元一次方程組的意愿不強(qiáng)烈,對其解決問題的優(yōu)越性體會不深刻.

(2)感悟新方法的必要性

教師給學(xué)生足夠的時間獨(dú)立思考,交流討論.在解決此問題的過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn):小學(xué)的算術(shù)方法和一元一次方程的方法都不太奏效,當(dāng)題目中兩等量關(guān)系非常明確但不太容易用一個量表示另一個量的時候,用二元一次方程組的方法能更快更好地解決問題.

通過這個問題,教師讓學(xué)生明確:所謂的“雞兔同籠”問題其實(shí)質(zhì)是已知兩個量的兩個等量關(guān)系,求這兩個量的問題.這類問題都可以用二元一次方程組的方法求解,并歸納用二元一次方程組解決問題的步驟.

評述教師要在教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的批判性思維,讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)新方法的必要性.這就需要教師在教學(xué)過程中,讓學(xué)生對方法進(jìn)行分析、對比、質(zhì)疑,產(chǎn)生認(rèn)知沖突,產(chǎn)生積極學(xué)習(xí)的意愿.

3.“配套問題”的最優(yōu)解

教師給出下面的問題作為本課的拓展:機(jī)械廠加工車間有68名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪剛好配成1套,那么需要分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大、小齒輪剛好配套?

學(xué)生獨(dú)立思考后,分享如下:

教師肯定他們的想法,并引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去認(rèn)識與理解列方程的過程.

評述在教學(xué)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生說出解法背后的思考,引導(dǎo)學(xué)生對不同解法進(jìn)行比較,尋找方法之間殊途同歸的內(nèi)在聯(lián)系.在此過程中,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對問題、方法有自己的理解,同時也能吸納他人的想法,形成一個整體.

三、教學(xué)思考

1.解題課教學(xué)應(yīng)關(guān)注新方法的重要性及引出新方法的必要性

能走入學(xué)生內(nèi)心的新方法才能被學(xué)生接受和應(yīng)用,因此，如何讓學(xué)生認(rèn)識到新方法的重要性和引入新方法的必要性很重要.教學(xué)過程中,教師應(yīng)通過分析、比較,借助問題等載體,站在系統(tǒng)的角度,讓學(xué)生認(rèn)識到新方法的優(yōu)越性,自然而然從心里接受、自覺運(yùn)用.

2.解題課教學(xué)應(yīng)揭示一題多解不同解法之間的內(nèi)在聯(lián)系

一題多解能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,但不應(yīng)為了一題多解而多解,應(yīng)當(dāng)有意識地揭示解法之間的內(nèi)在聯(lián)系.不同解法可能源于對已知條件不同角度的翻譯和理解,可能是另外解法的等價表征,不能只追求解法的數(shù)量,更要通過內(nèi)在聯(lián)系的挖掘讓學(xué)生加深對知識的理解和應(yīng)用,形成知識結(jié)構(gòu),提升素養(yǎng).

3.解題課教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對題目解法進(jìn)行反思性總結(jié)回顧

在解題教學(xué)過程中,我們要在充分理解的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進(jìn)行歸類整理、甄別選擇,積累經(jīng)驗(yàn),將知識與方法內(nèi)化為能力和素養(yǎng).

基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)要求、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教師專業(yè)成長需求,立足把握數(shù)學(xué)邏輯、學(xué)習(xí)邏輯、教學(xué)邏輯,決定了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)把握整體性和聯(lián)系性.愿我們都能站在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的高度,達(dá)到“八方聯(lián)系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”的境界.