理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，推動智慧發(fā)展
——以中考一輪復(fù)習(xí)課“列代數(shù)式及其應(yīng)用”為例

葛東蓮（河北省石家莊外國語學(xué)校）

進(jìn)入九年級中考備考，很多數(shù)學(xué)教師常有“感覺復(fù)習(xí)不復(fù)習(xí)，結(jié)果差不多”“復(fù)習(xí)課難上，總復(fù)習(xí)課更難上”等困惑。帶著對這些問題的思考，筆者進(jìn)行了一輪復(fù)習(xí)課“列代數(shù)式及其應(yīng)用”的教學(xué)探索。下面以這節(jié)課為例展現(xiàn)筆者的思考。

一、內(nèi)容與學(xué)情分析

教學(xué)內(nèi)容分析：借助現(xiàn)實(shí)情境列代數(shù)式，了解代數(shù)式的價(jià)值；體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號的過程，探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行表述的方法；代數(shù)式上承用字母表示數(shù)，下啟方程、不等式、函數(shù)的應(yīng)用；代數(shù)式的性質(zhì)就是代數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容。

學(xué)生學(xué)情分析：在此之前，學(xué)生已經(jīng)對初中數(shù)學(xué)全部課程進(jìn)行了學(xué)習(xí)，已經(jīng)充分了解了初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容特點(diǎn)。本節(jié)課是一輪復(fù)習(xí)，需要站在學(xué)科整體的高度，引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的整體架構(gòu)、發(fā)展脈絡(luò)，理解代數(shù)式在研究數(shù)學(xué)、借助數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí)的重要作用，以代數(shù)的眼光、思維觀察問題，分析解決問題。

二、目標(biāo)與重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：1.能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示量及量之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)抽象的一般過程。2.根據(jù)需要，能對所列代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算、推理，進(jìn)而解決問題。3.理解代數(shù)式作為方程、不等式、函數(shù)的“重要組成部分”，能借助代數(shù)式構(gòu)造相關(guān)數(shù)學(xué)模型，解決問題。

教學(xué)重點(diǎn)：1.分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式進(jìn)行表示。2.對所列代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算、推理，解決問題。

教學(xué)難點(diǎn)：理解代數(shù)式的價(jià)值——研究數(shù)量之間一般關(guān)系和規(guī)律。

三、教學(xué)實(shí)施過程

環(huán)節(jié)一：通過解決問題，回顧知識本源

教師提問：通過解決下列問題，你認(rèn)為如何借助代數(shù)式解決問題？

某建筑公司承包了A、B兩工地，現(xiàn)要從甲、乙兩倉庫向A、B兩工地運(yùn)送水泥．已知甲倉庫可運(yùn)出100噸水泥，乙倉庫可運(yùn)出80噸水泥，A工地需70噸水泥，B工地需110噸水泥．兩倉庫到A、B兩工地的路程和每噸每千米的運(yùn)費(fèi)如下表。

路程（千米） 運(yùn)費(fèi)（元/噸千米）甲倉庫 乙倉庫 甲倉庫 乙倉庫A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8

問：（1）設(shè)甲倉庫運(yùn)往A地水泥x噸，用含x的代數(shù)式表示乙倉庫分別運(yùn)往A、B兩地多少噸；

（2）當(dāng)甲、乙兩倉庫各運(yùn)往A、B兩工地多少噸水泥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)y最??？最小總運(yùn)費(fèi)是多少？

學(xué)生活動：在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上展開小組討論：1.如何列代數(shù)式？2.如何借助代數(shù)式解決問題？3.借助（1）所列出的代數(shù)式還能提出哪些問題？

教師調(diào)控：在個(gè)人探究與小組活動過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生在列代數(shù)式過程中，能否厘清數(shù)量關(guān)系，能否恰當(dāng)?shù)赜米帜副硎疚粗?，并列出含有該字母的代?shù)式；需要指導(dǎo)學(xué)生對列代數(shù)式的相關(guān)過程做出概括，引導(dǎo)學(xué)生提出更多的實(shí)際問題，并借助所列代數(shù)式解決問題；需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，對數(shù)與代數(shù)板塊知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化歸納概括，凸顯知識之間的體系關(guān)聯(lián)。（學(xué)生展示過程略）

教學(xué)意圖：借助本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度列代數(shù)式，并分析歸納列代數(shù)式過程的共性。其次，與方程、不等式、函數(shù)等相關(guān)知識相聯(lián)系，完整展現(xiàn)代數(shù)式作為“重要組成部分”的知識架構(gòu)作用。

環(huán)節(jié)二：體會知識作用，提煉方法聯(lián)系

教師提問：通過解決下列問題，你認(rèn)為代數(shù)式的作用是什么，解決問題的過程中用到了哪些知識和方法？

超市為回饋市民，決定對某種商品進(jìn)行降價(jià)讓利活動，現(xiàn)有兩種方案：（1）分兩次降價(jià)，每次降價(jià)率不同。（2）分兩次降價(jià)，每一次降價(jià)率是方案一中兩次降價(jià)率的平均數(shù)。以上兩種方案，哪一個(gè)方案對消費(fèi)者優(yōu)惠力度更大？

學(xué)生活動：在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上以小組為單位合作探究：1.解決問題的關(guān)鍵是什么？2.如何借助代數(shù)式解決問題？3.解決問題的過程中用到了哪些知識和方法？

教師調(diào)控：教師主要關(guān)注學(xué)生探究過程，指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號表示已知量和未知量；引導(dǎo)學(xué)生對所列代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算、推理等操作，引導(dǎo)學(xué)生分析問題的共性，歸納方法。（學(xué)生展示過程略）

教學(xué)意圖：其一，本題不含數(shù)字或字母，需要學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號表示問題中的量及量之間的關(guān)系，感悟用代數(shù)式解決問題的一般性。其二，設(shè)置知識明線和思想方法暗線兩條主線，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)由字母或代數(shù)式所代表數(shù)值的不確定性產(chǎn)生的分類討論思想。

四、教學(xué)反思與感悟

1．選擇合適的素材，確定學(xué)習(xí)的研究載體

所謂合適，就是有研究的價(jià)值，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)有重大作用的，有著典型性、生長性、拓展性等特點(diǎn)，有利于學(xué)生感悟?qū)嶋H問題數(shù)學(xué)化的一般過程：“實(shí)際問題→量及其關(guān)系→代數(shù)式”，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力?！按鷶?shù)式”在初中數(shù)學(xué)課程體系中看似不起眼，但其學(xué)科價(jià)值卻影響深遠(yuǎn)，對代數(shù)式的研究貫穿代數(shù)學(xué)的整個(gè)過程。能夠有意識地列代數(shù)式，并借助相關(guān)運(yùn)算、推理解決問題，標(biāo)志著符號意識、代數(shù)推理、數(shù)學(xué)建模等核心能力發(fā)展至較為成熟的階段。

2．創(chuàng)設(shè)有效的課堂活動，推動學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展

課堂活動的創(chuàng)設(shè)要始終圍繞“發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”這一主題。本節(jié)課中，著眼于發(fā)展學(xué)生符號意識、數(shù)學(xué)推理與運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用等核心能力。一是，有意識地創(chuàng)設(shè)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生用字母表示數(shù)，列代數(shù)式表示量及量之間的關(guān)系，充分感悟引入數(shù)學(xué)符號的意義，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。二是，通過問題設(shè)置，推動學(xué)生對所列代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算、推理，經(jīng)歷以代數(shù)式為核心構(gòu)建方程、不等式、函數(shù)等模型解決問題的完整過程，同時(shí)幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化，理解不同知識板塊間的內(nèi)在聯(lián)系。三是，通過引導(dǎo)學(xué)生借助所列代數(shù)式解決更多問題，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

3．搭建思維的發(fā)展平臺，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的智慧進(jìn)步

教會學(xué)生“想問題”的順序和方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)“質(zhì)的突破”，使學(xué)生思維的生長有章可依，有法可鑒，有據(jù)可循。在本節(jié)課，始終貫穿“發(fā)現(xiàn)量及其關(guān)系→表示量及其關(guān)系→應(yīng)用量及其關(guān)系”這條主線，這是代數(shù)式研究的核心體現(xiàn)。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)以此為主軸有序展開：方程研究不同代數(shù)式之間的相等關(guān)系，不等式研究不同代數(shù)式之間的不等關(guān)系，函數(shù)——研究代數(shù)式與其所含字母之間的相互對應(yīng)、相互依存的關(guān)系。學(xué)習(xí)它的價(jià)值就是使學(xué)生從“做題”到“明理”，在更廣闊的視域內(nèi)“看問題”。為了獲得“代數(shù)式”，需要建立量之間的關(guān)系，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，需要借助一定手段——列表、畫圖。這些手段就是在幫助學(xué)生更加有序且有效地“想問題”。