一種改進(jìn)牛頓-拉夫遜ERT算法

周 曦，柴曉宇，王 彬，肖理慶

(淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 淮南 232038)

1 引言

作為電學(xué)層析成像技術(shù)的重要分支，目前電阻層析成像技術(shù)在可視化檢測領(lǐng)域中已得到了飛速發(fā)展。其中，利用圖像重建算法計(jì)算得到敏感場邊界電壓測量值對應(yīng)的敏感場域內(nèi)電阻率分布，不僅是電阻層析成像技術(shù)的核心內(nèi)容，也是目前國內(nèi)外科學(xué)工作者研究的難點(diǎn)與熱點(diǎn)。

為了提高重建圖像分辨率，文獻(xiàn)[6]利用仿真圖像作為訓(xùn)練樣本，提出了一種將長短期記憶網(wǎng)絡(luò)與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的ERT圖像重建算法，并通過了礦山充填管道可視化檢測平臺(tái)的驗(yàn)證；文獻(xiàn)[7]提出了一種長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)+全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ERT圖像重建算法；文獻(xiàn)[8]提出了稀疏正則化算法，獲得了更高精度的重建圖像；文獻(xiàn)[9]提出了一種可有效減小偽影的ERT重建算法。

修正牛頓-拉夫遜算法是具有最優(yōu)化思想的靜態(tài)圖像重建算法，但圖像重建質(zhì)量很大程度上取決于初始電阻率分布估計(jì)值選取、正則化因子調(diào)整策略以及靈敏度矩陣更新策略。而遺傳算法作為一種群體型操作算法，被廣泛應(yīng)用于不同優(yōu)化問題求解。本文在確定初始電阻率分布估計(jì)值選取、正則化因子調(diào)整策略以及靈敏度矩陣更新策略的基礎(chǔ)上，將區(qū)間算法引入文獻(xiàn)[15]所提出的改進(jìn)遺傳算法中，并將其應(yīng)用于重建圖像閾值優(yōu)化，有效提高了重建圖像分辨率。

2 改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法

2.1 初始電阻率分布估計(jì)值選取

為了在保證算法逆問題求解過程收斂的前提下，提高算法實(shí)時(shí)性，在敏感場域內(nèi)介質(zhì)分布的初始值選取方面，利用可實(shí)現(xiàn)離線優(yōu)化與計(jì)算、在線一步成像的改進(jìn)Landweber預(yù)迭代算法獲得，具體迭代公式如式(1)所示。

+1=+1·(·)

(1)

式中：+1為第+1次預(yù)迭代時(shí)對應(yīng)的重建圖像灰度值，為離線優(yōu)化所得對角陣，為敏感場邊界電壓測量值，+1的離線計(jì)算公式如式(2)與式(3)所示。

+1=+(-)

(2)

(3)

式中：為單位矩陣，為增益因子，為方陣的最大特征值。

2.2 正則化因子調(diào)整策略

在修正牛頓-拉夫遜圖像重建算法逆問題求解過程中，按式(4)修正敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率分布。

(+1)=()+Δ(+1)

(4)

式中：(+1)=()+Δ(+1)為第+1次迭代時(shí)對應(yīng)的敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率分布，Δ(+1)為修正量，計(jì)算公式如式(5)所示。

Δ(+1)=-{[′(())]′(())+()}

·[′(())]((())-)

(5)

式中：′(())與(())分別為敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率分布為()時(shí)對應(yīng)的靈敏度矩陣和敏感場邊界電壓計(jì)算值，()為正則化因子。

為了保證逆問題求解過程穩(wěn)定且圖像重建精度滿足要求，借鑒慣性權(quán)重遞減策略，正則化因子()按概率采取式(6)-式(8)所示三種不同遞減策略調(diào)整。

(6)

()=+(-)·(-)

(7)

()=+(-)·(-)

(8)

式中：與根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)設(shè)置，與分別為迭代次數(shù)最大值與當(dāng)前值。

2.3 靈敏度矩陣更新策略

關(guān)于靈敏度矩陣更新策略，目前在電阻層析成像迭代類圖像重建算法中，通常采用以下兩種措施：

①靈敏度矩陣固定不變。這種措施一般選取敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率均勻分布對應(yīng)的靈敏度矩陣，雖然可滿足對圖像重建算法實(shí)時(shí)性的要求，但逆問題求解精度不高且收斂速度較慢。即使通過優(yōu)化措施保證逆問題求解過程穩(wěn)定，但重建圖像分辨率仍很難滿足要求。

②靈敏度矩陣時(shí)刻更新。與上一種措施相比，這種措施雖然圖像重建精度較高，但逆問題求解速度難以滿足要求，而且在更新靈敏度矩陣時(shí)，如果敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率與其真實(shí)情況相差較大，反而會(huì)降低圖像重建算法逆問題求解精度。

針對上述兩種措施的不足之處，本文提出一種新型靈敏度矩陣更新策略：在算法逆問題求解過程中，將第次計(jì)算所得敏感場邊界電壓計(jì)算值()代入式(9)，如果誤差不再減小，則按目前所得的敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率最優(yōu)分布更新靈敏度矩陣。

(9)

2.4 重建圖像閾值優(yōu)化

當(dāng)更新靈敏度矩陣無法繼續(xù)減小敏感場邊界電壓計(jì)算值與測量值的誤差時(shí)，為了進(jìn)一步提高圖像重建算法逆問題求解的精度和速度，將區(qū)間算法引入文獻(xiàn)[15]所提出的改進(jìn)遺傳算法中，將滿足式(10)、不存在極值點(diǎn)的區(qū)間排除，在可能存在極值點(diǎn)的區(qū)間生成改進(jìn)遺傳算法初始種群，并利用所提出的改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化目前所得的敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率最優(yōu)分布對應(yīng)的重建圖像閾值和，如式(11)所示，進(jìn)而可得敏感場域Ω內(nèi)電阻率分布的最終最優(yōu)值。

(10)

式中：為()在內(nèi)某點(diǎn)的適應(yīng)值，?表示任一區(qū)間，為萊布尼茲常數(shù)，()和()分別為區(qū)間的寬度和中點(diǎn)。

(11)

式中：為求解逆問題時(shí)敏感場域Ω內(nèi)剖分的三角形有限元數(shù)目。

3 仿真與分析

圖1 敏感場域Ω內(nèi)六種不同典型分布

現(xiàn)通過正問題計(jì)算，獲得敏感場邊界電壓測量值，為了避免“inverse crime”并提高算法圖像重建的速度，利用細(xì)化前的有限元模型求解電阻層析成像逆問題。當(dāng)圖像重建算法最大迭代次數(shù)maxk均設(shè)置為200時(shí)，不同圖像重建算法逆問題求解結(jié)果分別如圖2-圖7、表1及表2所示。

圖2 無噪聲干擾時(shí)算法1逆問題求解結(jié)果

圖3 無噪聲干擾時(shí)算法2逆問題求解結(jié)果

圖4 無噪聲干擾時(shí)算法3逆問題求解結(jié)果

圖5 有噪聲干擾時(shí)算法1逆問題求解結(jié)果

圖6 有噪聲干擾時(shí)算法2逆問題求解結(jié)果

圖7 有噪聲干擾時(shí)算法3逆問題求解結(jié)果

表1 無噪聲干擾時(shí)不同算法相關(guān)系數(shù)ρ比較

表2 有噪聲干擾時(shí)不同算法相關(guān)系數(shù)ρ比較

其中圖像重建算法1在逆問題求解過程中采取固定敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率均勻分布對應(yīng)的靈敏度矩陣不變的策略，而正則化因子()采取式(7)所示遞減策略調(diào)整，并根據(jù)算法收斂次數(shù)與發(fā)散次數(shù)分別按式(12)與式(13)更新正則化因子最大值與算法最大迭代次數(shù)，圖像重建算法2在逆問題求解過程中采取每次迭代均更新靈敏度矩陣的策略，正則化因子()按式(8)調(diào)整，圖像重建算法3為本文提出的改進(jìn)算法，本文所采取的評價(jià)圖像重建算法逆問題求解精度的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如式(14)所示。

(12)

(13)

式中：與分別為正則化因子縮小倍數(shù)與放大倍數(shù)。

(14)

對比圖1設(shè)置的敏感場域Ω內(nèi)六種不同典型分布與圖2-圖7不同圖像重建算法逆問題求解結(jié)果，并結(jié)合表1與表2在無噪聲干擾和有噪聲干擾時(shí)不同算法相關(guān)系數(shù)，可得以下結(jié)論：

①對不同圖像重建算法而言，噪聲干擾均會(huì)影響逆問題求解精度：在無噪聲干擾時(shí)，圖像重建算法1-3相關(guān)系數(shù)的平均值分別為08360、08555、08828，在有噪聲干擾時(shí)，圖像重建算法1-3相關(guān)系數(shù)的平均值分別減小至08092、08276、08572，分別降低了32057、32613、28999。

②相比在逆問題求解過程中采取固定敏感場域Ω內(nèi)介質(zhì)電阻率均勻分布對應(yīng)的靈敏度矩陣不變策略的圖像重建算法1，在逆問題求解過程中采取每次迭代均更新靈敏度矩陣策略的圖像重建算法2雖然計(jì)算量較大，需消耗大量時(shí)間反復(fù)計(jì)算靈敏度矩陣，但逆問題求解精度較高：針對圖1設(shè)置的敏感場域Ω內(nèi)六種不同典型分布，相比圖像重建算法1，在無噪聲干擾和有噪聲干擾時(shí)，圖像重建算法2相關(guān)系數(shù)的平均值分別提高了23325、22739。

③在三種不同圖像重建算法中，由于本文提出的圖像重建算法3采取了不同措施減小敏感場邊界電壓計(jì)算值與測量值的誤差，因此逆問題求解精度更高：針對圖1設(shè)置的敏感場域Ω內(nèi)六種不同典型分布，相比逆問題求解精度較高的圖像重建算法2，在無噪聲干擾和有噪聲干擾時(shí)，本文提出的圖像重建算法3相關(guān)系數(shù)的平均值分別提高了31911、35766。

4 結(jié)論

為了提高重建圖像分辨率，針對目前公認(rèn)的逆問題求解精度比較理想、具有最優(yōu)化思想的修正牛頓-拉夫遜圖像重建算法，從初始電阻率分布估計(jì)值選取、正則化因子調(diào)整策略、靈敏度矩陣更新策略以及重建圖像閾值優(yōu)化等四個(gè)方面對算法進(jìn)行了改進(jìn)：

①將改進(jìn)Landweber預(yù)迭代算法的圖像重建結(jié)果作為初始電阻率分布估計(jì)值。

②在算法逆問題求解過程中，按概率采取三種不同遞減策略調(diào)整調(diào)整正則化因子。

③在算法逆問題求解過程中，當(dāng)敏感場邊界電壓計(jì)算值與測量值的誤差不再減小時(shí)，按目前所得的敏感場域內(nèi)介質(zhì)電阻率最優(yōu)分布更新靈敏度矩陣。

④當(dāng)更新靈敏度矩陣無法繼續(xù)減小敏感場邊界電壓計(jì)算值與測量值的誤差時(shí)，利用所提出的改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化目前所得的敏感場域內(nèi)介質(zhì)電阻率最優(yōu)分布對應(yīng)的重建圖像閾值。

最后，通過設(shè)置敏感場域內(nèi)六種不同典型分布并在相同實(shí)驗(yàn)條件下利用不同圖像重建算法求解逆問題，驗(yàn)證了所提出的改進(jìn)牛頓-拉夫遜算法在無噪聲干擾和有噪聲干擾時(shí)均可有效提高重建圖像分辨率。