基于低秩矩陣恢復(fù)的高光譜圖像去噪

徐 輝，楊 敏

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

高光譜圖像因其擁有豐富的空間和光譜結(jié)構(gòu)信息，被成功地應(yīng)用于軍事、城市、航天等多個領(lǐng)域[1]。但圖像在采集過程中會受到各類噪聲的污染，如高斯、椒鹽、條帶噪聲等，使得高光譜圖像質(zhì)量嚴(yán)重退化。因此，有必要對高光譜圖像進(jìn)行去噪，從退化圖像中恢復(fù)出接近原始清晰的圖像。

高光譜圖像擁有很多光譜通道，且圖像是低秩的，相鄰的圖像像素存在相似性。從高光譜圖像的低秩結(jié)構(gòu)出發(fā)，主成分分析法(PCA)、低秩近似和低秩矩陣分解的方法已被成功地用于高光譜圖像去噪。從空間角度出發(fā)，利用全變分正則化(TV)方法[2]實(shí)現(xiàn)空間分段光滑，對圖像的邊緣信息進(jìn)行處理，減少偽影。這種方法被廣泛應(yīng)用于高光譜圖像去噪，其中將全變分的方法和基于低秩先驗(yàn)的方法聯(lián)合使用[3-6]，取得了高質(zhì)量的復(fù)原結(jié)果。此外采用了塊的非局部相似性和基于子空間的方法來進(jìn)一步提高高光譜圖像去噪的性能[7-8]。對高光譜圖像進(jìn)行局部建模，分塊處理可以有效地增強(qiáng)低秩屬性，文獻(xiàn)[9]采用PCA(主成分分析)模型依次處理每個分塊，有效地對相似像素進(jìn)行分組。這些方法不能去除結(jié)構(gòu)化稀疏噪聲，需要用空間約束來去除結(jié)構(gòu)化稀疏噪聲。該文將空間光譜正則化和光譜低秩特性聯(lián)合用于圖像去噪。先采用基于秩約束的局部低秩方法從每個噪聲塊中分離出低秩分量，然后使用空間光譜重建這些圖像的低秩分量，進(jìn)一步去除噪聲。

1 高光譜模型

1.1 觀測模型

Y=X+S+N

(1)

式中，Y表示觀測到的高光譜圖像；S表示稀疏噪聲，如條帶噪聲、脈沖噪聲等；N表示高斯噪聲。

原始的高光譜圖像在不同波段之間存在著很強(qiáng)的相關(guān)性，這種相關(guān)性在X中體現(xiàn)為列空間具有低秩結(jié)構(gòu)，提出秩約束下的魯棒主分量分析(RPCA)模型，即：

(2)

式(2)模型能夠有效去除稀疏噪聲，同時還約束數(shù)據(jù)的秩不能超過終端單元的個數(shù)，這可以在一定程度上抑制高斯噪聲。

基于秩約束的局部低秩方法模型可以定義為：

(3)

其中，Xi,j表示在高光譜圖像位置(i,j)的m×n×b塊立方體中提取m×n行相應(yīng)的矩陣。式(3)將逐塊RPCA模型應(yīng)用于高光譜圖像去噪。

1.2 空間光譜全變分正則化

全變分TV模型的應(yīng)用，對于高光譜圖像去噪效果有很大的改善。各向同性模型很容易引入明顯偽影[10]，而各向異性模型[11]效果好。選用各向異性模型加強(qiáng)圖像的平滑度。大小為M×N的灰度圖像u，各向異性TV范數(shù)定義為：

‖u‖TV=‖Dxu‖1+‖Dyu‖1

(4)

其中，Dx、Dy分別對應(yīng)于水平和垂直一階離散差線性算子。不同方向上的梯度強(qiáng)度可能不相同，可以將高光譜圖像X的各向異性空間光譜全變分定義為：

‖X‖SSTV=‖DxX‖1+‖DyX‖1+τz‖DzX‖1

(5)

其中，Dx、Dy、Dz可定義為：

(6)

其中，Dz是沿光譜方向的前向有限差分算子，也是表示高光譜圖像中光譜維的差異信息。τz是正則化參數(shù)，表示對光譜的梯度貢獻(xiàn)的權(quán)重。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，將兩個空間維度對空間光譜TV正則化的貢獻(xiàn)看作是相同的且都為1。

2 基于增廣拉格朗日乘子法的模型求解

將高光譜圖像的基于局部塊的低秩約束RPCA模型(3)代入到空間光譜正則化(4)中，即：

(7)

其中，λ和τ是正則化參數(shù)。首先引入三個輔助變量J,L,U,得到以下的表達(dá)式：

(8)

D=[τxDx,τyDy,τzDz]代表SSTV算子。用增廣拉格朗日乘子方法將式(8)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題，即：

(9)

式中,μ是懲罰參數(shù);Λ1,Λ2,Λ3,Λ4是拉格朗日乘數(shù)。在一個變量上迭代優(yōu)化增廣拉格朗日函數(shù)(9)，同時保持其他變量不變。迭代優(yōu)化增廣拉格朗日函數(shù)將第k+1次迭代中的更新分為兩個子問題:

低秩和稀疏矩陣分解問題:

(10)

低秩塊的空間光譜正則化圖像重建問題:

(11)

拉格朗日乘子更新:

(12)

算法1：高光譜圖像去噪。

輸入:高光譜圖像X，終止迭代條件ε，正則化參數(shù)λ，τ和τZ

輸出:去噪圖像X

初始化:L=X=S=J=0,U=0,μ=10-2,μmax=106,ρ=1.5

迭代更新:

通過公式(10)更新所有(Xi,j,Si,j),通過公式(11)更新(J,L,U)進(jìn)行空間光譜正則化圖像重建，分別更新拉格朗日乘子以及懲罰參數(shù)更新μ：=min(ρμ,μmax)

檢查收斂條件:

‖Uk+1-DLk+1‖∞}≤ε

其中，λ是低秩干凈圖像和稀疏噪聲的比重，τ是正則化參數(shù)，ρ是ADMM中引入的參數(shù)為常數(shù)值。停止迭代規(guī)則設(shè)置ε=1e-6。初始化并且所有的拉格朗日乘數(shù)都為0。對于增廣拉格朗日函數(shù)，將其初始化為μ=10-2，并在迭代中更新參數(shù)，以保持算法的收斂性。最后，算法1的輸出是去噪圖像X∈RM×N×b。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 評價指標(biāo)

使用峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)作為相應(yīng)評價指標(biāo)，用來評價復(fù)原效果。PSNR是基于誤差敏感的圖像質(zhì)量評價指標(biāo)。給定一個大小的干凈圖像X和噪聲圖像Y，PSNR定義為:

(13)

當(dāng)PSNR的值越大，說明圖像的失真越小，恢復(fù)的圖像越接近真實(shí)圖像。

SSIM定義為：

(14)

SSIM的取值范圍為[0,1]，其值越大表示圖像失真越小，圖像的恢復(fù)效果好。

3.2 數(shù)據(jù)集及參數(shù)設(shè)置

仿真實(shí)驗(yàn)在Lenovo N50-80筆記本電腦上進(jìn)行，處理器為Inter(R)Core(TM)i5-5200U CPU @ 2.2 GHz和8 GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為64位Windows10，同時仿真軟件為Matlab(2020)。

實(shí)驗(yàn)中，將正則化參數(shù)設(shè)置為τ=0.005,λ=0.2。高光譜數(shù)據(jù)選取的是Pavia數(shù)據(jù)集(http://www.ehu.es/ccwintco/index.php/Hyperspectral_Remote_Sensing_Scenes)和Indian Pines數(shù)據(jù)集(https://engineering.purdue.edu/biehl/MultiSpec/hyperspectral.html)。Pavia數(shù)據(jù)集由光學(xué)系統(tǒng)成像光譜儀(ROSIS-03)收集。選擇其某一子集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其空間圖像的尺寸為200×200×80；Indian Pines數(shù)據(jù)集由真實(shí)地物類別Indian Pines數(shù)據(jù)集和美國數(shù)字光譜實(shí)驗(yàn)室提供的光譜數(shù)據(jù)庫splib06a通過人工合成得到，其空間圖像的尺寸為145×145×224。首先對兩個數(shù)據(jù)集的各個波段數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，然后添加不同種類的模擬噪聲。

與文中復(fù)原方法作對比的有FastHyDe方法[13]、LRMR方法[6]、LRTV方法[3]。在高光譜數(shù)據(jù)上進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。在兩個數(shù)據(jù)集的所有波段中添加了高斯噪聲、椒鹽脈沖噪聲：

實(shí)驗(yàn)1:高斯噪聲和椒鹽脈沖噪聲都被添加到所有波段。高斯噪聲(G)的方差分別為0.02、0.04、0.06、0.08和0.1。同時,椒鹽脈沖噪聲也被添加到所有的頻帶，以模擬稀疏噪聲。脈沖噪聲(P)的百分比分別為0.04、0.08、0.12、0.16和0.2。

實(shí)驗(yàn)2:不同強(qiáng)度的噪聲被添加到每個波段，高斯噪聲(G)的方差從0到0.1隨機(jī)選擇。

用文中方法和對比方法對4種不同的模擬觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)原。將復(fù)原結(jié)果的SSIM和 PSNR分別取均值，記為MSSIM和MPSNR，并用這兩個均值作為最終復(fù)原效果的評價標(biāo)準(zhǔn)。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1分別表示當(dāng)高斯噪聲G=0.1，椒鹽脈沖噪聲P=0.2時測試的Pavia數(shù)據(jù)集高光譜圖像的原始圖像，加入高斯噪聲和椒鹽脈沖噪聲后的噪聲圖像，不同方法最終恢復(fù)得到的圖像。

圖1 模擬Pavia數(shù)據(jù)集第30波段的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2展示了當(dāng)高斯噪聲G=0.1，椒鹽脈沖噪聲P=0.2時，測試的Indian Pines數(shù)據(jù)集高光譜圖像的原始圖像、噪聲圖像，以及不同方法最終恢復(fù)得到的圖像。

圖2 模擬Indian Pines數(shù)據(jù)集第60波段的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1和表2分別匯總了4種方法在Pavia數(shù)據(jù)集和Indian Pines數(shù)據(jù)集下的復(fù)原結(jié)果。對取得最優(yōu)評價指標(biāo)的方法進(jìn)行了加粗，第二順位的方法也利用下劃線進(jìn)行表示。

表1 高光譜圖像Pavia數(shù)據(jù)集的復(fù)原結(jié)果

表2 高光譜圖像Indian Pines數(shù)據(jù)集的復(fù)原結(jié)果

相比之下，可以看出文中方法將所有的塊一起處理，并使用空間光譜正則化對于圖像的重建效果有明顯的提高。在實(shí)驗(yàn)1中：當(dāng)稀疏噪聲增強(qiáng)時，F(xiàn)astHyDe方法的性能降低；LRMR方法可以去除稀疏噪聲，但仍會存在少量噪聲；LRTV對高光譜圖像的低秩特性全局建模并結(jié)合TV范數(shù)正則化，沒有與文中方法一樣將所有塊一起全局處理，細(xì)節(jié)的平滑度效果不如文中方法，但恢復(fù)的效果優(yōu)于其他方法且僅次于文中方法；在實(shí)驗(yàn)2中：當(dāng)高斯噪聲的方差從0到0.1隨機(jī)選擇時，文中方法優(yōu)于LRMR和LRTV,僅次于FastHyDe方法，由于隨機(jī)選擇的數(shù)值具有不確定性，可能在0～0.1之間取得小，從而FastHyDe方法更優(yōu)一點(diǎn)，但當(dāng)取值增大時，F(xiàn)astHyDe方法的效果會就明顯變差，而與之相比文中方法不會有太大的差異，因此文中方法實(shí)現(xiàn)了最佳的MPSNR和MSSIM值，提高了圖像邊緣細(xì)節(jié)的效果，對于高光譜圖像的去噪性能有了很大的改善。

表3匯總了4種方法在Pavia數(shù)據(jù)集和Indian Pines數(shù)據(jù)集的運(yùn)行時間。

表3 高光譜圖像噪聲復(fù)原運(yùn)行時間 s

可以看出加入空間光譜全變分框架后，模型計算復(fù)雜度有所增加，運(yùn)算時間明顯增加了，而FastHyDe是基于子空間表示來進(jìn)行去噪的，運(yùn)行時間明顯變快，但圖像的復(fù)原精度比不上文中方法。因此降低運(yùn)算復(fù)雜度，提高恢復(fù)效率還有待提高。

4 結(jié)束語

將高光譜圖像低秩結(jié)構(gòu)和空間譜全變分相結(jié)合，提出一種高光譜圖像噪聲去除方法。該方法可以去除混合噪聲，能夠單獨(dú)處理所有的塊，從噪聲中分離出低秩干凈塊。仿真實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性和優(yōu)越性。該模型較復(fù)雜，采用矩陣奇異值分解來探索每個塊的低秩結(jié)構(gòu)迭代時間長，未來可以考慮基于子空間投影的方法來完成干凈塊和噪聲塊的分解，從而降低去噪的復(fù)雜度。