淺談向量外積在中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾個應(yīng)用

李志軍

(湖南省長沙市中雅培粹學(xué)校)

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何、代數(shù)和三角的橋梁.高中階段主要學(xué)習(xí)向量的內(nèi)積(數(shù)量積),其運(yùn)算結(jié)果是數(shù),即a·b＝|a||b|·cosθ,其中θ為向量a,b的夾角,0≤θ≤π,其值為a的長度|a|與b在a方向上的投影長|b|cosθ的乘積,或b的長度|b|與a在b方向上的投影長|a|cosθ的乘積.向量還有另一種形式的乘法,即外積(叉積),其運(yùn)算結(jié)果是一個向量.本文對向量的外積進(jìn)行簡單介紹,并介紹向量的外積在中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾個重要應(yīng)用,旨在拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野,更好地了解和運(yùn)用向量的外積,并運(yùn)用它解決實(shí)際問題,體會運(yùn)用不同的方法帶來的相同效果,感受數(shù)學(xué)的美和真.

1 向量外積的定義

在三維空間中,兩個向量的外積既可以自然地描述,也可以用坐標(biāo)來定義.向量外積(也稱為叉積),其運(yùn)算結(jié)果還是一個向量,即若c＝a×b,則c的方向與兩向量a,b都垂直,大小為以|a|,|b|為鄰邊的平行四邊形面積,即|a||b|sinθ(θ為向量a,b的夾角).向量的外積在解決幾何問題時,同樣發(fā)揮著非常重要的作用.通常采用“右手法則”判斷a×b的方向,即右手四指由a的方向轉(zhuǎn)向b的方向時,大拇指所指的方向即為a×b的方向,如圖1所示.

圖1

2 如何求兩向量的外積

如圖1所示,若i,j,k分別為x軸,y軸和z軸的正向單位向量,根據(jù)向量的外積定義有

選定空間中一組直角坐標(biāo)系,i,j,k為對應(yīng)的三個正交單位向量.若a＝a1i＋a2j＋a3k,b＝b1i＋b2j＋b3k,a×b可以將a,b看作兩個多項式,像多項式乘以多項式一樣,其中

則

上述結(jié)果記憶起來太費(fèi)勁,也太復(fù)雜,根據(jù)行列式的基本運(yùn)算法則,a×b還可以表示為

利用行列式符號來表示向量的外積不僅方便記憶和運(yùn)算,還可以利用行列式的性質(zhì)來驗(yàn)證一些向量外積的性質(zhì).

上面計算向量外積的方法各有千秋,前者易懂,后者好算,可以通過機(jī)械運(yùn)算來驗(yàn)證一些復(fù)雜的式子,比如驗(yàn)證Jacobi恒等式:(a×b)×c＋(b×c)×a＋(c×a)×b＝0,若用前者方法運(yùn)算,過程煩瑣且容易出錯,但用行列式來表示向量的外積,利用行列式的有關(guān)性質(zhì)計算,就容易很多,有興趣的讀者不妨試一試.

3 外積的幾個性質(zhì)

3.1 (a×b)·a＝(a×b)·b＝0

由行列式的性質(zhì)可知,將i,j,k分別用a1,a2,a3或b1,b2,b3代替,此時行列式①的值等于0,也就是說,a×b與a,b都垂直.也可以根據(jù)向量外積的定義進(jìn)行證明,由向量外積的定義可知a×b與a,b都垂直,又因?yàn)閮纱怪毕蛄康膬?nèi)積為零,所以(a×b)·a＝(a×b)·b＝0,顯然結(jié)論成立.

3.2 |a×b|＝|a||b|sinθ

θ為a,b兩個向量所夾的小于或等于180°的非負(fù)角,與坐標(biāo)系的選取無關(guān),a×b是模長為|a||b|·sinθ,且與a,b都垂直(正交)的向量,|a||b|sinθ是以|a|,|b|為鄰邊的平行四邊形的面積.因?yàn)?/p>

又因?yàn)閍·b＝|a||b|cosθ,代入后兩邊開方得|a×b|＝|a||b|sinθ,所以|a×b|＝|a||b|sinθ,所以當(dāng)a,b中有一個為零,或者兩向量平行時,有a×b＝0.

3.3 外積的運(yùn)算

外積的運(yùn)算與一般的乘積運(yùn)算有相同之處,也有不同之處.相同的是分配律成立,如a×(b＋c)＝a×b＋a×c,(b＋c)×a＝b×a＋c×a.不同的是交換律與結(jié)合律并不成立,如a×b≠b×a,(a×b)×c≠a×(b×c)等.顯而易見,向量的外積運(yùn)算不滿足交換律,即a,b的外積與次序有關(guān),即a×b并不等于b×a,而是a×b＝-b×a.如將a＝i,b＝j(luò),c＝k分別代入(a×b)×c和a×(b×c)中,發(fā)現(xiàn)其并不相等.

4 外積的幾個應(yīng)用

外積在解題和證明有關(guān)問題時十分有效.比如,求給定坐標(biāo)的多邊形面積、多面體的體積以及長度和夾角問題,再比如,證明幾何和三角恒等式中的有關(guān)命題和定理,直觀明了,如已知a＋b＋c＝0,求證:a×b＋b×c＋c×a＝0,利用外積的定義證明就一目了然.下文列舉幾個利用外積的方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的例子.

4.1 正弦定理

正弦定理的證明有多種方法,如面積法、坐標(biāo)法、向量的數(shù)量積以及利用圓的有關(guān)性質(zhì)等,但用向量的外積證明比較簡捷.

如圖2所示,c＝b-a,兩邊同時叉乘c(注意c要放在等式兩邊的同一邊),所以c×c＝c×(b-a),即0＝c×b-c×a,因此有c×b＝c×a,所以

圖2

4.2 平行六面體的體積

如圖3所示,b×c垂直于底面,即垂直于b與c所確定的平面,其長度為|b×c|＝|b||c|sinθ,θ為b,c所夾的角,實(shí)際上就是底面平行四邊形ABCD的面積,因此a·(b×c)＝|a||b×c|cosα,α為b×c與a的夾角,而|a|cosα為平行六面體ABCDA1B1C1D1底邊ABCD上的高h(yuǎn),故a·(b×c)表示以a,b,c三個向量為鄰邊所形成的平行六面體的體積,即空間中不共面的三個向量a,b,c為鄰邊所形成的平行六面體的體積為|a·(b×c)|(當(dāng)向量a與向量b×c的夾角為鈍角時,其值為負(fù),故要加上絕對值),與坐標(biāo)系的選取無關(guān).

圖3

若a＝a1i＋a2j＋a3k,b＝b1i＋b2j＋b3k,c＝c1i＋c2j＋c3k,則有

由行列式的性質(zhì)可推導(dǎo)出a·(b×c)＝(a×b)·c＝(c×a)·b,a×(b＋c)＝a×b＋a×c等.

4.3 平面方程

在強(qiáng)基計劃招生考試或者數(shù)學(xué)競賽的有關(guān)考題中,經(jīng)常會遇到求直線和平面的方程、面積、體積的問題,求平面的方程時經(jīng)常使用公式③,求四面體或者平行六面體的體積時會用到公式②,學(xué)習(xí)完向量的外積后,可更加全面地了解和理解公式的本質(zhì)意義.

5 小結(jié)

本文介紹了向量外積的定義及其幾個性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.向量內(nèi)積和外積是向量兩種不同形式的乘積,且結(jié)果不一樣,一個結(jié)果為數(shù),一個結(jié)果為向量.向量的內(nèi)積表示一個向量在另一個向量上的投影長和向量本身長度的乘積,是一個數(shù).而兩個向量的外積則表示與這兩個向量垂直(右手法則)、長度為以兩個向量為鄰邊的平行四邊形的面積大小的一個向量,向量的兩種乘法有本質(zhì)的區(qū)別.

中學(xué)數(shù)學(xué)教材一般都會介紹向量的內(nèi)積及其應(yīng)用,沒有介紹向量的外積,其實(shí)也有一些數(shù)學(xué)教材介紹了向量的外積及其應(yīng)用,介紹了矩陣和行列式的知識.通過對向量外積的學(xué)習(xí),學(xué)生可以更加清楚地理解向量的兩種乘法的區(qū)別和聯(lián)系,更加完全地理解向量的本質(zhì).特別是通過向量的外積證明有關(guān)公式、定理或解題時,程序化的操作帶來的方便讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美.