單調(diào)與奇偶齊飛,函數(shù)共性質(zhì)一色

李 霞

(陜西省商州區(qū)高級(jí)中學(xué))

函數(shù)的基本性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性,在歷年的高考中函數(shù)的基本性質(zhì)占有非常重要的地位.特別地,函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性兩者之間關(guān)系密切、相輔相成,兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別,可以用來(lái)處理與解決一些綜合性問(wèn)題,具有較好的選拔性與區(qū)分度,因此備受命題者關(guān)注.本文結(jié)合實(shí)例,對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用進(jìn)行初步探討,剖析其在函數(shù)問(wèn)題中的綜合應(yīng)用.

1 比較大小問(wèn)題

例1 已知奇函數(shù)f(x)在R 上是增函數(shù),函數(shù)g(x)＝xf(x).若a＝g(-2),b＝g(1),c＝g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.b＜a＜c

D.b＜c＜a

由于函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù),則

結(jié)合函數(shù)g(x)＝xf(x),可得

g(-x)＝-xf(-x)＝xf(x)＝g(x),

所以函數(shù)g(x)在R上為偶函數(shù).又由于函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則知當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞f(0)＝0,又x＞0時(shí),y＝f(x)＞0且為增函數(shù),所以函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)g(x)為偶函數(shù),則知c＝g(3)＞a＝g(-2)＝g(2)＞b＝g(1),故選C.

涉及函數(shù)值或參數(shù)的比較大小問(wèn)題,求解的關(guān)鍵是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、恒等變形轉(zhuǎn)化、函數(shù)的基本性質(zhì)以及一些基本比較方法來(lái)分析與處理.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,可以為進(jìn)一步確定函數(shù)的基本特征奠定基礎(chǔ).

2 求參數(shù)的范圍問(wèn)題

例2 已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x＜

作出函數(shù)g(x)的圖像,如圖1所示,結(jié)合圖像可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).

圖1

又f(2-m2)＞f(m),則有2-m2＞x,即m2＋m-2＜0,解得-2＜m＜1,故選D.

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,構(gòu)建含參數(shù)的不等式(組),是解決參數(shù)范圍問(wèn)題的關(guān)鍵.而函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可通過(guò)函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)的定義以及函數(shù)的圖像等求得.

3 解不等式問(wèn)題

例3 設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減,若f(-2)＝0,則不等式xf(x)＜0的解集為( ).

A.(-1,0)∪(2,＋∞)

B.(-∞,-2)∪(0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,＋∞)

D.(-2,0)∪(0,2)

由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減,又f(-2)＝0,則可畫出符合條件的奇函數(shù)f(x)的圖像(草圖),如圖2所示.

圖2

通過(guò)抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性來(lái)確定函數(shù)的圖像(草圖)特征以及基本性質(zhì),為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法分析與解決相關(guān)的問(wèn)題提供條件.本題借助函數(shù)圖像(草圖),合理分類討論,從而巧妙解決抽象不等式問(wèn)題,思維巧妙,直觀形象,簡(jiǎn)捷有效.在求解不等式時(shí),有效利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,并結(jié)合函數(shù)圖像加以直接分析與判斷,有時(shí)能快速求解問(wèn)題.

4 確定最值問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),

則m＝1,n＝-5,故m＋n＝1-5＝-4.

圖3

涉及參數(shù)的最值或函數(shù)值的最值的確定問(wèn)題,求解關(guān)鍵是綜合應(yīng)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及條件中給定的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行推理分析.

5 綜合應(yīng)用問(wèn)題

例5 已知函數(shù)f(x)是R 上單調(diào)遞減的奇函數(shù),數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a2＞0,則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)的值( ).

A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù)

C.恒為0 D.可正可負(fù)

由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則a1＋a3＝2a2,結(jié)合a2＞0,可得a1＋a3＞0,則a1,a3中至多有一個(gè)不是正數(shù),不妨設(shè)a1＞0,則a1＞-a3.由于函數(shù)f(x)是R上單調(diào)遞減的奇函數(shù),則有f(0)＝0,f(a2)＜f(0)＝0,f(a1)＜f(-a3),即f(a1)＋f(a3)＜0,所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＜0,故選B.

函數(shù)與集合、數(shù)列、三角函數(shù)、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)的交會(huì)與綜合問(wèn)題,具有較高的創(chuàng)新性與綜合性,解題時(shí)要充分利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)中的兩個(gè)重要的性質(zhì),通常用它們巧妙地解決一些綜合性問(wèn)題,這樣可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的理解與應(yīng)用,以及創(chuàng)新應(yīng)用等,充分展示精妙的解題思想和數(shù)學(xué)方法,全面提升數(shù)學(xué)能力以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).