強(qiáng)基計(jì)劃各校真題分析
——函數(shù)與積分

鄭 娟

(山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué))

1 知識(shí)要點(diǎn)拓展

1.1 定積分

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δxi＝xi-xi-1(i＝1,2,…,n),作和得

記λ＝max{Δx1,Δx2,…,Δxn},如果當(dāng)λ→0時(shí),S趨于確定的極限I,我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記為

1.2 定積分存在定理

1)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)時(shí),f(x)在區(qū)間[a,b]上可積;

2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

1.3 定積分的幾何意義

1.4 微積分基本定理:牛頓—萊布尼茨公式

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù),即F′(x)＝f(x),則f(x)在[a,b]上可積,且

上式稱(chēng)為牛頓—萊布尼茨公式,它也常寫(xiě)成

牛頓—萊布尼茨公式溝通了導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系,故求定積分問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為找導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題.

1.5 二次曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程

1)設(shè)P(x0,y0)是圓x2＋y2＝R2上一點(diǎn),則過(guò)P(x0,y0)的該圓切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝R2;

4)設(shè)P(x0,y0)是拋物線(xiàn)y2＝2px上一點(diǎn),則過(guò)P(x0,y0)的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)方程為y0y＝p(x＋x0).

1.6 函數(shù)的單調(diào)性

若函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo),則f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是?x∈(a,b),f′(x)≥0(或f′(x)≤0).

1.7 函數(shù)的極值

1)定義:已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0,對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)x,如果都有f(x)＜f(x0),則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值,記作y極大值＝f(x0),并把x0稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);如果都有f(x)＞f(x0),則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值,記作y極小值＝f(x0),并把x0稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).

注意 函數(shù)y＝f(x)的最大(或最小)值是函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大(或最小)值;極值與最值不同,極值只是相對(duì)一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),而最值是相對(duì)整個(gè)定義域內(nèi)(或所研究問(wèn)題)的整體性質(zhì).

2)極值的必要條件:若函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo),且在x0處取得極值,則f′(x0)＝0.

1.8 兩個(gè)重要的極限

2 典例精講

例1 設(shè)a＞0,f(x)＝x3-2ax2＋a2,若f(x)在區(qū)間(0,a)上大于0,則a的取值范圍是( ).

A.(0,1] B.(0,1)

C.(1,＋∞) D.[1,＋∞)

例4 (武漢大學(xué))已知f(x)是定義在區(qū)間(0,＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù),滿(mǎn)足f(x)＞0,且f(x)＋f′(x)＜0.

(1)討論函數(shù)F(x)＝exf(x)的單調(diào)性;

為此,考慮函數(shù)