強基計劃數(shù)學(xué)備考系列講座(8)
——平面向量

王慧興正高級教師 特級教師

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

1 知識與技能

1.1 知識梳理

這部分內(nèi)容要求學(xué)生整體把握向量分析路徑,培育發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),核心知識如表1所示.

表1

1.2 要點解析

1)向量共線

圖1

(2)平行四邊形法則:如圖2所示,以O(shè)為起點,

圖2

圖3

圖4

3)共線向量基本定理

向量a和非零向量b共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ,使得b＝λa(λ∈R{0}).

4)共面向量基本定理

圖5

5)向量的數(shù)量積

6)幾何向量

圖6

(2)定差冪線定理——垂直的平方差充要條件或平方和條件:AC⊥BD?AB2-AD2＝CB2-CD2?AB2＋CD2＝AD2＋BC2.

(3)△ABC的三邊中線相交于G、三邊中垂線相交于O、三邊上的高線相交于H、三個內(nèi)角的平分線相交于I,依次稱為△ABC的重心、外心、垂心、內(nèi)心;一個角的內(nèi)角平分線與另外兩個角的外角平分線相交,得到三個點Ia,Ib,Ic,稱為△ABC的旁心.用向量表征△ABC的五心,得到如下充要條件:

2 典例精析

向量分析即計算與推理,其基本路徑是基于基本定理的坐標(biāo)代數(shù)化和基于基本定理的幾何計算推理路徑,前者是面向高考的常態(tài)教學(xué)熱點,本文主要探究幾何情境中向量計算與推理基本路徑.

2.1 提升向量運算境界

向量既有直觀的幾何表示,又有代數(shù)運算的靈活性,這意味著它既有自身的靈活性,也有廣泛的交互應(yīng)用功能.因此,向量運算的題型會呈現(xiàn)出千姿百態(tài),要從以下幾個方面進(jìn)行向量計算與推理:1)向量的基本運算;2)基于幾何結(jié)構(gòu)助推向量運算;3)以基向量表征向量運算;4)基于共面基本定理的坐標(biāo)代數(shù)化;5)基于共面基本定理的幾何計算路徑.方法1 如圖10 所示,考慮特殊情形,作

圖7

圖8

圖9

圖10

Rt△ABC,使得∠B＝90°,AB＝3,AC＝5,則

圖11

方法3 由奔馳定理,點O在△ABC內(nèi)部,記△OBC,△OCA,△OAB的面積分別為SA,SB,SC,且SA∶SB∶SC＝1∶2∶3,所以

圖12

2.2 幾何環(huán)境中向量分析路徑

選擇具有已知信息的向量作為基向量,根據(jù)平面向量基本定理與共線向量基本定理合理表征,建立指向目標(biāo)的向量聯(lián)結(jié),或指明幾何計算方向,再作幾何分析,完成幾何計算.

圖13

圖14

圖15

2.3 識別奔馳定理結(jié)構(gòu),分離指向目標(biāo)的比例數(shù)據(jù)

2.4 以幾何結(jié)構(gòu),構(gòu)造向量目標(biāo)

以特定的幾何結(jié)構(gòu)指向目標(biāo)建立向量關(guān)系,訓(xùn)練極端性思維,發(fā)展組合技能.

例7 給出4個平面向量,使得其中任意兩個的和向量總與另外兩個的和向量垂直.

如圖16 所示,取正△ABC,記其中心為O,R為其外接圓半徑,r為其內(nèi)切圓半徑,在其內(nèi)切圓上任取一點P,則

圖16

2.5 向量指向代數(shù)計算與幾何推理

1)向量與代數(shù)

顯然,應(yīng)用柯西不等式可得fmax＝1,但得不出最小值.考慮f的分子和分母的代數(shù)結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)出數(shù)量積與向量模長特征,因此,根據(jù)a,b,c,d∈[2,4],構(gòu)造如圖17所示的正方形區(qū)域,建立動態(tài)向量夾角重新表征f.

圖17

2)向量與解析幾何

例9 求坐標(biāo)原點O關(guān)于直線l:2x-y-2＝0的對稱點A.

圖18

圖19

3 實戰(zhàn)演練

圖20

圖21

A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2

C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3