濾波辨識(shí)(2):有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的濾波增廣迭代參數(shù)估計(jì)

丁 鋒，劉喜梅

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無錫 214122;2.青島科技大學(xué) 自動(dòng)化與電子工程學(xué)院,山東 青島 266061)

一些辨識(shí)新思想、新理論、新原理、新概念,如輔助模型辨識(shí)思想、多新息辨識(shí)理論、遞階辨識(shí)原理、耦合辨識(shí)概念、濾波辨識(shí)理念等[1-7]與傳統(tǒng)迭代辨識(shí)方法相結(jié)合,誕生出許多新辨識(shí)方法,如輔助模型梯度迭代辨識(shí)方法、多新息最小二乘迭代辨識(shí)方法、遞階牛頓迭代辨識(shí)方法等。從2017年開始在《青島科技大學(xué)學(xué)報(bào)》連載“信號(hào)建?！闭撐?從2018年開始連載“傳遞函數(shù)辨識(shí)”論文26篇[8-16]。最近的連載論文研究了有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的遞階遞推增廣參數(shù)辨識(shí)方法[9]和遞階增廣迭代參數(shù)辨識(shí)方法[10],以及濾波增廣遞推參數(shù)辨識(shí)方法[17]。本工作利用濾波辨識(shí)理念,研究有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的濾波增廣迭代辨識(shí)方法。

1 有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)及其濾波辨識(shí)模型

考慮下列有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均模型(FIRMA模型)描述的隨機(jī)控制系統(tǒng),

其中u(t)和y(t)分別是系統(tǒng)的輸入和輸出,v(t)是零均值不可測白噪聲,B(z)和D(z)是后移算子z－1的多項(xiàng)式(z－1y(t)＝y(tǒng)(t－1)或zy(t)＝y(tǒng)(t＋1)),定義如下,

假設(shè)階次n b和n d已知,記n＝n b＋n d。定義參數(shù)向量和信息向量:

定義不可測干擾滑動(dòng)平均噪聲:

式(4)和(1)可以寫為

這里的目標(biāo)是利用系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù){u(t),y(t)}或{y(t),φ(t)},基于數(shù)據(jù)濾波技術(shù),研究濾波迭代辨識(shí)方法,估計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)向量b和d。

定義濾波輸出yf(t)和濾波輸入信息向量φf(t)如下:

它們可以進(jìn)一步表示為

式(6)兩邊同除以D(z)得到

即

式(11)和(5)是FIR-MA系統(tǒng)的濾波辨識(shí)模型(filtered identification model)。它們分別包含了系統(tǒng)模型的參數(shù)向量b和噪聲模型的參數(shù)向量d。

2 濾波增廣梯度迭代方法

設(shè)L為數(shù)據(jù)長度。根據(jù)式(7),(11)和(5),定義堆積輸出向量Y(L)和堆積輸入信息矩陣Φ(L),堆積濾波輸出向量Yf(L)和堆積濾波輸入信息矩陣Φf(L),堆積噪聲向量W(L)和堆積噪聲矩陣Ψ(L)如下:

根據(jù)辨識(shí)模型(11)和(5),定義關(guān)于參數(shù)向量b和d的二次準(zhǔn)則函數(shù):

令k＝1,2,3,…是迭代變量,設(shè)∈?nb是參數(shù)向量b在第k次的迭代估計(jì)∈?n d是參數(shù)向量d在第k次的迭代估計(jì),μf,k≥0和μk≥0是迭代步長(收斂因子),設(shè)λmax[X]為實(shí)對(duì)稱陣X的最大特征值。使用負(fù)梯度搜索,極小化J1(b)和J2(d),得到梯度迭代關(guān)系:

式(15)和(17)可以看作狀態(tài)為和的動(dòng)態(tài)離散時(shí)間系統(tǒng),為了保證估計(jì)向量和收斂,要求矩陣[I nb－μf,kΦTf(L)Φf(L)]和[I n d－μkΨT(L)Ψ(L)]的特征值均在單位圓內(nèi),即步長μf,k和μk必須滿足

故收斂因子μf,k和μk的保守選擇是

由于特征值計(jì)算很復(fù)雜,故收斂因子也可簡單更保守地取為

梯度迭代算法(14),(16)和(18)～(21)不可實(shí)現(xiàn),因?yàn)橹挥衶y(t),φ(t)}是可得到的觀測數(shù)據(jù),而右邊堆積濾波輸出向量Yf(L),堆積濾波信息矩陣Φf(L),堆積噪聲矩陣Ψ(L),以及參數(shù)向量b都是未知的,故需要先估算這些未知量。

用噪聲v(t－i)的估計(jì)^v k(t－i)構(gòu)造ψ(t)的估計(jì):

由式(8)可得

根據(jù)此式,用信息向量的估計(jì)(t)和第k次迭代的參數(shù)估計(jì)和代替上式中未知的ψ(t),b和d,可以得到白噪聲項(xiàng)v(t)的估計(jì),即殘差:

用噪聲模型參數(shù)向量d的第k次迭代估計(jì)＝構(gòu)造多項(xiàng)式D(z)的迭代估計(jì):

由于式(9)中D(z)是未知的,無法得到y(tǒng)f(t),故用其第k次迭代估計(jì)^D k(z)計(jì)算yf(t)的估計(jì):

同理,由于式(10)中D(z)是未知的,無法得到φ(t)的濾波向量φf(t),故用其第k次迭代估計(jì)(z)計(jì)算φf(t)的估計(jì):

根據(jù)Yf(L),Φf(L)和Ψ(L)的定義式,分別用yf(t),φf(t)和ψ(t)的估計(jì)(t)(t)和(t)來構(gòu)造它們的估計(jì):

用(L)和(L)分別代替式(14)和(18)或(20)中未知Yf(L)和Φf(L),得到式(29)～(30)的梯度迭代估計(jì),用(L)和前一次迭代估計(jì)分別代替式(16)和(19)或(21)中未知Ψ(L)和b,得到式(31)～(32)的梯度迭代估計(jì),聯(lián)立式(12)～(13),(26)～(28),(2),(22),(24)～(25)和(23),就得到估計(jì)FIR-MA系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的增廣梯度迭代辨識(shí)算法,簡稱濾波增廣梯度迭代算法(filtered extended gradient-based iterative algorithm,F-EGI算法):

或

或

F-EGI算法(29)～(44)計(jì)算參數(shù)估計(jì)和的步驟如下。

1)初始化:令迭代次數(shù)k＝1,給定數(shù)據(jù)長度L和參數(shù)估計(jì)精度ε,置參數(shù)估計(jì)初值＝1nb/p0,＝1n d/p0,p0＝106。置(t)＝1/p0(t)＝1nb/p0,(t)＝1/p0,t＝1,2,…,L。

2)采集觀測數(shù)據(jù)u(t)和y(t),用式(38)構(gòu)造信息向量φ(t),t＝1,2,…,L。用式(33)構(gòu)造堆積輸出向量Y(L),用式(34)構(gòu)造堆積輸入信息矩陣Φ(L)。

3)用式(39)構(gòu)造噪聲向量(t),t＝1,2,…,L。用式(37)構(gòu)造堆積噪聲矩陣(L)。

4)根據(jù)式(32)計(jì)算步長μk(t),用式(31)刷新參數(shù)估計(jì)向量。

5)用式(40)計(jì)算濾波輸出(t),用式(41)計(jì)算濾波信息向量(t),t＝1,2,…,L。

6)用式(35)構(gòu)造堆積濾波輸出向量(L),用式(36)構(gòu)造堆積濾波信息矩陣(L)。

7)根據(jù)式(30)計(jì)算步長μf,k,用式(29)刷新參數(shù)估計(jì)向量。

8)用式(42)計(jì)算白噪聲的估計(jì)^v k(t),t＝1,2,…,L。

設(shè)M1(L)∈?L×L和M2(L)∈?L×L為非負(fù)定加權(quán)矩陣。將準(zhǔn)則函數(shù)J1(b)和J2(d)修改為加權(quán)準(zhǔn)則函數(shù):

使用梯度搜索,極小化準(zhǔn)則函數(shù)J′1(b)和J′2(d)可以得到

或

或

那么式(33)～(50)構(gòu)成了加權(quán)濾波增廣梯度迭代算法(W-F-EGI算法),或稱為濾波加權(quán)增廣梯度迭代算法(F-W-EGI算法)。進(jìn)一步,設(shè)0＜λi≤1為遺忘因子,取加權(quán)矩陣為

就得到遺忘因子濾波增廣梯度迭代算法(FF-F-EGI算法),或稱為濾波遺忘因子增廣梯度迭代算法(FFF-EGI算法)。

定義迭代新息向量:

和迭代殘差向量:

引理1對(duì)于F-EGI辨識(shí)算法(29)～(44),新息向量Ef,k(L)和E k(L)與殘差向量(L)和(L)滿足關(guān)系:

3 濾波增廣最小二乘迭代方法

令準(zhǔn)則函數(shù)J1(b)和J2(d)分別對(duì)參數(shù)向量b和d的偏導(dǎo)數(shù)為零:

假設(shè)ΦTf(L)Φf(L)和ΨT(L)Ψ(L)是可逆矩陣,那么從上式可以求得參數(shù)向量b和d的最小二乘估計(jì):

因?yàn)橹挥衶y(t),[φ[(t)}是可得到的觀測數(shù)據(jù),而堆積濾波輸出向量Yf(L),堆積濾波輸入信息矩陣Φf(L)和堆積噪聲矩陣Ψ(L)都是未知的,所以上兩式無法求解出參數(shù)估計(jì)。解決的辦法是用式(26)～(27)中的(L)和(L)分別代替式(55)中未知的Yf(L)和Φf(L),得到式(57)的最小二乘迭代估計(jì)(t),用式(28)中的(L)和前一次迭代估計(jì)(t)分別代替式(56)中未知的Ψ(L)和b,得到式(58)的最小二乘迭代估計(jì),聯(lián)立式(35)～(44),就得到估計(jì)FIR-MA系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的增廣最小二乘迭代辨識(shí)算法,簡稱濾波增廣最小二乘迭代算法(filtered extended least squares-based iterative algorithm,F-ELSI算法):

F-ELSI算法(57)～(70)計(jì)算參數(shù)估計(jì)和的步驟如下。

1)初始化:令迭代次數(shù)k＝1,給定數(shù)據(jù)長度L和參數(shù)估計(jì)精度ε,置參數(shù)估計(jì)初值＝1nb/p0或^b0為隨機(jī)向量,p0＝106。置(t)＝1/p0(t)＝1nb/p0(t)＝1/p0,t＝1,2,…,L。隨機(jī)數(shù)初值是為保證式(57)～(58)中的矩陣可逆。

2)采集觀測數(shù)據(jù)u(t)和y(t),用式(64)構(gòu)造信息向量φ(t),t＝1,2,…,L。用式(59)構(gòu)造堆積輸出向量Y(L),用式(60)構(gòu)造堆積輸入信息矩陣Φ(L)。

3)用式(65)構(gòu)造噪聲向量(t),t＝1,2,…,L。用式(63)構(gòu)造堆積噪聲矩陣(L)。

4)用式(58)刷新參數(shù)估計(jì)向量。

5)用式(66)計(jì)算濾波輸出(t),用式(67)計(jì)算濾波信息向量(t),t＝1,2,…,L。

6)用式(61)構(gòu)造堆積濾波輸出向量(L),用式(62)構(gòu)造堆積濾波信息矩陣(L)。

7)用式(57)刷新參數(shù)估計(jì)向量^b k。用式(68)計(jì)算殘差(t),t＝1,2,…,L。

極小化準(zhǔn)則函數(shù)J′1(b)和J′2(d),令其對(duì)b和d的梯度為零,可以推導(dǎo)出

那么式(59)～(72)構(gòu)成了加權(quán)濾波增廣最小二乘迭代算法(W-F-ELSI算法),或稱為濾波加權(quán)增廣最小二乘迭代算法(F-W-ELSI算法)。進(jìn)一步,設(shè)0＜λi≤1為遺忘因子,取加權(quán)矩陣為

就得到遺忘因子濾波增廣最小二乘迭代算法(FF-FELSI算法),或稱為濾波遺忘因子增廣最小二乘迭代算法(F-FF-ELSI算法)。

4 濾波多新息增廣梯度迭代方法

設(shè)p為數(shù)據(jù)窗長度(p?n)。根據(jù)式(7),(11)和(5),定義堆積輸出向量Y(p,t)和堆積信息矩陣Φ(p,t),堆積濾波輸出向量Yf(p,t)和堆積濾波輸入信息矩陣Φf(p,t),堆積噪聲向量W(p,t)和堆積噪聲矩陣Ψ(p,t)如下:

注意到W(p,t)＝Y(jié)(p,t)－Φ(p,t)b∈?p。根據(jù)辨識(shí)模型(11)和(5),定義關(guān)于參數(shù)向量b和d的二次準(zhǔn)則函數(shù):

令k＝1,2,3,…是迭代變量,μf,k(t)≥0和μk(t)≥0是迭代步長(收斂因子),設(shè)(t)∈?nb是參數(shù)向量b在當(dāng)前時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì),(t)∈?n d是參數(shù)向量d在當(dāng)前時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì)。設(shè)λmax[X]為實(shí)對(duì)稱陣X的最大特征值。使用負(fù)梯度搜索,極小化準(zhǔn)則函數(shù)J3(b)和J4(d),得到梯度迭代關(guān)系:

式(76)和(78)可以看作狀態(tài)為(t)和(t)的動(dòng)態(tài)離散時(shí)間系統(tǒng)(t看做常數(shù)),為了保證估計(jì)向量(t)和(t)收斂,要求矩陣[I nb－μf,k(t)ΦTf(p,t)Φf(p,t)]和[I n d－μk(t)ΨT(p,t)Ψ(p,t)]的特征值均在單位圓內(nèi),且單位圓上沒有重特征值,即步長μf,k(t)和μk(t)必須滿足

故收斂因子μf,k(t)和μk(t)的保守選擇是

由于特征值計(jì)算很復(fù)雜,故收斂因子也可簡單取為

梯度迭代算法(75),(77)和(79)～(82)不可實(shí)現(xiàn),因?yàn)槎逊e濾波輸出向量Yf(p,t),堆積濾波信息矩陣Φf(p,t)和堆積噪聲矩陣Ψ(p,t)都是未知的,故需要先構(gòu)造這些未知變量的估計(jì),進(jìn)而在辨識(shí)算法中用它們的估計(jì)代替這些未知變量,細(xì)節(jié)如下。

用噪聲v(t－i)的估計(jì)(t－i)定義噪聲向量ψ(t)的估計(jì):

由式(8)可得

用第k次迭代的參數(shù)估計(jì)(t)和(t),以及信息向量的估計(jì)(j)分別代替上式中未知的b和d,以及噪聲向量ψ(j),便得到白噪聲項(xiàng)v(j)的估計(jì):

用噪聲模型參數(shù)向量d在時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì)

構(gòu)造多項(xiàng)式D(z)在時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì):

由于D(z)是未知的,無法得到y(tǒng)f(t),故用其估計(jì)(t,z)計(jì)算yf(t)的估計(jì):

同理,由于式(10)中D(z)是未知的,無法得到φ(t)的濾波向量φf(t),故用其代估計(jì)^D k(t,z)計(jì)算φf(t)的估計(jì):

根據(jù)Yf(p,t),Φf(p,t)和Ψ(p,t)的定義式,分別用yf(t),φf(t)和ψ(t)的估計(jì)(t)(t)和(t)構(gòu)造Yf(p,t),Φf(p,t)和Ψ(p,t)的估計(jì):

用Yf,k(p,t)和Φf,k(p,t)分別代替式(75)和(79)或(81)中未知的Yf(p,t)和Φf(p,t),得到式(90)～(92)的梯度迭代估計(jì)(t),用(p,t)和當(dāng)前時(shí)刻t的前一次迭代估計(jì)^b k－1(t)分別代替式(77)和(80)或(82)中未知的Ψ(p,t)和b,得到式(93)～(95)的梯度迭代估計(jì)(t),聯(lián)立式(73)～(74),(87)～(89),(2),(83),(85)～(86)和(84)就得到估計(jì)FIR-MA系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的多新息增廣梯度迭代辨識(shí)算法,簡稱濾波多新息增廣梯度迭代算法(filtered multi-innovation extended gradient-based iterative algorithm,F-MI-EGI算法):

或

或

濾波多新息增廣梯度迭代算法又稱濾波移動(dòng)數(shù)據(jù)窗增廣梯度迭代算法(filtered moving-data-window extended gradient-based iterative algorithm,FMDW-EGI算法)。

F-MI-EGI算法(90)～(107)計(jì)算參數(shù)估計(jì)(t)和(t)的步驟如下。

1)初始化:令t＝1,給定移動(dòng)數(shù)據(jù)窗長度p(通常取p?n),參數(shù)估計(jì)精度ε,最大迭代次數(shù)kmax。置參數(shù)估計(jì)初值(t)＝1nb/p0,(t)＝1n d/p0,p0＝106。

2)令k＝1。置(j)＝1/p0(j)＝1/p0,(j)＝1nb/p0,j＝1,2,…,t。

3)采集觀測數(shù)據(jù)u(t)和y(t),用式(101)構(gòu)造信息向量φ(t),用式(96)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t),用式(97)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)。

4)用式(102)構(gòu)造噪聲向量(t),用式(100)構(gòu)造堆積噪聲矩陣(p,t)。

5)根據(jù)式(94)或(95)計(jì)算步長μk(t),用式(93)刷新參數(shù)估計(jì)向量(t)。

6)用式(103)計(jì)算濾波輸出(j),用式(104)計(jì)算濾波信息向量(j),j＝1,2,…,t。

7)用式(98)構(gòu)造堆積濾波輸出向量(p,t),用式(99)構(gòu)造堆積濾波信息矩陣(p,t)。

8)根據(jù)式(91)或(92)計(jì)算步長μf,k(t),用式(90)刷新參數(shù)估計(jì)向量(t)。

9)用式(105)刷新殘差(j),j＝1,2,…,t。

10)如果k＜kmax,k就增加1,轉(zhuǎn)到步驟4);否則執(zhí)行下一步。

設(shè)Λ1(t)∈?p×p和Λ2(t)∈?p×p為非負(fù)定加權(quán)矩陣。將準(zhǔn)則函數(shù)J3(b)和J4(d)修改為加權(quán)準(zhǔn)則函數(shù):

使用梯度搜索,極小化準(zhǔn)則函數(shù)J′3(b)和J′4(d)可以得到

或

或

那么式(96)～(113)構(gòu)成了加權(quán)濾波多新息增廣梯度迭代算法(weighted F-MI-EGI algorithm,W-FMI-EGI算法),或稱為濾波加權(quán)多新息增廣梯度迭代算法(F-W-MI-EGI算法)。

定義迭代新息向量:

和迭代殘差向量:

引理2對(duì)于F-MI-EGI辨識(shí)算法(90)～(107),新息向量Ef,k(p,t)和E k(p,t)與殘差向量(p,t)和(p,t)滿足關(guān)系:

5 濾波多新息增廣投影迭代方法

下面利用最速下降法推導(dǎo)濾波多新息增廣投影辨識(shí)方法?？紤]從j＝t－p＋1到j(luò)＝t的數(shù)據(jù)窗里的p組數(shù)據(jù)。定義堆積噪聲向量:

基于FIR-MA系統(tǒng)的濾波辨識(shí)模型(11)和(5),定義滑動(dòng)數(shù)據(jù)窗準(zhǔn)則函數(shù):

令k＝1,2,3,…是迭代變量,μf,k(t)≥0和μk(t)≥0是迭代步長(收斂因子),設(shè)(t)∈?nb是參數(shù)向量b在當(dāng)前時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì),是(t)∈?n d參數(shù)向量d在當(dāng)前時(shí)刻t的第k次迭代估計(jì)。使用最速下降法(負(fù)梯度搜索),極小化準(zhǔn)則函數(shù)J5(b)和J6(d),可以得到梯度遞推關(guān)系:

其中

下面求最佳步長(best step size)μf,k(t)。將b＝(t)代入準(zhǔn)則函數(shù)J5(b)中,可得

極小化g(μf,k(t)),令g′(μf,k(t))＝0,可求得最佳步長為

同理可得

聯(lián)立式(118)～(123)和(96)～(107),就得到辨識(shí)FIR-MA系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的多新息增廣投影迭代辨識(shí)算法,簡稱濾波多新息增廣投影迭代算法(filtered multi-innovation extended projection-based iterative algorithm,F-MI-EPI算法):

如果式(126)和(129)的分母為零,就令(t)＝因?yàn)槭諗恳蜃拥挠?jì)算式比較復(fù)雜,故對(duì)其進(jìn)行簡化。由于對(duì)于任意實(shí)向量x和非負(fù)定對(duì)稱矩陣Q,不等式

成立,其中λmax[Q]為矩陣Q的最大特征值。于是,收斂因子可以保守取為

因?yàn)橛?jì)算矩陣的跡(trace)比計(jì)算特征值簡單,所以收斂因子可以更保守取為

因此,將式(124)和(127)合并修改為

或則式(125),(128)和(130)～(145)構(gòu)成了簡化的濾波多新息增廣投影迭代算法(F-MI-EPI算法),它等同于F-MI-EGI算法(90)～(107)。

6 濾波多新息增廣最小二乘迭代方法

由于最小二乘迭代算法涉及矩陣逆,所以至少要求p≥n,以及信息向量是持續(xù)激勵(lì)的。令準(zhǔn)則函數(shù)J3(b)和J4(d)分別對(duì)參數(shù)向量b和d的偏導(dǎo)數(shù)為零:

設(shè)ΦTf(p,t)Φf(p,t)和ΨT(p,t)Ψ(p,t)是可逆矩陣,那么從上式可以求得參數(shù)向量b和d的最小二乘估計(jì):

因?yàn)槎逊e濾波輸出向量Yf(p,t),堆積濾波信息矩陣Φf(p,t)和堆積噪聲矩陣Ψ(p,t)都是未知的,所以解決的方法是用式(87)～(88)中的(p,t)和(p,t)分別代替式(146)中未知的Yf(p,t)和Φf(p,t),得到式(148)的最小二乘迭代估計(jì)(t),用式(89)中的(p,t)和前一次迭代參數(shù)估計(jì)(t)分別代替式(147)中未知Ψ(p,t)和b,得到式(149)的最小二乘迭代估計(jì)(t),聯(lián)立式(130)～(141),就得到估計(jì)FIR-MA系統(tǒng)參數(shù)向量b和d的基于濾波的多新息增廣最小二乘迭代辨識(shí)算法,簡稱濾波多新息增廣最小二乘迭代算法(filtered multi-innovation extended least squaresbased iterative algorithm,F-MI-ELSI算法):

濾波多新息增廣最小二乘迭代算法又稱濾波移動(dòng)數(shù)據(jù)窗增廣最小二乘迭代算法(filtered movingdata-window extended least squares-based iterative algorithm,F-MDW-ELSI算法)。

F-MI-ELSI算法(148)～(161)計(jì)算參數(shù)估計(jì)和的步驟如下。

1)初始化:令t＝l,給定移動(dòng)數(shù)據(jù)窗長度p(通常取p?n),參數(shù)估計(jì)精度ε,最大迭代次數(shù)kmax,(t)＝1nb/p0,p0＝106。采集觀測數(shù)據(jù){y(j),φ(j):j＝1,2,…,l－1}l≥p,l≥p這里為一個(gè)正整數(shù)(請讀者思考l的意義)。

2)令k＝1。置(j)為隨機(jī)數(shù)(j)為隨機(jī)數(shù)(j)為隨機(jī)向量,j＝1,2,…,t。隨機(jī)數(shù)初值是為保證式(148)和(149)中的矩陣可逆。

3)采集觀測數(shù)據(jù)u(t)和y(t),用式(155)構(gòu)造信息向量φ(t),用式(150)構(gòu)造堆積輸出向量Y(p,t),用式(151)構(gòu)造堆積信息矩陣Φ(p,t)。

4)用式(156)構(gòu)造噪聲向量(t),用式(154)構(gòu)造堆積噪聲矩陣(p,t)。

5)用式(149)刷新參數(shù)估計(jì)向量(t)。

6)用式(157)計(jì)算濾波輸出(j),用式(158)計(jì)算濾波信息向量(j),j＝1,2,…,t。

7)用式(152)構(gòu)造堆積濾波輸出向量(p,t),用式(153)構(gòu)造堆積濾波信息矩陣(p,t)。

8)用式(148)刷新參數(shù)估計(jì)向量(t)。

9)用式(159)刷新殘差(j),j＝1,2,…,t。

10)如果k＜kmax,k就增加1,轉(zhuǎn)到步驟4);否則執(zhí)行下一步。

極小化準(zhǔn)則函數(shù)J′3(b)和J′4(d),令其對(duì)b和d的梯度為零,可以推導(dǎo)出

那么式(150)～(163)構(gòu)成了加權(quán)濾波多新息增廣最小二乘迭代算法(weighted F-MI-ELSI algorithm,W-F-MI-ELSI算法),或稱為濾波加權(quán)多新息增廣最小二乘迭代算法(F-W-MI-ELSI算法)。

7 結(jié) 語

基于系統(tǒng)的觀測輸入輸出數(shù)據(jù),利用迭代搜索和濾波辨識(shí)理念,研究了有限脈沖響應(yīng)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的濾波增廣迭代辨識(shí)方法,包括濾波(多新息)增廣梯度迭代辨識(shí)方法、濾波(多新息)增廣最小二乘迭代辨識(shí)方法,以及濾波加權(quán)和遺忘因子增廣迭代辨識(shí)方法等。提出的濾波增廣迭代辨識(shí)方法可以推廣到其它有色噪聲干擾下的多變量隨機(jī)系統(tǒng)和非線性隨機(jī)系統(tǒng)中[18-28]。