利用智能手機(jī)拍攝功能測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

張穎濤,李曉蘭,孫士帥

(1.天津理工大學(xué) 聾人工學(xué)院,天津 300384；2.天津理工大學(xué) 理學(xué)院,天津 300384)

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)的重要任務(wù)是利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[1]，傳統(tǒng)落體法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中用秒表計(jì)時(shí)落體砝碼的下落時(shí)間，由人眼看到砝碼下落開(kāi)始計(jì)時(shí)，看到砝碼落地終止計(jì)時(shí)，砝碼的下落時(shí)間和摩擦力矩及砝碼質(zhì)量有關(guān)，摩擦力矩越小，砝碼質(zhì)量越大，下落時(shí)間越小，這時(shí)測(cè)量者的反應(yīng)時(shí)間會(huì)引入過(guò)大的誤差，經(jīng)常出現(xiàn)多次測(cè)量中每次的測(cè)量時(shí)間差別很大的情況，可重復(fù)性差，所以如何改進(jìn)實(shí)驗(yàn)測(cè)量以減少誤差是需要研究的問(wèn)題。

現(xiàn)代信息社會(huì)，人們的生活已經(jīng)離不開(kāi)智能手機(jī)，智能手機(jī)的計(jì)時(shí)功能、計(jì)算功能、拍攝功能及自身攜帶的各種傳感器使得它就像隨身攜帶的實(shí)驗(yàn)工具箱，關(guān)于智能手機(jī)在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用有很多相關(guān)的討論[2-5]。為解決秒表計(jì)時(shí)存在人為反應(yīng)誤差問(wèn)題，本文提出一種基于智能手機(jī)拍攝功能測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，結(jié)果表明該方法實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單、可重復(fù)性強(qiáng)、測(cè)量精度高，便于應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

1 實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有

M=Iβ

(1)

如果系統(tǒng)的合外力矩M和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度β已知，根據(jù)上述公式即可算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，剛體系統(tǒng)在砝碼重力的牽引下開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)受到對(duì)軸處的合外力矩由繩子施于塔輪上的拉力矩和軸處的摩擦力矩Mu構(gòu)成，砝碼m在高度h的地方從靜止開(kāi)始以加速度a勻加速下落，r為塔輪的半徑，滑輪為輕質(zhì)定滑輪，傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角量和線量的關(guān)系可得

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

(2)

(3)

若剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I>>mr2

(4)

則a?g

在式(2)中可忽略mar，則式(2)可以簡(jiǎn)化為

(5)

砝碼由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滿足h=at2/2，所以根據(jù)砝碼的下落時(shí)間t和下落高度h可求出砝碼的加速度a，改變砝碼質(zhì)量，測(cè)出對(duì)應(yīng)的加速度a，作m-a圖，根據(jù)圖線斜率即可求出剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 傳統(tǒng)秒表計(jì)時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中存在的問(wèn)題

傳統(tǒng)落體法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中用秒表計(jì)時(shí)落體砝碼的下落時(shí)間，由人眼看到砝碼下落開(kāi)始計(jì)時(shí)，看到砝碼落地終止計(jì)時(shí)，但是從式(3)可以看出，砝碼質(zhì)量m越大、摩擦力矩越小時(shí)，加速度a就越大，那么砝碼下落高度一定時(shí)，下落時(shí)間就越短，這時(shí)測(cè)量者的反應(yīng)時(shí)間會(huì)引入較大的誤差，計(jì)時(shí)非常難以準(zhǔn)確；砝碼質(zhì)量太小時(shí)其重力又將無(wú)法克服轉(zhuǎn)軸的摩擦力下落。通常砝碼的質(zhì)量超過(guò)30 g時(shí)計(jì)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，經(jīng)常出現(xiàn)多次測(cè)量時(shí)每次的結(jié)果差別很大的情況，結(jié)果完全沒(méi)有重復(fù)性，這對(duì)學(xué)生正確理解實(shí)驗(yàn)是非常不利的，影響實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果。

3 智能手機(jī)慢動(dòng)作拍攝

為解決上述問(wèn)題，本文提出用手機(jī)“慢動(dòng)作拍攝功能“拍攝剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)角位移公式直接獲取剛體的角加速度，替代傳統(tǒng)秒表計(jì)時(shí)法。

圖2 慢動(dòng)作拍攝示意圖

慢動(dòng)作的本質(zhì)是高速攝像，慢速播放，看起來(lái)像是動(dòng)作變慢了，常用于高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)捕捉。測(cè)量如圖2所示，在剛體下方套上一個(gè)不隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的同軸圓刻度盤(pán)，在剛體邊緣粘上標(biāo)識(shí)物便于隨時(shí)讀取剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度，當(dāng)剛體在砝碼重力的牽引下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從剛體上方使用智能手機(jī)慢動(dòng)作功能拍攝剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。

所用手機(jī)慢動(dòng)作功能的拍攝速度為每秒240幀，則每幀圖片之間的時(shí)間間隔為1/240 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于人眼的反應(yīng)時(shí)間，測(cè)量精度非常高。打開(kāi)視頻，沿著視頻時(shí)間線移動(dòng)，可以依次查看每個(gè)時(shí)刻剛體上標(biāo)識(shí)物所指示的角度，再把讀取數(shù)據(jù)輸入Origin畫(huà)圖，可以看到角位置和對(duì)應(yīng)的時(shí)刻與勻加速圓周運(yùn)動(dòng)符合的很好，根據(jù)Origin的曲線擬合功能即可得到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，在式(4)滿足的條件下可得

(6)

作m-β圖，根據(jù)圖線斜率可求出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中塔輪半徑r為2.5 cm，分別選取砝碼質(zhì)量為10 g、20 g、30 g、40 g、50 g進(jìn)行落體法測(cè)量，在塔輪上方固定手機(jī)拍攝剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，本實(shí)驗(yàn)所用手機(jī)型號(hào)為Iphone8Plus，在每個(gè)視頻的中間部分采集數(shù)據(jù)，如圖3所示，讀取時(shí)間線上的時(shí)間和對(duì)應(yīng)畫(huà)面中標(biāo)識(shí)物指示角度，結(jié)果如表1所示。

圖3 數(shù)據(jù)讀取示意圖

表1 不同砝碼時(shí)的時(shí)間和角位置

剛體作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，其角位置和對(duì)應(yīng)的時(shí)間滿足二項(xiàng)式公式，把數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin畫(huà)圖，并按照二項(xiàng)式擬合曲線，如圖4所示，可以看到，結(jié)果和勻加速圓周運(yùn)動(dòng)符合的很好。

圖4 時(shí)間和角度的擬合線

根據(jù)擬合結(jié)果中二次項(xiàng)的擬合系數(shù)即可得到剛體勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，結(jié)果如表2所示。

表2 不同質(zhì)量砝碼時(shí)的角加速度

U(I)=grU(k)=0.07×10-3kg·m2

所以給定剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I=(2.32±0.07)×10-3kg·m2

圖5 質(zhì)量m和角加速度β的擬合線

4 結(jié) 語(yǔ)

本文詳細(xì)討論了落體法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中下落時(shí)間和落體質(zhì)量的關(guān)系，提出利用智能手機(jī)慢動(dòng)作拍攝功能拍攝剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)拍攝視頻的時(shí)間線依次記錄剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度，再用Origin處理數(shù)據(jù)，擬合曲線獲取剛體的角加速度，改變砝碼質(zhì)量，測(cè)量質(zhì)量和角加速度的關(guān)系可求得剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量方法清晰直觀、簡(jiǎn)便易懂、測(cè)量精度更高，課堂實(shí)用性強(qiáng)，課堂實(shí)踐效果非常好。本文受到天津理工大學(xué)教學(xué)基金項(xiàng)目(ZD18-05)支持。