永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型及其控制策略

謝金濤

（天津工業(yè)職業(yè)學(xué)院，天津 300400）

0 引言

在電動(dòng)機(jī)及其控制技術(shù)的發(fā)展過(guò)程中，高速控制器技術(shù)日漸成熟，其計(jì)算速度和計(jì)算能力大大提高，使得曾經(jīng)非常復(fù)雜的控制算法得以運(yùn)行，推動(dòng)了先進(jìn)的電機(jī)控制技術(shù)的豐富與發(fā)展，促進(jìn)了永磁同步電動(dòng)機(jī)性能的不斷提高。

永磁同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)主要有三類主流的控制技術(shù)。一是變壓變頻控制，英文譯作Variable Voltage Variable Frequency，簡(jiǎn)稱VVVF，主要是通過(guò)同時(shí)調(diào)整電源電壓及其工作頻率來(lái)改變電機(jī)轉(zhuǎn)速，VVVF控制策略在本質(zhì)上屬于開環(huán)控制。二是矢量控制技術(shù)，德國(guó)達(dá)姆施塔特工業(yè)大學(xué)的K.Hasse博士于二十世紀(jì)六十年代末最早提出矢量控制技術(shù)，并在交流異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中獲得成功應(yīng)用。矢量控制技術(shù)對(duì)于微處理器的計(jì)算和處理能力要求非常高，因此前期沒(méi)有普及使用，而后期隨著信息計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，才被逐漸投入永磁同步電動(dòng)機(jī)的使用過(guò)程中。三是直接轉(zhuǎn)矩控制，直接轉(zhuǎn)矩控制算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且計(jì)算量相對(duì)較小的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)轉(zhuǎn)子位置的計(jì)算要求不高，這就使得轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置可以被省略，大大地節(jié)約了系統(tǒng)的硬件成本。此外，因動(dòng)態(tài)響應(yīng)較快，永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制策略應(yīng)用也比較廣泛。下面筆者將從電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)形式出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型、建模方法及控制策略分析。

1 永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)形式

永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度是同步轉(zhuǎn)速，其磁鏈會(huì)在定子繞組中產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，不同類型的永磁同步電機(jī)產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)是不同的，根據(jù)反電動(dòng)勢(shì)的形式可以將永磁同步電機(jī)劃分為正弦波永磁同步電機(jī)與方波永磁同步電機(jī)兩種類型[1-2]。本文主要以正弦波反電動(dòng)勢(shì)的永磁同步電機(jī)作為系統(tǒng)的研究對(duì)象開展研究工作。

永磁同步電機(jī)在工業(yè)應(yīng)用中的需求是不一樣的，根據(jù)不同的需求，制作永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子的步驟以及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)形式都是不相同的。通常情況下，根據(jù)永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子中永磁體的安裝位置，將永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)劃分為面裝式、嵌入式與內(nèi)置式三種。

將永磁體安裝在永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子的表面位置的同步電機(jī)轉(zhuǎn)子稱為面裝式轉(zhuǎn)子。與面裝式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)不同，將永磁體安裝在轉(zhuǎn)子鐵芯內(nèi)部的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)在直軸與交軸上具有不相同的電感值。因?yàn)槊嫜b式永磁同步電機(jī)的特點(diǎn)，可以將面裝式轉(zhuǎn)子的永磁同步電機(jī)歸屬于一種隱極式永磁同步電機(jī)。相對(duì)應(yīng)的，因?yàn)榍度胧胶蛢?nèi)置式轉(zhuǎn)子的電感不同的特點(diǎn)，可以認(rèn)為嵌入式和內(nèi)置式轉(zhuǎn)子的永磁同步電機(jī)屬于一種凸極式永磁同步電機(jī)[3]。

2 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

坐標(biāo)變換理論是交流電機(jī)調(diào)速領(lǐng)域所應(yīng)用的尤為重要的基礎(chǔ)理論，在永磁同步電機(jī)的矢量控制算法與直接轉(zhuǎn)矩控制算法使用過(guò)程中，該變換理論發(fā)揮了非常關(guān)鍵的作用。

坐標(biāo)變換理論是典型的線性變換理論，但是為了使坐標(biāo)變換前后的值線性對(duì)應(yīng)且具有唯一性，就必須給坐標(biāo)變換附加約束條件，這個(gè)約束條件就是磁動(dòng)勢(shì)等效。保證坐標(biāo)變換的磁動(dòng)勢(shì)相同的目的是保證電機(jī)的磁場(chǎng)不發(fā)生變化，只有這樣才能確保電磁轉(zhuǎn)矩在變換前后計(jì)算的正確性。在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)應(yīng)用的控制理論中，需要定義三種類型的坐標(biāo)系，它們分別為三相靜止的坐標(biāo)系，用A-B-C表示；兩相靜止的坐標(biāo)系，用α-β來(lái)表示；兩相旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系，用d-q來(lái)表示，d和q也就是直軸和交軸的字母表示形式，這三個(gè)類型的坐標(biāo)系的空間對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖1所示。

圖1 空間中三種類型坐標(biāo)系的矢量關(guān)系

三相靜止的坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸A、B、C按照逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)，并且相差120°的電角度，可以代表三相的電壓、電流和磁鏈。為了便于圖形化地表示和理論計(jì)算，將兩相靜止坐標(biāo)系的α軸的位置角度與三相靜止坐標(biāo)系的A軸位置角度定為相同，然后將β軸按照逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90°電角度，這就構(gòu)成了兩相靜止的α-β坐標(biāo)系。兩相旋轉(zhuǎn)的d-q坐標(biāo)系是同步旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系，之所以叫同步旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系是因?yàn)樽鴺?biāo)系與轉(zhuǎn)子磁鏈的旋轉(zhuǎn)速度是相同的。

如前文所述，上述三種類型的坐標(biāo)系進(jìn)行變換的依據(jù)是磁動(dòng)勢(shì)守恒的基本原則，通常情況下，變換的類型有以下幾種：

1）Clark變換及其逆變換。Clark變換表示將三相靜止坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C經(jīng)過(guò)投影變換為兩相靜止坐標(biāo)系α-β的變換理論，通常也稱作3s/2s變換。假設(shè)三相繞組的纏繞匝數(shù)為N3，兩相繞組的纏繞匝數(shù)為N2，在確保Clark變換前后的磁動(dòng)勢(shì)相同的基本原則下，三相繞組和兩相繞組在α和β軸上的投影長(zhǎng)短是相同的，因此有式（1）成立：

式（1）中矩陣前系數(shù)為繞組纏繞的匝數(shù)之比。該系數(shù)有兩種不同的計(jì)算情況，第一種情況是進(jìn)行坐標(biāo)變換的前后需要保證總功率不變，第二種情況是坐標(biāo)變換的前后需要保證幅值不變。本文所涉及的計(jì)算過(guò)程都用等幅值變換的方法，因此此時(shí)的Clark變換公式可以變形為式（2）的形式：

相關(guān)文獻(xiàn)的理論證明顯示式（2）的關(guān)系適用于電流、電壓和磁鏈的坐標(biāo)變換。

與Clark變換相對(duì)應(yīng)的逆變換稱為Clark逆變換，變換的過(guò)程是將兩相靜止的坐標(biāo)系α-β向三相靜止的坐標(biāo)系A(chǔ)BC進(jìn)行線性變換，一般情況下稱該變換為2s/3s變換，正好與Clark變換的運(yùn)算過(guò)程相反。

2）Park變換及其逆變換。Park變換也是一種線性變換，它將兩相靜止的坐標(biāo)系α-β向兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（也可以稱為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系）d-q進(jìn)行線性變換，該變換過(guò)程也稱為2s/2r變換[4-5]。不失一般性地假設(shè)兩相旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系的直軸（也稱為d軸）和兩相靜止的坐標(biāo)系的α軸之間的變化夾角為θ，則將兩相旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系的矢量分別向兩相靜止的坐標(biāo)系的α和β軸方向進(jìn)行投影，經(jīng)過(guò)投影計(jì)算后，可以得到式（3）：

與Clark逆變換的道理相同，Park逆變換也稱作2r/2s變換[3,5]。

綜上所述，可以將兩種變換的形式綜合計(jì)算，得到三相靜止坐標(biāo)系向兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換的全部過(guò)程，至此，得到了永磁同步電動(dòng)機(jī)控制策略所應(yīng)用的坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)理論。

3 PMSM建模方法

永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)并不是十分復(fù)雜，但是其定轉(zhuǎn)子之間的電磁關(guān)系卻比較復(fù)雜，復(fù)雜性主要體現(xiàn)在系統(tǒng)參量關(guān)系之間的非線性和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，因此，為了得到比較好的分析效果，需要將永磁同步電機(jī)的復(fù)雜物理關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化，去除次要矛盾，保留主要矛盾，構(gòu)建比較理想化的電機(jī)模型。因此，為了便于分析又不失一般性，本文在進(jìn)行電機(jī)建模之前，假設(shè)下列條件成立[6-7]：

1）定子上的三相繞組嚴(yán)格對(duì)稱，并且連接形式為星形，在定子繞組中感應(yīng)出來(lái)的電動(dòng)勢(shì)必須按照正弦分布。

2）不考慮鐵芯的磁飽和性，不考慮鐵芯因渦流和磁滯效應(yīng)而產(chǎn)生的損耗。

3）不考慮定轉(zhuǎn)子的電動(dòng)勢(shì)、磁動(dòng)勢(shì)、電流、電壓等電氣參數(shù)的諧波。

4）電機(jī)轉(zhuǎn)子的繞組沒(méi)有阻尼。

4 永磁同步電機(jī)的控制策略

4.1 空間電壓矢量控制

交流調(diào)速的本質(zhì)是需要給所控制的電動(dòng)機(jī)提供電壓和電流可變的三相電流，通常實(shí)現(xiàn)三相電流任意改變頻率的裝置是逆變器?！半娏﹄娮蛹夹g(shù)”課程中講述過(guò)，逆變器可以將直流電流在經(jīng)過(guò)開關(guān)器件組成的逆變裝置后變?yōu)榻蛔冸娏?。根?jù)逆變器的中間直流環(huán)節(jié)的應(yīng)用區(qū)間不同可以將逆變器分為電壓型和電流型兩種，其中電壓型的逆變器較為多見。

4.2 直接轉(zhuǎn)矩控制

該項(xiàng)控制技術(shù)是利用坐標(biāo)變換把永磁同步電機(jī)等效成為普通的直流電機(jī)，從而降低了控制永磁同步電動(dòng)機(jī)的復(fù)雜程度，這個(gè)算法屬于間接控制技術(shù)的一種，與矢量控制不同，直接轉(zhuǎn)矩控制的相關(guān)方法是直接參與到電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的控制之中的[8-9]。

直接轉(zhuǎn)矩控制的相關(guān)技術(shù)比矢量控制技術(shù)開發(fā)得晚一些，早期主要應(yīng)用于異步電機(jī)控制領(lǐng)域，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩主要由電機(jī)定子的磁鏈幅值大小，電機(jī)轉(zhuǎn)子的磁鏈幅值大小和電機(jī)定子與轉(zhuǎn)子磁鏈之間的空間夾角決定[10]。如果定子和轉(zhuǎn)子的磁鏈幅值能保持恒定不變，那么只是改變兩個(gè)磁鏈?zhǔn)噶恐g的夾角，就可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的控制。在永磁同步電機(jī)中，轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度與氣隙中旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)速度相同，轉(zhuǎn)差率這個(gè)物理量在同步電機(jī)中不存在。因此，如果將直接轉(zhuǎn)矩控制的相關(guān)技術(shù)引入到永磁同步電機(jī)的控制中，就需要再引入其他的物理量——同步電機(jī)的負(fù)載角[11]。

5 結(jié)論

本文首先闡述了永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上分析了永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型、建模方法和控制策略，同時(shí)推導(dǎo)了坐標(biāo)變換理論，證明了如果想調(diào)節(jié)負(fù)載角的大小，可通過(guò)讓電機(jī)的定子磁鏈變化來(lái)實(shí)現(xiàn)。而如果想改變電機(jī)定子的定子磁鏈大小，可以利用空間電壓矢量原理來(lái)實(shí)現(xiàn)。與基于PWM調(diào)制的空間電壓矢量調(diào)制方法相似，直接轉(zhuǎn)矩控制的控制策略是將空間電壓矢量平均劃分為六個(gè)扇區(qū)，在其應(yīng)用過(guò)程中，定子磁鏈的幅值大小需要保持不變，此時(shí)改變空間電壓矢量的控制信號(hào)則必將使得定子磁鏈發(fā)生改變，因此，考慮定子磁鏈變化時(shí)的空間電壓矢量是必須的。