基于改進(jìn)灰色馬爾可夫模型的雷達(dá)備件需求預(yù)測

蔡志成，王昫

（中國人民解放軍空軍預(yù)警學(xué)院 雷達(dá)士官學(xué)校，湖北 武漢 430345）

0 引 言

在雷達(dá)裝備保障中，備件直接影響著雷達(dá)裝備持續(xù)作戰(zhàn)能力。備件不足會(huì)導(dǎo)致雷達(dá)裝備戰(zhàn)備完好性下降、影響部隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力，而備件儲(chǔ)備過量既增加保障難度也浪費(fèi)保障經(jīng)費(fèi)。因此，準(zhǔn)確預(yù)測備件需求對(duì)于保持雷達(dá)可用性、維持合理備件庫存具有重要意義。

備件需求的預(yù)測方法主要有四大類：實(shí)戰(zhàn)統(tǒng)計(jì)法、解析分析法、經(jīng)驗(yàn)系數(shù)法和模擬仿真法等。本文采用解析分析法，通過分析備件消耗量歷史數(shù)據(jù)，建立改進(jìn)灰色馬爾可夫組合模型來預(yù)測下一階段備件需求?；疑到y(tǒng)理論的GM（1，1）預(yù)測模型能夠弱化備件消耗序列的隨機(jī)性，發(fā)掘出樣本數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢，然而該模型對(duì)不規(guī)則變化和波動(dòng)較大的數(shù)據(jù)預(yù)測精度較低。馬爾可夫鏈預(yù)測模型可以對(duì)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，將灰色預(yù)測理論與馬爾可夫鏈相結(jié)合，能夠?qū)崿F(xiàn)兩者優(yōu)勢互補(bǔ)。

本文針對(duì)裝備備件消耗量變化隨機(jī)性較強(qiáng)特點(diǎn)，提出一種改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型計(jì)算備件需求量的預(yù)測方法，即通過對(duì)備件歷史消耗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，運(yùn)用改進(jìn)后的模型求需求量的預(yù)測值。首先用標(biāo)準(zhǔn)灰色預(yù)測GM（1，1）模型求出消耗量的灰色預(yù)測值，然后運(yùn)用馬爾可夫理論，對(duì)預(yù)測值和實(shí)際值兩者的誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分，得出馬爾可夫鏈預(yù)測模型，求出轉(zhuǎn)移概率矩陣；改進(jìn)利用固定的初始狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)未來狀態(tài)的預(yù)測方法，采用5 個(gè)與待測階段最近的狀態(tài)數(shù)據(jù)最為初始狀態(tài)，共同預(yù)測待測階段的狀態(tài)概率向量并確定狀態(tài)區(qū)間，利用模型的預(yù)測值更新選定的5 個(gè)初始狀態(tài)，進(jìn)行后續(xù)階段預(yù)測，實(shí)現(xiàn)對(duì)灰色預(yù)測值進(jìn)行修正、提升模型預(yù)測精確度的目標(biāo)。

1 灰色預(yù)測

1.1 建立灰色預(yù)測GM（1，1）模型

灰色預(yù)測模型是一種用灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法模型，通過關(guān)聯(lián)分析，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型來進(jìn)行預(yù)測。

（）的緊臨均值生成序列：

1.2 模型精度的檢驗(yàn)

灰色預(yù)測模型GM（1，1）模型的精度檢驗(yàn)：相對(duì)誤差、關(guān)聯(lián)度和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

計(jì)算小誤差概率：

GM（1，1）模型精度檢驗(yàn)主要將上述計(jì)算參數(shù)模型預(yù)設(shè)的誤差范圍（詳見表1）進(jìn)行比較。

表1 灰色模型精度驗(yàn)證表檢驗(yàn)精度等級(jí)對(duì)比表

2 改進(jìn)灰色馬爾可夫模型的修正模型

馬爾可夫預(yù)測模型是一種用于預(yù)測事件的發(fā)生概率的方法，其根據(jù)事件當(dāng)前的狀況來預(yù)測未來各個(gè)時(shí)刻狀態(tài)變動(dòng)情況。模型最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)就是對(duì)研究的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的劃分。不同的劃分方法會(huì)直接影響到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測結(jié)果會(huì)相差很大。本文利用灰色預(yù)測模型的殘差來劃分狀態(tài)空間。

2.1 狀態(tài)劃分

將殘差序列 劃分為個(gè)狀態(tài)，任一狀態(tài)區(qū)間為：E=（，），=1，2，…，，，）分別為狀態(tài)E的上、下限，其狀態(tài)集合為E=（，，…，E）。殘差的狀態(tài)劃分通常以樣本數(shù)和預(yù)測誤差范圍為基礎(chǔ)，可將狀態(tài)劃分為3 至5 個(gè)。

2.2 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

隨機(jī)事件的步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可表示為：

通常求得了一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，即可預(yù)測出待測對(duì)象下一步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況。若為穩(wěn)定性系統(tǒng)，則步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可表示為：

2.3 對(duì)象轉(zhuǎn)移狀態(tài)的確定

根據(jù)上式，只要知道轉(zhuǎn)移概率矩陣、初始狀態(tài)概率向量，就可以求得系統(tǒng)在任意時(shí)刻的的狀態(tài)概率向量。假設(shè)預(yù)測對(duì)象處于E狀態(tài)，此時(shí)的初始狀態(tài)概率向量是已知的，需要預(yù)測+1 時(shí)刻的狀態(tài)，則只需觀察狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中第行的轉(zhuǎn)移概率，如果第列為第行中概率的最大值，那么預(yù)測對(duì)象下一階段極有可能從狀態(tài)E變?yōu)闋顟B(tài)E。

2.4 改進(jìn)灰色馬爾可夫模型

由于任何樣本都存在局限性，在實(shí)際的需求預(yù)測中，通過狀態(tài)存在的頻率計(jì)算出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是不穩(wěn)定的。為降低多步預(yù)測產(chǎn)生的誤差，筆者采用多個(gè)預(yù)測的狀態(tài)概率累加取最大值的方法求待測時(shí)刻的最可能狀態(tài)，選取與待測階段最近的前連續(xù)5 個(gè)階段的已知狀態(tài)，分別用相應(yīng)的k 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求得待測的狀態(tài)概率向量組成概率矩陣，將多個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)概率進(jìn)行累加，以最大概率準(zhǔn)則確定待測階段的最可能狀態(tài)。后續(xù)則將該預(yù)測出的狀態(tài)作為已知，并以此狀態(tài)為基礎(chǔ)進(jìn)行進(jìn)一步的測。具體步驟如下：

設(shè)預(yù)測對(duì)象在1 至（＞5）階段狀態(tài)為，，…，E，為求+1 階段的狀態(tài)，利用第E、E、E、E、E五個(gè)階段狀態(tài)的初始概率向量，分別結(jié)合一步至五步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，得出+1 階段的狀態(tài)概率矩陣P，其包含5 個(gè)概率向量：

分別計(jì)算P概每一列的概率和，取概率和最大值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為階段+1 的狀態(tài)。后續(xù)階段（如P）狀態(tài)的預(yù)計(jì)，將預(yù)測到的+1 階段狀態(tài)作為已知，所需的五個(gè)階段狀態(tài)中加入階段+1 狀態(tài)，剔除最早的一個(gè)階段狀態(tài)，以此循環(huán)迭代預(yù)測后續(xù)階段的狀態(tài)序列。

2.5 確定修改后的預(yù)測值

改進(jìn)后的灰色馬爾可夫模型預(yù)測值的與其殘差所處的狀態(tài)有關(guān)，一般取狀態(tài)區(qū)間中點(diǎn)作為修正值的計(jì)算依據(jù)，設(shè)預(yù)測對(duì)象下一步轉(zhuǎn)移到E狀態(tài)，則改進(jìn)后的灰色馬爾可夫模型預(yù)測值為：

3 實(shí)例分析

以某單位某典型雷達(dá)備件Q 的月度統(tǒng)計(jì)的消耗量為例，表2為2019年1月至2020年3月連續(xù)15 個(gè)月備件Q 的消耗量。為便于進(jìn)行模型的計(jì)算和驗(yàn)證，筆者將該15 個(gè)月消耗數(shù)據(jù)看作連續(xù)時(shí)間序列，前10 個(gè)作為樣本數(shù)據(jù)，后5 個(gè)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)灰色馬爾可夫模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_度及可用性。

表2 某型雷達(dá)備件Q 消耗的時(shí)間序列

根據(jù)備件消耗量的前10 個(gè)數(shù)據(jù)，經(jīng)級(jí)比檢驗(yàn)，該樣本數(shù)據(jù)可以利用灰色模型進(jìn)行預(yù)測。采用灰色預(yù)測模型，得出模型的預(yù)測值，并計(jì)算相應(yīng)的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差，并同步進(jìn)行模型的精度檢驗(yàn)指標(biāo)值計(jì)算。相關(guān)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)論

采用等距劃分，將絕對(duì)殘差序列劃分5 個(gè)狀態(tài)[-5.056，-2.681）、[-2.681，-0.306）、[-0.306，2.070）、[2.070，4.445）、[4.445，6.820]，詳情見表2。結(jié)合劃分的絕對(duì)誤差狀態(tài)序列，求出1 至5 步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：P（1）、P（2）、P（3）、P（4）、P（5）。

根據(jù)改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型，求出第11 至15 階段的預(yù)測值，并計(jì)算出模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)值，具體如表4所示。

根據(jù)表4計(jì)算結(jié)果，在序號(hào)為11 至15 階段的消耗量預(yù)測中，灰色模型的預(yù)測值與實(shí)際消耗量誤差分別為2.817、0.254、-4.433、-4.249、-8.201，模型預(yù)測的精度指標(biāo)平均相對(duì)誤差為0.107、方差比為0.185、小誤差概率為1、關(guān)聯(lián)度為-0.951，預(yù)測精度較低。

表4 檢驗(yàn)數(shù)據(jù)部分——灰色模型與改進(jìn)灰色馬爾可夫模型預(yù)測數(shù)據(jù)對(duì)比

改進(jìn)灰色馬爾可夫模型預(yù)測值與實(shí)際消耗量誤差分別為-0.441、1.935、4.686、0.559、-0.441，模型預(yù)測的精度指標(biāo)平均相對(duì)誤差為0.044、方差比為0.092、小誤差概率為1、關(guān)聯(lián)度為0.710，模型的預(yù)測精度較高。由此可見，改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型在該備件需求預(yù)測方面具有明顯優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

灰色馬爾可夫預(yù)測模型通過將隨機(jī)的時(shí)間序列分解成為灰色模型預(yù)測的趨勢變動(dòng)序列和馬爾可夫模型預(yù)測的隨機(jī)變動(dòng)序列，利用馬爾可夫模型的預(yù)測狀態(tài)對(duì)灰色模型預(yù)測值進(jìn)行修正，能較好的發(fā)揮出灰色預(yù)測和馬爾可夫預(yù)測各自的優(yōu)勢，提高綜合預(yù)測精度。文中改進(jìn)的灰色馬爾可夫預(yù)測模型優(yōu)化了初始狀態(tài)的選取和待測狀態(tài)的確定方法，利用多初始狀態(tài)、多步計(jì)算取最大概率確定狀態(tài)的思路，進(jìn)一步提高了模型預(yù)測的精度。然而，馬爾可夫模型的預(yù)測核心是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的確定，在雷達(dá)備件預(yù)測中，實(shí)際備件需求與外界環(huán)境、任務(wù)形勢變化有較大影響，歷史樣本數(shù)據(jù)的具有較大的局限性，由此得出轉(zhuǎn)移概率矩陣在多步預(yù)測后精確度下降較快，如何能夠根據(jù)狀態(tài)的實(shí)際變化動(dòng)態(tài)更新馬爾可夫模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，是接下來的研究重點(diǎn)。