一類廣義Busemann-Petty問題的穩(wěn)定性

馮 偉

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

Busemann-Petty問題是凸幾何學(xué)中著名的經(jīng)典難題.它自提出便先后吸引了包括Fields獎(jiǎng)獲得者J.Bourgain在內(nèi)的諸多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家投身到其研究之中.為了解決這一經(jīng)典問題，數(shù)學(xué)家們極大地豐富了凸幾何學(xué)的內(nèi)容，并發(fā)展了許多新的凸幾何學(xué)研究的方法.

1956年，著名幾何學(xué)家H.Busemann和C.M.Petty提出Busemann-Petty問題[1]：如果對于Rn中的兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的凸體K，L,使得對于單位球面Sn-1上所有單位向量ξ,都有

voln-1(K∩ξ⊥)≤voln-1(L∩ξ⊥)

成立，其中voln-1(·)表示n維體積，ξ⊥={x∈Rn:=0}表示正交于ξ方向上的中心超平面，那么是否voln(K)≤voln(L)必然成立？

1975年，D.G.Larman和C.A.Rogers[2]證明了當(dāng)n≥12時(shí)答案為否定的;1989年，K.Ball[3]證明了當(dāng)n≥10時(shí)答案為否定的;1990年，A.Giannopoulos[4]和G.Bourgain[5]證明了當(dāng)n≥7時(shí)答案為否定的;1992年，M.Papadimitrackis[6]證明了當(dāng)n≥5時(shí)答案為否定的.

這個(gè)問題徹底被解決其實(shí)歸功于E.Lutwak[7]的卓著工作—揭示截面體和Busemann-Petty問題之間存在重要的聯(lián)系；基于這種聯(lián)系，1994年，R.Gardner[8]證明了當(dāng)n=3時(shí)Busemann-Petty問題的答案是肯定的；1999年，張高勇[9]證明了當(dāng)n=4時(shí)Busemann-Petty問題的答案是肯定的.

1999年，R.Gardner，A.Koldobsky以及T.Schlumprecht[10]用Fourier變換給出了所有維數(shù)的Busemann-Petty問題的一個(gè)一致解；F.Barthe，M.Fradelicz和B.Maurey[11]給出了這個(gè)一致解的重要的證明；然后就出現(xiàn)了許多與Busemann-Petty問題相關(guān)聯(lián)的有意義的結(jié)果.1996年，張高勇[12]首先研究了Busemann-Petty問題的一個(gè)幾何推廣：如果Rn中兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的凸體K和L滿足

voli(K∩ξ)≤voli(L∩ξ),?ξ∈G(n,i)

其中G(n,i)表示在Rn中的i維子空間的格拉斯曼流形，那么是否voln(K)≤voln(L)一定成立？

這個(gè)問題一般被稱作廣義Busemann-Petty問題.當(dāng)i=n-1時(shí)，這個(gè)問題就是上述所提到的Busemann-Petty問題.已經(jīng)證明了當(dāng)33，i=2,3時(shí)的廣義Busemann-Petty問題的解仍然是公開的(i=1時(shí)是明顯成立的).

此處研究了廣義Busemann-Petty問題一般的穩(wěn)定性，結(jié)果或許對于廣義Busemann-Petty問題的公開情形提供了啟示.以下是主要結(jié)果及推論.

定理1 如果Rn上的一個(gè)(i,k)截面體K和一個(gè)星體L，對于任意的ξ∈G(n,i)都滿足voli(K∩ξ)≤voli(L∩ξ)+ε，那么對于任意的η∈G(n,i+k)就有

在定理1中,k=n-i時(shí)的結(jié)果就是Koldobsky和馬丹在文獻(xiàn)[13]中確立的結(jié)果.

推論1 如果R4上的一個(gè)2維截面體K以及一個(gè)星體L，對于任意的ξ∈G(4，2)滿足

vol2(K∩ξ)≤vol2(L∩ξ)+ε

(1)

那么就有

(2)

定理2D(n-i,r)={j∈N∩{0}:j

voli(K∩ξ)≤voli(L∩ξ)+ε

(3)

那么對于任意的j∈D(n-i,r)，就有

當(dāng)j=0以及r=n-i時(shí)，定理2就得到Koldobsky和馬丹在文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果.

推論2 如果R4中的一個(gè)3維截面體K和一個(gè)星體L，對于任意的ξ∈G(4,3)，滿足：

vol3(K∩ξ)≤vol3(L∩ξ)+ε

那么就有

(4)

回顧到式(1)和式(3)的條件中，和ε相乘的系數(shù)都是1，但是在式(2)和式(4)中，和ε相乘的系數(shù)卻都是小于1的.因此，推論1和推論2實(shí)際上從直觀上啟示了張高勇的廣義Busemann-Petty問題的公開情形或許是有正解的.

參考文獻(xiàn)：

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[3] BALL K. Some Remarks on the Geometry of Convex Sets, Geometric Aspects of Functional Analysis[J]. Ann Math, 1988(17): 224-231

[4] GIANNOPOULOS A A. A Note on a Problem of H. Busemann and C. M. Petty Concerning Sections of Symmetric Convex Bodies[J]. Mathematika, 1990(37):239-244

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[6] PAPADIMITRAKIS M. On the Busemann-Petty Problem about Convex, Centrally Symmetric Bodies in Rn[J]. Mathematika, 1992(39): 258-266

[7] LUTWAK E. Intersection Bodies and Dual Mixed Volumes[J]. Adv Math, 1988(71): 232-261

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[9] ZHANG G. A Ppositive Answer to the Busemann-Petty Problem in Four Dimensions[J]. Ann Math, 1999(149): 535-543

[10] GARDNER R J, KOLDOBSKY A, SCHLUMPRECHT T. An Analysis Solution to the Buseman-Petty Problem on Sections of Convex Bodies[J]. Ann Math， 1999(149): 691-703

[11] BARTHE F， FRADELIZI M， MAUREY B. A Short Solution to the Busemann-Petty Problem[J]. Positivity,1999(3): 95-100

[12] ZHANG G. Section of Convex Bodies[J]. Am J Math, 1996(118): 319-340

[13] KOLDOBSKY A, MA D. Stability and Slicing Inequalities for Intersection Bodies[J]. Geom Funct Anal， 2013(162):325-335