俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題中的數(shù)學(xué)文化

呂孫忠，雷沛瑤，吳尉遲，熊 斌

俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題中的數(shù)學(xué)文化

呂孫忠1，2，雷沛瑤1，吳尉遲1，2，熊 斌1，2

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200241）

俄羅斯在數(shù)學(xué)競賽方面有著諸多經(jīng)驗(yàn)值得中國學(xué)習(xí)，其命制的競賽試題也有著人文特色．研究主要對(duì)俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題中的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了研究，統(tǒng)計(jì)并分析了其中的數(shù)學(xué)文化類題目在年份變化、內(nèi)容分布、知識(shí)領(lǐng)域分布和不同年級(jí)分布間的特點(diǎn)，從中得到了有關(guān)數(shù)學(xué)競賽命題以及數(shù)學(xué)資優(yōu)生培養(yǎng)的相關(guān)啟示：以知識(shí)源流為切點(diǎn)，架初等高等數(shù)學(xué)橋梁；思各知識(shí)領(lǐng)域特色，精心編排展文化之魅；展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在之美，培養(yǎng)資優(yōu)生臻美能力；融合文化多元特性，提升資優(yōu)生國際視野．

俄羅斯；數(shù)學(xué)競賽；數(shù)學(xué)文化

1 問題提出

為了選拔一批具有學(xué)科特長、創(chuàng)新潛質(zhì)并有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求的青少年，教育部于2018年出臺(tái)了《關(guān)于實(shí)施基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見》，接著又在2020年發(fā)布了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），并聯(lián)合中國科協(xié)頒布了《2021年“英才計(jì)劃”工作實(shí)施方案》，這意味著中國已將拔尖人才的培養(yǎng)提升到了國家重大戰(zhàn)略部署的高度[1]．作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)，在科技發(fā)展和國家競爭中舉足輕重．由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性和兒童心智發(fā)展的特點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)英才應(yīng)該把握學(xué)生智力發(fā)展的關(guān)鍵期，中國在對(duì)數(shù)學(xué)英才的早期識(shí)別和培育上也做了較多工作[2]．其中，開展數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)可以在基礎(chǔ)教育階段選拔并培養(yǎng)早期的數(shù)學(xué)英才，它可以培養(yǎng)學(xué)生的興趣、毅力、眼界和品味[3]，并為高等學(xué)府選拔科學(xué)研究人才．同時(shí)，數(shù)學(xué)競賽也是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，包括對(duì)選手和對(duì)比賽試題的研究[4]．對(duì)試題的研究通常集中在對(duì)試題的編制和難度分析、比較等領(lǐng)域[5-6]，對(duì)選手的研究主要包括對(duì)參賽選手后續(xù)發(fā)展的追蹤調(diào)查[7-9]．這些研究都表明，奧數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷有利于拔尖人才的成長，對(duì)其終身發(fā)展是有益的，在英才教育中既應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)奧林匹克活動(dòng)，也應(yīng)當(dāng)關(guān)注競賽試題的命制．

數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)作為一種教育活動(dòng)，不僅要選拔并培養(yǎng)數(shù)學(xué)英才，而且要促進(jìn)學(xué)生人性的完善[10]．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出數(shù)學(xué)教育的基本理念是：“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．”[11]為數(shù)學(xué)資優(yōu)生提供更高水平的學(xué)習(xí)材料，是社會(huì)主義教育的題中應(yīng)有之義[12]．對(duì)數(shù)學(xué)資優(yōu)生而言，數(shù)學(xué)試題除了承擔(dān)思維訓(xùn)練的任務(wù)，還應(yīng)具有人文素養(yǎng)的導(dǎo)向，注重?cái)?shù)學(xué)的價(jià)值引領(lǐng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值[11]．?dāng)?shù)學(xué)競賽活動(dòng)中有不少低年級(jí)學(xué)生參加，如何讓超常學(xué)生在發(fā)展數(shù)學(xué)能力的同時(shí)保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，是開展數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)應(yīng)考慮的[13]．眾多研究表明，數(shù)學(xué)文化可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣[14]．因此，在數(shù)學(xué)競賽試題中融入數(shù)學(xué)文化，既可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，又可以保持資優(yōu)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，是值得關(guān)注的一種命題視角．

國內(nèi)視域中，無論是已有的數(shù)學(xué)競賽試題、教材，還是有關(guān)數(shù)學(xué)競賽的研究，對(duì)數(shù)學(xué)競賽試題中的數(shù)學(xué)文化關(guān)注都較少，如何對(duì)資優(yōu)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化價(jià)值的引領(lǐng)、保持他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣還值得進(jìn)一步思考．國際領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)奧林匹克具有悠久的歷史傳統(tǒng)，它在發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才上發(fā)揮著重要作用．其中，不乏菲爾茲獎(jiǎng)獲得者的俄羅斯[15-16]在數(shù)學(xué)競賽試題的人文導(dǎo)向上有著豐富的經(jīng)驗(yàn)．俄羅斯對(duì)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)極富人文精神，數(shù)學(xué)奧林匹克試圖具有較高的人文情懷，其國家統(tǒng)一考試的數(shù)學(xué)試題也更注重與實(shí)際生活的聯(lián)系[17]，數(shù)學(xué)奧林匹克試題不僅數(shù)量多，而且質(zhì)量高[18]，還有不少奧林匹克式的開放性問題[19]，具有豐富的數(shù)學(xué)文化背景，為中國數(shù)學(xué)競賽試題的編制提供了一個(gè)值得參考的文化視角．在此背景下，研究提出以下研究問題：俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題中數(shù)學(xué)文化類題目在年份變化、內(nèi)容分布、知識(shí)領(lǐng)域分布和不同年級(jí)的分布間有何特點(diǎn)？

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)據(jù)來源

全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克是受俄羅斯聯(lián)邦教育部指導(dǎo)的全國性數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，每學(xué)年舉辦一屆．從蘇聯(lián)解體后到2008年，每屆全俄中學(xué)生奧林匹克競賽進(jìn)行5輪比賽；自2009年開始，原來的校級(jí)競賽不再作為首輪的競賽，比賽被縮減為4輪，分別是：市級(jí)競賽、省級(jí)競賽、聯(lián)邦區(qū)域賽和全俄決賽，其中市級(jí)競賽和省級(jí)競賽在第一學(xué)期進(jìn)行，聯(lián)邦區(qū)域賽和全俄決賽在第二學(xué)期進(jìn)行．全俄決賽通常在每年的4月中旬舉行，時(shí)間并不固定，它是俄羅斯最高層次、最高水平的數(shù)學(xué)競賽，功能和水平與中國的中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克相當(dāng)，考試分兩天進(jìn)行，要求每天在5個(gè)小時(shí)內(nèi)完成4道題目．全俄決賽中設(shè)置了九年級(jí)、十年級(jí)和十一年級(jí)，與中國高中的3個(gè)年級(jí)對(duì)應(yīng)，當(dāng)年的全俄決賽的優(yōu)勝者有機(jī)會(huì)代表俄羅斯參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽[20]．

研究的具體對(duì)象是1993—2019年俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克決賽（以下簡稱全俄決賽）的九年級(jí)、十年級(jí)和十一年級(jí)3個(gè)年級(jí)的題目，每個(gè)年級(jí)有8道題目，總計(jì)648道題目（由于疫情原因，2020年的比賽沒有舉行），具體的題目來自蘇淳翻譯的兩本書[18，20]．

2.2 分析框架

2.2.1 數(shù)學(xué)文化類題目的數(shù)量變化趨勢(shì)

對(duì)1993—2019年全俄決賽試題的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將每一年3個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)文化類題目總量作為該年的數(shù)學(xué)文化類題目數(shù)量，統(tǒng)計(jì)全俄決賽中數(shù)學(xué)文化類題目數(shù)量隨年份的變化趨勢(shì)．

2.2.2 數(shù)學(xué)文化類題目的內(nèi)容分布

不同學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義有不同的理解，研究主要采用《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義，即“數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”[11]．根據(jù)汪曉勤依據(jù)西方學(xué)者所總結(jié)的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值以及課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的數(shù)學(xué)的4類價(jià)值，研究將數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵劃分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂和多元文化5個(gè)類別[21]，并根據(jù)俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的特點(diǎn)，結(jié)合PISA測(cè)試對(duì)數(shù)學(xué)問題情境的分類[22]，將“社會(huì)角色”細(xì)分，得到了數(shù)學(xué)競賽試題中數(shù)學(xué)文化元素的分類框架，具體見表1．

表1 數(shù)學(xué)競賽試題中數(shù)學(xué)文化元素的分類框架

具體地，含有數(shù)學(xué)文化元素的試題舉例如下．

例1 【知識(shí)源流】（1999年，十年級(jí)）在某個(gè)由12個(gè)人組成的群體中，任何9個(gè)人中都可以找出5個(gè)人相互認(rèn)識(shí)．證明：從該群體中可以找到6個(gè)人相互認(rèn)識(shí)[18]．

此題和Ramsey原理有一定的關(guān)聯(lián)，Ramsey理論廣泛見于科研，又頻繁地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中，Ramsey理論往往以“人與人之間相互認(rèn)識(shí)或者不認(rèn)識(shí)”的關(guān)系出現(xiàn)在科普書上[26]．此題多了一個(gè)“可以找出5個(gè)人相互認(rèn)識(shí)”的條件，是一道典型的根據(jù)歷史定理改編的試題，因此將它歸類為知識(shí)源流．對(duì)這類歷史上著名命題、定理和名題的巧妙改編，可以讓學(xué)生感受來自大數(shù)學(xué)家的思想方法之美，體會(huì)數(shù)學(xué)史上獨(dú)特的理性光輝．

例2 【審美娛樂】（2015年，十一年級(jí)）不死的跳蚤自原點(diǎn)出發(fā)，沿著數(shù)軸上的整點(diǎn)跳躍．它第1步躍過的距離為3，然后是5，再然后是9，如此一直下去，在第步躍過的距離是2+1．至于第一步是往左跳還是往右跳，全憑跳蚤自己選擇．試問：跳蚤是否能跳遍每一個(gè)整數(shù)點(diǎn)（允許多次到達(dá)某點(diǎn)）[20]？

此題以跳蚤為主角創(chuàng)造了一個(gè)虛擬的故事場(chǎng)景，數(shù)軸上的跳蚤不斷跳躍，就像數(shù)軸上的點(diǎn)不斷移動(dòng)，由此產(chǎn)生了相關(guān)的趣味數(shù)學(xué)問題．此類試題將數(shù)學(xué)問題藏身于有趣的故事情節(jié)中，將單調(diào)的數(shù)學(xué)語言用風(fēng)趣的生活語言代替，新穎有趣，可有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

2.2.3 數(shù)學(xué)文化類題目的知識(shí)領(lǐng)域分布

研究根據(jù)俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題目所考察的知識(shí)點(diǎn)，將題目的知識(shí)領(lǐng)域編碼為代數(shù)、數(shù)論、幾何以及組合共4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，如表2所示．再分別統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)文化類題目出現(xiàn)在不同知識(shí)領(lǐng)域的數(shù)量．編碼中涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的試題，研究會(huì)將該試題歸類到知識(shí)點(diǎn)比例較高的領(lǐng)域中去．

表2 知識(shí)領(lǐng)域分類框架

2.2.4 數(shù)學(xué)文化類題目在各個(gè)年級(jí)上的分布

研究將每一年全俄決賽試題中的數(shù)學(xué)文化類題目分別統(tǒng)計(jì)，由于各個(gè)年級(jí)的考試同時(shí)進(jìn)行，部分題目會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，針對(duì)這一類題目，研究將它們獨(dú)立編碼．例如2017年九年級(jí)的第8題和2017年十年級(jí)的第7題是同一道題，研究會(huì)將它們?cè)诰拍昙?jí)和十年級(jí)中各記一次．

2.3 編碼過程

研究共經(jīng)歷了3輪編碼，分為預(yù)編碼、初編碼和二輪編碼．在確定理論框架后，進(jìn)入了預(yù)編碼階段．研究人員在進(jìn)行預(yù)編碼后，與數(shù)學(xué)教育專業(yè)數(shù)學(xué)競賽方向的1名教授、3名博士研究生和數(shù)學(xué)史方向的1名博士研究生討論并確定了具體的編碼方案，隨后開始進(jìn)行初編碼．在初編碼階段，先由1名研究人員獨(dú)立進(jìn)行編碼，然后隨機(jī)抽取20%的題目，也就是6年的原始試題（144道），讓兩名博士研究生分別對(duì)數(shù)學(xué)文化類別和知識(shí)領(lǐng)域進(jìn)行編碼，并統(tǒng)計(jì)編碼一致度．得到關(guān)于數(shù)學(xué)文化的編碼一致度為94.44%，關(guān)于知識(shí)領(lǐng)域的編碼一致度為95.83%．由于編碼一致度較高，研究人員與兩名博士研究生進(jìn)行討論、達(dá)到統(tǒng)一的編碼標(biāo)準(zhǔn)后，展開了二輪編碼．二輪編碼由研究人員獨(dú)立將試題進(jìn)行二次編碼，最終得到研究的數(shù)據(jù)．

3 研究結(jié)果

3.1 數(shù)學(xué)文化類題目的數(shù)量變化趨勢(shì)

將1993年到2019年間全俄決賽中3個(gè)年級(jí)數(shù)學(xué)文化類題目的總量分別統(tǒng)計(jì)，得到折線圖1．

圖1 數(shù)學(xué)文化類題目數(shù)量變化折線圖

容易看出，全俄決賽開展的這27年間，其數(shù)學(xué)文化類題目所占的權(quán)重每年大致相似．在每年3個(gè)年級(jí)總題目為24題的情況下，其數(shù)學(xué)文化類題目多在10～20之間波動(dòng)，大致占比41.7%～83.3%．除了93年（11題）、95年（10題）和98年（11題）外，其余年份的數(shù)學(xué)文化類題目都超過了50%，這說明俄羅斯一直就十分重視在競賽題中傳遞數(shù)學(xué)文化．其試題大半具有數(shù)學(xué)文化背景，有的是有趣的數(shù)學(xué)游戲情境，有的是自然科學(xué)情境，有的是歷史名題改編，有的是題目設(shè)計(jì)者匠心獨(dú)運(yùn)地通過試題展示數(shù)學(xué)美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的審美價(jià)值等．

3.2 數(shù)學(xué)文化類題目的內(nèi)容分布

將全俄決賽試題的數(shù)學(xué)文化類試題按數(shù)學(xué)文化的類別（知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂和多元文化）分別統(tǒng)計(jì)，得到表3和圖2．

從表3和圖2知，全俄決賽試題中的數(shù)學(xué)文化試題對(duì)各個(gè)類別的數(shù)學(xué)文化均有涉及．具體看來，數(shù)學(xué)文化類試題大量集中在審美娛樂這一類別，占比71.2%，相比其它4個(gè)類別具有絕對(duì)的數(shù)量優(yōu)勢(shì)．其中，數(shù)學(xué)審美類題目有161道，趣味數(shù)學(xué)類題目有121道．?dāng)?shù)學(xué)審美類題目主要是通過題目展現(xiàn)一些優(yōu)美的幾何圖形和代數(shù)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對(duì)稱美、奇異美等，感受數(shù)學(xué)在永恒與運(yùn)動(dòng)間的不同魅力；趣味數(shù)學(xué)則是將數(shù)學(xué)試題進(jìn)行改編，賦予單調(diào)的數(shù)學(xué)題一些有趣的故事情節(jié)，或是將數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)游戲中，如方格染色方案的設(shè)計(jì)、策略游戲中取勝方案的咨詢，或是無限大棋盤上棋子的落定、數(shù)學(xué)王國中盧布的使用等，讓學(xué)生在解題的過程中感受數(shù)學(xué)文化的樂趣．占比第二多的社會(huì)角色類問題，則是將數(shù)學(xué)競賽與現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行聯(lián)系，將數(shù)學(xué)試題放置于現(xiàn)實(shí)生活中個(gè)人的、職業(yè)的、社會(huì)的情境中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)科所發(fā)揮的社會(huì)角色價(jià)值，如與個(gè)人家庭生活有關(guān)的家族相冊(cè)、與個(gè)人校園生活有關(guān)的同學(xué)交流、與社會(huì)生活相關(guān)的體育競技活動(dòng)以及與學(xué)生未來職業(yè)生活相關(guān)的程序員寫程序等問題，這些問題大多貼近生活，讓學(xué)生可以直觀地體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用．

表3 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容分布統(tǒng)計(jì)

圖2 數(shù)學(xué)文化類題目內(nèi)容分布餅狀圖

學(xué)科聯(lián)系有少量的題目（18道），主要集中在與物理學(xué)、航空航天學(xué)等學(xué)科的聯(lián)系，如通過數(shù)學(xué)方法計(jì)算速度、質(zhì)量，通過數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)航空路線等，這些題目搭建了溝通數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的橋梁，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性．內(nèi)容分布最少的是知識(shí)源流和多元文化兩個(gè)維度．知識(shí)源流只有8道題，主要是將數(shù)學(xué)史上的歷史名題、著名定理等進(jìn)行改編，如將費(fèi)馬大定理改編為結(jié)構(gòu)類似，但可以用初等簡單方法解決的不定方程，用哈密爾頓圖改編的圖論路線問題，將歷史上“完全數(shù)”概念引入的數(shù)論題等，這些改編的資料都可以作為初等數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)高等數(shù)學(xué)的橋梁，它們可以呼喚起學(xué)生內(nèi)心對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，讓他們成為逐夢(mèng)的數(shù)學(xué)人．而多元文化僅有2道題，均來自古希臘的神話傳說，出題者別具一格地將古希臘的神話傳說編成數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在解題的過程中了解多元文化，既增加了數(shù)學(xué)題目的趣味，又豐富了學(xué)生對(duì)世界多元性的了解．

3.3 數(shù)學(xué)文化類題目的知識(shí)領(lǐng)域分布

分別統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)文化類題目在組合、幾何、數(shù)論和代數(shù)共4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域出現(xiàn)的頻數(shù)，得到各知識(shí)領(lǐng)域出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化類題目的數(shù)量．其中，組合共有42題，幾何共有131題，數(shù)論有42道題，代數(shù)有181道題．考慮到試題中各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域題目的數(shù)量本就不相同，因此將每個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)文化類題目的數(shù)量除以該領(lǐng)域題目的總量，得到數(shù)學(xué)文化類題目在4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的百分比，見圖3．

圖3 數(shù)學(xué)文化類題目知識(shí)領(lǐng)域分布條形圖

由圖3可知，數(shù)學(xué)文化類題目出現(xiàn)最頻繁的是幾何領(lǐng)域和組合領(lǐng)域，占比均在8成左右．其中，幾何試題大部分屬于平面幾何，也有少量屬于立體幾何，這個(gè)領(lǐng)域數(shù)學(xué)文化類題目的占比最高，其高達(dá)84.52%的試題具有數(shù)學(xué)文化背景，但是文化背景的類型較為單一，全部來自數(shù)學(xué)審美．這些數(shù)學(xué)美有的是圖形上的對(duì)稱、簡潔美、奇異美，如對(duì)稱的直線、簡潔的蝴蝶定理、角度的巧合性相等、點(diǎn)的巧合性共圓等；有的是幾何變換中的統(tǒng)一美，如位置在改變的某條直線通過某個(gè)定點(diǎn)、變換的三角形保持面積不變、旋轉(zhuǎn)位似變化下保持的不變性等．歷史上很多優(yōu)美的平面幾何結(jié)論就是在很多人不停地探索中發(fā)現(xiàn)的，這些數(shù)學(xué)美可以激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何結(jié)論的自主探索，提升學(xué)生對(duì)幾何位置關(guān)系的洞察能力和幾何圖形的審美能力．?dāng)?shù)學(xué)文化類題目占比第二高的是組合領(lǐng)域，其題目中的數(shù)學(xué)文化背景比重也達(dá)到了79.04%．取材廣泛，立意新穎的俄羅斯組合題，需要認(rèn)真探索、深入思考才能找到試題的答案，是典型性的“動(dòng)腦題”[18]．組合類題目的文化背景較幾何領(lǐng)域的題目更豐富，有的是設(shè)計(jì)染色的方案、天平稱重的方案和分割方格紙圖形，有的是游戲策略的輸贏，這些問題大多都十分有趣，貼近生活．同時(shí)，組合試題結(jié)合了其本身就蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)方法，如算兩次、極端原理、反證法、抽屜原理等，將巧妙的數(shù)學(xué)思想與豐富多彩的數(shù)學(xué)文化碰撞，產(chǎn)生了無與倫比的火花，這些試題設(shè)計(jì)精巧卻未令人感到絲毫刻意雕琢之感．另外，有的題目可能還是科研中的副產(chǎn)品，通過解決這些試題，學(xué)生也許能在不知不覺中涉足到數(shù)學(xué)的前沿領(lǐng)域．

數(shù)論和代數(shù)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)文化類題目占比雖然相對(duì)較少，但仍然有3成左右．它們中的數(shù)學(xué)文化卻更多元，都包含了知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、數(shù)學(xué)審美和社會(huì)角色這4個(gè)類別，而代數(shù)部分還包括了多元文化．從具體內(nèi)容的角度來說，它們?cè)趯W(xué)科聯(lián)系和社會(huì)角色上的數(shù)學(xué)文化類似于組合部分的，但在知識(shí)源流和數(shù)學(xué)審美上有所不同．從數(shù)學(xué)審美的角度看，俄羅斯競賽中的數(shù)論和代數(shù)試題也滲透著代數(shù)美學(xué)，如在數(shù)論試題中定義的“好數(shù)”“幾乎平方數(shù)”“階好數(shù)”等，這些概念映射著特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在代數(shù)試題中，不少全對(duì)稱或者輪換對(duì)稱的不等式也閃耀著數(shù)學(xué)的美學(xué)光輝，而這些都是在組合和幾何試題中看不到的．

具體地，將4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域在5個(gè)數(shù)學(xué)文化類別中的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到表4．

表4 數(shù)學(xué)文化在各知識(shí)領(lǐng)域的內(nèi)容分布統(tǒng)計(jì)

由表4可知，各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的題目在數(shù)學(xué)文化各個(gè)類別上的分布十分不均衡，利用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS20.0進(jìn)行Fisher精確檢驗(yàn)，得出它們?cè)诜植忌暇哂袠O其顯著的差異（<0.01）．具體看來，組合領(lǐng)域題目所蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的種類最多，涵蓋了5個(gè)類別的數(shù)學(xué)文化，幾何領(lǐng)域所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化最單一，僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)審美上，其余的組合和數(shù)論領(lǐng)域也都只涵蓋了4個(gè)類別的數(shù)學(xué)文化．

3.4 數(shù)學(xué)文化類題目在各個(gè)年級(jí)上的分布

將試題中九年級(jí)、十年級(jí)和十一年級(jí)的題目分別統(tǒng)計(jì)，得到：九年級(jí)共148道，十年級(jí)共130道，十一年級(jí)共118道數(shù)學(xué)文化類題目．對(duì)不同年級(jí)題目在5個(gè)數(shù)學(xué)文化類別上的具體分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了圖4．

圖4 各個(gè)年級(jí)數(shù)學(xué)文化類題目分布條形圖

3個(gè)年級(jí)數(shù)學(xué)文化類題目的總數(shù)逐漸減少，九年級(jí)最多，十一年級(jí)最少．這可能與設(shè)計(jì)者認(rèn)為高年級(jí)學(xué)生的抽象能力更強(qiáng)有關(guān)．從圖4中可知，盡管總數(shù)不盡相同，但各個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)文化類題目在5個(gè)數(shù)學(xué)文化類別上的分布卻大致相似，亦無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的顯著差異（Fisher精確檢驗(yàn)=0.450）．3個(gè)年級(jí)試題中的數(shù)學(xué)文化最多出現(xiàn)在審美娛樂這一領(lǐng)域，包括一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)審美的題目和蘊(yùn)含趣味數(shù)學(xué)游戲的情境．其次是體現(xiàn)社會(huì)角色，重點(diǎn)展現(xiàn)數(shù)學(xué)與個(gè)人生活和社會(huì)生活的聯(lián)系．而學(xué)科聯(lián)系、知識(shí)源流和多元文化都特別少，尤其是多元文化，試題的里的多元文化僅在九年級(jí)出現(xiàn)了兩次．

4 結(jié)論與啟示

研究對(duì)全俄決賽試題中的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，針對(duì)研究問題，得到了以下研究結(jié)論．

（1）全俄決賽試題中數(shù)學(xué)文化類題目的占比較大，其從1993—2019年的27年間，數(shù)學(xué)文化類題目所占的權(quán)重大致相似且數(shù)量大多超過了總題數(shù)的一半；（2）在內(nèi)容分布上，數(shù)學(xué)文化類題目分布十分不均衡，主要集中在審美娛樂上，多元文化涉及最少；（3）各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)文化類題目的權(quán)重也十分不均衡，幾何與組合具有最多的數(shù)學(xué)文化類題目，且各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域在5個(gè)數(shù)學(xué)文化類別上的分布具有極其顯著的差異；（4）3個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)文化類題目數(shù)量隨著年級(jí)的增長依次減少，但在5個(gè)數(shù)學(xué)文化類別上的分布具有相同的趨勢(shì)．

基于以上研究結(jié)論，結(jié)合俄羅斯數(shù)學(xué)競賽的特點(diǎn)，得到有關(guān)數(shù)學(xué)競賽命題以及數(shù)學(xué)資優(yōu)生培養(yǎng)的以下啟示．

4.1 以知識(shí)源流為切點(diǎn) 架初等高等數(shù)學(xué)橋梁

全俄決賽試題中有一些試題直接改編于高等數(shù)學(xué)知識(shí)，如數(shù)論里的費(fèi)馬大定理、圖論中的拉姆塞數(shù)[26]等，這些試題都具有較深的知識(shí)源流，蘊(yùn)含內(nèi)隱的數(shù)學(xué)文化．這些競賽題也可以看作是溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁[27]．這也是俄羅斯數(shù)學(xué)競賽題的鮮明特色，就連俄羅斯著名數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫也曾在1960年打趣道：“也許，找到證明費(fèi)馬大定理的一種方法是將它作為一道莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題．”[28]數(shù)學(xué)家們可以將數(shù)學(xué)研究中部分巧妙的想法，轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)語言，然后用美麗的故事將它們包裝成一道道嶄新的數(shù)學(xué)奧林匹克試題[27]．所以數(shù)學(xué)奧林匹克試題也值得專業(yè)的數(shù)學(xué)研究人員去探索，因?yàn)檫@些試題可能產(chǎn)生新的研究問題和方向，同時(shí)專業(yè)的數(shù)學(xué)研究人員也可以對(duì)那部分可以用來作為數(shù)學(xué)奧林匹克試題資源的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容保持關(guān)注[28]．俄羅斯的數(shù)學(xué)競賽還得到了許多數(shù)學(xué)家們的支持，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去接觸更前沿的數(shù)學(xué)[19]；而歐美國家的許多知名高中也開展了大學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)科課程，這些預(yù)修課程和數(shù)學(xué)奧林匹克教育可以相輔相成．因此，可以邀請(qǐng)更多的數(shù)學(xué)家來參加數(shù)學(xué)競賽的命題、競賽教輔書的編寫和中學(xué)數(shù)學(xué)競賽課程的教學(xué)，從知識(shí)源流的角度來編制材料，賦予試題更多的數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)數(shù)學(xué)資優(yōu)生更好地從初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過渡到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中去．

4.2 思各知識(shí)領(lǐng)域特色 精心編排展文化之魅

從數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域分布的角度來看，全俄決賽試題中代數(shù)、數(shù)論、幾何和組合所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化類別存在明顯的差異．這些特點(diǎn)也為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)競賽的命題提供了新的思考，在試題編制中應(yīng)該考慮各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的特點(diǎn)，為各知識(shí)領(lǐng)域的試題融入適合它們知識(shí)特點(diǎn)的數(shù)學(xué)文化，比如幾何題可以從數(shù)學(xué)審美的角度考慮，而代數(shù)、數(shù)論、組合題可以結(jié)合其它4個(gè)角度．但是單純的數(shù)學(xué)文化展現(xiàn)并不能為學(xué)生提供獨(dú)特的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，合理、有效的融合和呈現(xiàn)方式顯得特別重要．?dāng)?shù)學(xué)文化的融入方式并不是盲目的，可以結(jié)合其知識(shí)特點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)、歷史和其它學(xué)科中的應(yīng)用情況等進(jìn)行編制，如數(shù)論中的密碼學(xué)、組合中的統(tǒng)籌規(guī)劃、幾何中的黃金分割等，這些可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在其它學(xué)科中的重要性，為部分學(xué)生成為日后的交叉學(xué)科人才打下基礎(chǔ)．另外，全俄決賽試題存在著年級(jí)差異，所以在試題與數(shù)學(xué)文化的融合過程中需要結(jié)合該試題的年級(jí)特點(diǎn)以及學(xué)生的心智發(fā)展特點(diǎn)，低年級(jí)的競賽試題中可以融入更多的社會(huì)角色和審美娛樂的內(nèi)容，高年級(jí)的試題中可以適當(dāng)?shù)匾胫R(shí)源流的內(nèi)容．因此，要將有特色的數(shù)學(xué)文化滲透到有特點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)和特定年級(jí)中去，這樣數(shù)學(xué)資優(yōu)生就可以更好地體驗(yàn)到知識(shí)的學(xué)習(xí)和文化精神的熏陶，擺脫傳統(tǒng)枯燥單純的知識(shí)教育[29]．

4.3 展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在之美 培養(yǎng)資優(yōu)生臻美能力

數(shù)學(xué)除了具有普適意義的美學(xué)特點(diǎn)外，其內(nèi)在的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和方法本身就臻于大美．?dāng)?shù)學(xué)的審美價(jià)值不僅是用數(shù)學(xué)的眼光看世界，欣賞文學(xué)、美術(shù)、雕塑和音樂作品中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)原理之美，還應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)本身的美，一種純粹的數(shù)學(xué)之美．而競賽題，是傳遞這些數(shù)學(xué)之美的有效途徑，正如法國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家昂利·龐加勒在《科學(xué)的價(jià)值》一書中所提到的：“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正的數(shù)學(xué)家都知道的真實(shí)的審美感……正是這種特殊的審美感，起著我曾說過的微妙篩選作用，這充分地說明，缺乏這種審美感的人永遠(yuǎn)不會(huì)成為真正的創(chuàng)作者．”[30]一道好的數(shù)學(xué)競賽題可以給學(xué)生展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的優(yōu)雅和美麗，會(huì)讓他產(chǎn)生對(duì)真正數(shù)學(xué)的熱情[31]．在全俄決賽試題中，平面幾何中幾何圖形的對(duì)稱美、和諧美，代數(shù)不等式中的簡潔美、奇異美，這些數(shù)學(xué)美都被設(shè)計(jì)者精心地編排在題目里，讓學(xué)生在解題的過程中感受之美，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，而這些都是在培優(yōu)數(shù)學(xué)資優(yōu)生時(shí)值得借鑒的．

4.4 融合文化多元特性 提升資優(yōu)生國際視野

全俄決賽試題對(duì)多元文化涉及較少，27年、3個(gè)年級(jí)的試題中僅出現(xiàn)了2次多元文化，且都是同一類型，即古希臘的神話傳說．?dāng)?shù)學(xué)作為人類文明的重要組成部分，具有文化多樣性．世界上各個(gè)文明和不同的文化之間雖然有質(zhì)的不同，但卻是值得互相尊重、理解、學(xué)習(xí)和借鑒的[32]．?dāng)?shù)學(xué)文化同樣如此，不同國家、地區(qū)、民族的人在數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)應(yīng)用上都有著各自的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)文化也有著其鮮明的地域特色．在保留本民族數(shù)學(xué)的民族特色之外，還應(yīng)避免狹隘的“民族主義”，應(yīng)該讓學(xué)生了解本民族以外的、廣闊的數(shù)學(xué)天地和豐富多彩的數(shù)學(xué)文化．因此，在競賽試題的命制時(shí)，可以有意識(shí)地融合多元文化，避免文化相對(duì)主義、保守主義，展現(xiàn)文化多元性和文明多樣性．這樣培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)英才，其視野也更開闊，更能包容世間萬物的差異，更能在國際舞臺(tái)上走向卓越．

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Mathematical Culture in All-Russian Olympiad

LV Sun-zhong1, 2, LEI Pei-yao1, WU Yu-chi1, 2, XIONG Bin1, 2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

The experience of Russia in mathematics competition is worthy learning, and its competition tests also have humanistic characteristics. This research mainly studies the mathematics culture in All-Russian Olympiad, and the changes of characteristics of mathematical culture between different years, content distribution, knowledge field distribution and distribution by grades are also analyzed. The following results about how to pose mathematics competition questions and how to cultivate math talents are gained. Firstly, to take the history of mathematics as a bridge to link the elementary mathematics and advanced mathematics. Secondly, in consideration of the characteristics of the knowledge field distribution, the mathematical questions should be carefully arranged to show the charm of culture. Thirdly, to use the beauty of mathematics in questions to improve the aesthetic ability of the gifted students. Last but not the least, to integrate diverse cultures to enhance the international vision of gifted students.

Russia; math competition; mathematical culture

G40–055

A

1004–9894（2022）05–0097–06

呂孫忠，雷沛瑤，吳尉遲，等．俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題中的數(shù)學(xué)文化[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（5）：97-102．

2022–05–21

上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室課題——數(shù)學(xué)實(shí)踐（18dz02271000）

呂孫忠（1991—），男，浙江溫州人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)競賽與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]