美國學術類博士生教育規(guī)模的周期波動

董 淵 王任模 鐘曉征 韓芳明 劉麗霞

位于教育體系頂端的博士生教育，是高層次創(chuàng)新人才的主要培養(yǎng)途徑，越來越多地被當作一種國家戰(zhàn)略資源[1]。同時“一流博士生教育體現(xiàn)一流大學人才培養(yǎng)的高度”[2]，受到廣泛關注和高度重視。

一、美國博士生教育規(guī)模增長規(guī)律的前期研究

21世紀以來全球主要經(jīng)濟體博士生教育發(fā)展迅猛[3]，而相關的發(fā)展規(guī)律研究是受到長期關注的重要話題[4]。自1861年開始授予學位[5]，美國博士生教育160多年已經(jīng)發(fā)展為全球產(chǎn)出規(guī)模最大和競爭力最強的高層次人才培養(yǎng)體系，成為其國家創(chuàng)新能力的重要組成部分，因而也成為廣為關注的研究對象，特別是作為我國教育發(fā)展研究的比較對象[6-8]。針對美國博士生教育規(guī)模，有用于在學博士生規(guī)模預測、基于完成率與流失率的時間序列模型[9]，有美國國家教育統(tǒng)計中心（National Center for Education Statistics，NCES）用于學位授予規(guī)模預測、基于多元線性回歸的模型[10]。針對美國近百年來博士生教育規(guī)模發(fā)展規(guī)律，根據(jù)授予規(guī)模增長量變化幅度識別出1961—1973年、1988—1996年和2003—2009年等三個增長較快的時期，并發(fā)現(xiàn)每個較快增長期之后都有一段時間的振蕩調(diào)整[11]。根據(jù)授予規(guī)模增長率變化幅度識別出美國在20世紀20年代、50年代和90年代有三個增長較快的階段，且這種變化與其經(jīng)濟增長保持著同步共振[12]。博士生教育動力學模型揭示主要規(guī)模數(shù)據(jù)可以用鏈式反應類似的數(shù)學方程描述、符合指數(shù)變化規(guī)律，定性識別出近100年來美國學術類博士生教育發(fā)展包含5個“U”型“衰減—恢復”周期，并預測即將進入持續(xù)20—30年的新周期[13]。

美國學術類博士生教育規(guī)模發(fā)展是否存在一致的波動規(guī)律？如何定量描述？針對這些問題，本文深入研究美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)與其動力學模型指數(shù)規(guī)律測算數(shù)據(jù)之間偏離程度的變化規(guī)律，探索其波動特性，并探討基于指數(shù)規(guī)律和波動特性的定量預測方法。

二、博士生教育鏈式反應的偏離度分析

1.博士生教育規(guī)模的指數(shù)變化規(guī)律

某一國家或地區(qū)博士生在學規(guī)?？僧斪髂甓葹閱挝坏碾x散時間序列，可采用以時間為自變量的連續(xù)函數(shù)來近似描述?；诓┦可逃齽恿W模型的研究表明，在總體發(fā)展趨勢保持超過十年大致不變的情況下，該函數(shù)滿足鏈式反應類似的數(shù)學方程、符合指數(shù)變化規(guī)律[13]，可表示為：

其中：0E為初始在學規(guī)模，μ為博士生教育成長指數(shù)，表達式為：

其中年度招生比α、年度生師比ρ、年度退出率ε、年度學位獲得率β分別定義為：

S(t)為t年指導教師規(guī)模，A(t+1)、Q(t+1)、C(t+1)分別為t+1年招生、退出和學位授予規(guī)模。通過等式（1—6）可得指導教師、招生、退出和學位授予規(guī)模的表達式，由此可知這些博士生教育相關的主要規(guī)模數(shù)據(jù)均符合指數(shù)變化規(guī)律。其中學位授予規(guī)模為：

考慮到經(jīng)濟、科技和教育政策相對穩(wěn)定，參數(shù)μ具有較為明顯的階段性特征。為此可以采用分段滾動模型進行博士生教育相關規(guī)模數(shù)據(jù)的分析和測算，對于學位授予規(guī)模，假設分為n段，其中i= 0,1,… ,n-1，ti為各段的起始年份，則可以分段表示為：

為方便數(shù)據(jù)分析，可對相關等式兩邊取自然對數(shù)。分段表達式（8）兩邊取自然對數(shù)后為：

在以時間為橫軸、求取自然對數(shù)后的規(guī)模數(shù)據(jù)為縱軸的單自然對數(shù)坐標系中，其圖形近似為具有不同斜率的折線段組合，可以通過分段線性擬合進行參數(shù)估計[13]。

2.博士生教育規(guī)模數(shù)據(jù)的偏離度

定義博士生教育規(guī)模數(shù)據(jù)的成長偏離度（以下簡稱“偏離度”），為實際規(guī)模數(shù)據(jù)與相應指數(shù)規(guī)律基線數(shù)據(jù)（目標數(shù)據(jù)）之差所占基線數(shù)據(jù)的比重。學位授予數(shù)據(jù)的偏離度為：

其中()C t?為學位授予實際數(shù)據(jù)，()C t為學位授予基線數(shù)據(jù)，可由擬合所得分段指數(shù)函數(shù)計算。

對博士生教育實際規(guī)模數(shù)據(jù)取自然對數(shù)，基于等式（9）通過分段線性擬合進行參數(shù)估計。以分段指數(shù)函數(shù)作為基線函數(shù)，求取實際數(shù)據(jù)和基線數(shù)據(jù)之間的偏離度，進行偏離度分布分析，有助于進一步理解博士生教育的變化規(guī)律。這里以美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)為例進行討論。

NCES傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑①NCES 1960—2009年使用的統(tǒng)計口徑。其中，學術類博士含哲學博士（Ph.D.）、教育博士（Ed.D.）等，實踐類博士含臨床醫(yī)學博士（M.D.）、法律博士（J.D.）等第一職業(yè)學位（First-Professional Degrees，F(xiàn)PD）。美國學術類博士授予數(shù)據(jù)②數(shù)據(jù)來源：1861—1958年數(shù)據(jù)來自American Universities and Colleges (8th Ed.), 1960。1959年數(shù)據(jù)來自Academic Degrees: Earned and Honorary Degrees Conferred by Institutions of Higher Education in the United States, 1960。1960—2020年數(shù)據(jù)來自NCES Digest of Education Statistics，其中2010—2020年學術類博士數(shù)據(jù)參照文獻9方案由授予總數(shù)和傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑實踐類博士數(shù)據(jù)推算得到?？缒杲y(tǒng)計數(shù)據(jù)計入截止年份。分段指數(shù)擬合和單自然對數(shù)坐標下分段線性擬合結果如圖1?？煞譃樾纬呻A段、工業(yè)化時代和信息化時代三個發(fā)展階段，近100年來經(jīng)歷一戰(zhàn)、二戰(zhàn)、冷戰(zhàn)前期、冷戰(zhàn)后期和后冷戰(zhàn)期等5個“U”型“衰減—恢復”周期[13]。

（1）偏離度的“增長”和“衰減”。基于圖1數(shù)據(jù)，以分段指數(shù)函數(shù)計算結果作為基線數(shù)據(jù)，求得美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線如圖2上半部分虛線所示。

圖1 美國歷年學術類博士學位授予數(shù)據(jù)分段擬合

圖2 美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)偏離度的傅里葉級數(shù)擬合

偏離度描述實際規(guī)模數(shù)據(jù)相對分段指數(shù)函數(shù)的偏離程度。偏離度為正、為負表示當年實際規(guī)模數(shù)據(jù)高于或者低于相應的指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，而偏離度增長、衰減表示偏離度數(shù)值的增減，對應著某個年份偏離度曲線一階導數(shù)為正或為負的情況。

以美國學術類博士一戰(zhàn)結束到二戰(zhàn)結束1919—1946年間的波動為例來討論偏離度增長和衰減的情況。如圖1和圖2上半部分所示，1919—1932年間處于增長區(qū)間，波峰、波谷之外各點偏離度導數(shù)為正，表示該時段授予規(guī)模的增長速度“跑贏”相應指數(shù)函數(shù)。其中，1919—1924年間偏離度數(shù)值為負，表示這些年份的授予規(guī)模低于相應指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，1925—1932年偏離度數(shù)值為正，表示這些年份的授予規(guī)模高于相應指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值。1932—1946年間處于衰減區(qū)間，波峰、波谷之外各點偏離度導數(shù)為負，表示該時段授予規(guī)模的增長速度沒有“跑贏”相應指數(shù)函數(shù)。其中，1932—1942年間偏離度數(shù)值為正，表示這些年份的授予規(guī)模高于相應指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值，1943—1946年間偏離度數(shù)值為負，表示這些年份的授予規(guī)模低于相應指數(shù)函數(shù)在該年的數(shù)值。

（2）偏離度曲線的時頻特性。美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)的偏離度曲線具有明顯的波動特性，但各波動持續(xù)時間、振幅值以及波形各具特色，沒有兩個波動完全相同。對偏離度曲線進行離散傅里葉變換[14]，繪制振幅譜如圖2下半部分虛線，振幅譜在整個區(qū)間均有分布且具有多峰特性，屬于非周期信號的連續(xù)譜。其中第一個峰值位于f1≈ 0.025（1/年）、T1= 1/f1=40（年），對應基頻，而最高峰位于f2= 2f1≈ 0.05（1/年）、T2= T1/2 =20（年），對應二倍頻?？梢?，偏離度曲線不屬于嚴格意義的周期變化，但具有明顯的周期波動特性，可采用周期函數(shù)來近似描述。

（3）傅里葉級數(shù)近似。為進一步分析偏離度曲線的波動特性，參照事物從無到有、再從由弱到強、進而由盛轉衰的一般發(fā)展規(guī)律，同時考慮時域偏離度曲線波峰和波谷易于識別的實際情況，采用“增長—衰減”的倒“U”型周期波動模型，以周期函數(shù)?()t的余弦傅里葉級數(shù)[15]表達式來近似偏離度曲線，將“增長”起始點（谷底）對應年份作為各周期的起始年份，其表達式為：

其中a0與偏離度曲線均值有關，aj為第j階分量的振幅，t0為與相位偏移相關的年份。考慮傅里葉級數(shù)的收斂特性，可以采用具有足夠階數(shù)的級數(shù)表達式作為偏離度曲線的近似函數(shù)。

（4）相似性判別。實際使用的關鍵在于選取合適的階數(shù)，使得函數(shù)?(t)與偏離度曲線具有足夠的相似程度，并保持合理的計算規(guī)模。這里，將偏離度曲線DevC(t)和函數(shù)?(t)的離散序列看作兩個獨立向量，采用余弦相似度，即兩向量間夾角的余弦值，來度量二者的相似性[16]，表達為：

其中分子為兩個向量的點積，分母為兩個向量模的乘積。δ數(shù)值越接近1，則兩個向量的相似性越強。

（5）擬合階數(shù)。采用最小二乘法對美國學術類博士學位授予規(guī)模偏離度曲線以式（11）分別進行1—6階余弦傅里葉級數(shù)擬合，以等式（12）計算擬合結果和偏離度曲線之間的余弦相似度，結果如表1所示。

表1 美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的傅里葉級數(shù)擬合情況

擬合結果中，一階、二階、三階級數(shù)分量對應a1、a2、a3的絕對值較大。從余弦相似度數(shù)值來看，三階擬合的相似度為0.52，此時擬合結果和實際數(shù)據(jù)具有中等程度的相似性。而更高階擬合結果顯示，隨著擬合階數(shù)的提高，相似度的改善不明顯。從頻譜分布情況看，在基頻f1、二倍頻f2和三倍頻f3位置存在著明顯峰值，表明這三個頻率對應的分量為該波動的主要分量。

綜合考慮，選取基頻為f1的三階傅里葉級數(shù)作為160多年來美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的近似表達，以開展后續(xù)分析。相應的時域和頻域曲線在圖2中采用實線繪制。

3.美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)的周期波動規(guī)律

根據(jù)學位授予數(shù)據(jù)分段表達式（8）、偏離度近似函數(shù)?()t的余弦傅里葉級數(shù)表達（11）和偏離度定義（10），可知博士學位授予數(shù)據(jù)可近似為分段指數(shù)函數(shù)與余弦傅里葉級數(shù)的組合，表明美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律變化，可表示為：

其三階近似表達式的主體為分段指數(shù)函數(shù)，同時疊加周期約40年、20年和13年的三階余弦函數(shù)分量，其中二倍頻f2對應幅值a2的絕對值最大，因此約20年周期波動的特征更為明顯，160多年來經(jīng)歷了8個約20年周期的倒“U”型“增長—衰減”波動。

表2給出各波動的周期T2、增長和衰減的區(qū)間、偏離度波峰（極大值，Max）和波谷（極小值，Min）等初步數(shù)據(jù)，并參照參考文獻第13條中的命名策略，標出各周期衰減區(qū)間最具有影響力的重大事件。參考文獻第11條中給出1961—1973年、1988—1996年和2003—2009年等三個增長較快的時期，以及各增長期之后的振蕩調(diào)整，大致分別對應于本文的第6、7、8周期。參考文獻第12條識別出美國在20世紀20年代、50年代和90年代有三個增長較快的階段，則大致分別對應于本文的第4、5、7周期的增長區(qū)間。

（1）倒“U”型波動。本文采用倒“U”型波動模型，各周期以兩側波谷作為起止點、包含“增長”和“衰減”兩部分。該模型可以更好地刻畫美國學術類博士160年的發(fā)展歷史，第一個周期的起始點位于美國學術類博士生教育的起點附近，而根據(jù)分段線性擬合結果將160年歷史劃分為三個成長指數(shù)逐步降低的階段，不同階段的邊界和周期的邊界相近，其中“形成階段”含2個周期、“工業(yè)化時代”階段含3個周期，當前正處于“信息化時代”階段第3個周期中部。而參考文獻第13條中采用的“U”型波動模型，各周期以兩側波峰作為起止點、含“衰減”和“恢復”兩部分，與本文模型間有約10年的相位差，該文識別出近百年來的5個周期可對應于本文第3周期峰值到第8周期峰值之間的各波動。

（2）世界大戰(zhàn)導致的異常數(shù)據(jù)。圖2中除1880年之前授予規(guī)模較小時期出現(xiàn)偏離度較大的數(shù)據(jù)外，在一戰(zhàn)、二戰(zhàn)期間，相應有兩組偏離度較大的數(shù)據(jù)。美國1917年4月到1918年11月參加一戰(zhàn)，1941年12月到1945年8月參加二戰(zhàn)[17]。與此對應，如圖2和表2顯示，1918年、1919年兩年形成極小值超過50%的深谷，1943—1946年間形成另一個極小值超過55%的深谷。

表2 美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)周期波動情況

為進一步分析世界大戰(zhàn)類似的重大事件對美國學術類博士學位授予規(guī)模變化的影響，將1918年、1919年，1943—1946年等6年的數(shù)據(jù)作為異常數(shù)據(jù)剔除，重新計算偏離度并以等式（11）進行級數(shù)擬合。發(fā)現(xiàn)剔除異常數(shù)據(jù)后美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)的偏離度曲線，仍可由基頻為f1（對應周期T1=40年）的余弦傅里葉級數(shù)來近似刻畫。與剔除異常數(shù)據(jù)之前的擬合結果相比，各階分量的振幅有所不同，特別地，周期約為20年的二倍頻對應的幅值大幅下降。

由此可知，兩次世界大戰(zhàn)造成戰(zhàn)爭期間的美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)急劇減少，使得相關年份的授予數(shù)據(jù)大幅下降，但偏離度的周期波動規(guī)律依然保持。

三、基于具有周期波動特性指數(shù)規(guī)律的規(guī)模預測

動力學模型給出博士生教育規(guī)模遵循指數(shù)發(fā)展規(guī)律，學位授予數(shù)據(jù)偏離度分析揭示美國學術類博士生教育規(guī)模的周期波動特性，規(guī)?？梢越票磉_

為分段指數(shù)函數(shù)與傅里葉級數(shù)的組合。綜合上述結果，考慮博士生教育發(fā)展具有階段性特征的實際情況，在相關參數(shù)保持不變的某個階段內(nèi)，可根據(jù)等式（13）的近似表達式外推延拓進行授予數(shù)據(jù)定量預測。以NCES發(fā)布的美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)為例進行預測實驗，并與相應的實際數(shù)據(jù)、預測數(shù)據(jù)進行對比，以檢驗方法的預測能力。

1.基本步驟

（1）模型基本參數(shù)識別。首先對作為輸入的歷年實際授予數(shù)據(jù)求取自然對數(shù)，接著在單自然對數(shù)坐標下采用最小二乘法進行分段線性擬合，獲取各階段博士生教育成長指數(shù)。之后計算博士學位授予數(shù)據(jù)的偏離度，并采用最小二乘法對偏離度曲線進行傅里葉級數(shù)擬合，獲取相應的周期參數(shù)。

（2）近似表達式擬合。將分段指數(shù)擬合得到的成長指數(shù)、偏離度擬合得到的周期參數(shù)作為初值，采用最小二乘法，對授予數(shù)據(jù)以近似表達式（13）進行函數(shù)擬合，確定該近似表達式的相關參數(shù)。

（3）延拓預測。以上述擬合所得博士生教育成長指數(shù)數(shù)值作為近似表達式中指數(shù)函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)學位授予數(shù)據(jù)偏離度曲線的傅里葉擬合結果，結合當時形勢發(fā)展，對一段時間可能的“增長”和“衰減”程度以及周期時長、振幅范圍進行判定，使用近似表達式對待預測時段進行延拓計算即可得到預測值。

2.2010—2020年美國學術類博士學位授予規(guī)模預測實驗

采用上述方法以1861—2009年美國學術類博士學位實際授予數(shù)據(jù)作為輸入，預測2010—2020年授予數(shù)據(jù)，并與NCES發(fā)布的實際授予數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)進行比較。其中實際授予數(shù)據(jù)與前文使用數(shù)據(jù)相同，用于對比的預測數(shù)據(jù)為NCES于2010年發(fā)布的多元線性回歸模型測算結果[18]。

根據(jù)上述基本步驟，對歷年授予數(shù)據(jù)求取自然對數(shù)后分段線性擬合獲取各階段博士生教育成長指數(shù)，以相應的分段指數(shù)函數(shù)計算結果作為基線數(shù)據(jù)計算授予數(shù)據(jù)的偏離度，采用最小二乘法擬合得到周期函數(shù)的相關參數(shù)。將擬合得到的指數(shù)函數(shù)參數(shù)和周期參數(shù)作為初值，對授予數(shù)據(jù)以近似表達式（13）進行函數(shù)擬合，確定該近似表達式的相關參數(shù)。以相應的周期和振幅作為近似表達式中周期函數(shù)的參數(shù)，使用近似表達式對待預測時段進行延拓計算，取整到千位的預測結果及相關數(shù)據(jù)如表3。

表3 2010—2020年美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)預測

（1）方法可行且可信。與實際授予數(shù)據(jù)相比，本文和NCES方法預測結果的最大誤差分別為-6.55%和7.49%，均方根誤差分別為2.51%和4.53%。二者與實際授予數(shù)據(jù)的余弦相似度均超過0.99。本文預測結果的最大誤差和均方根誤差均優(yōu)于NCES預測方法，表明本文方法具有良好的預測能力。

（2）成長指數(shù)估計優(yōu)先。預測中，首先需要比較準確地判斷近期發(fā)展趨勢，包括發(fā)展階段的劃分和周期劃分，并以此確定成長指數(shù)初值。實際使用中，成長指數(shù)對于數(shù)據(jù)預測結果具有決定性的影響，需要根據(jù)待預測時段在當前周期中所處的位置以及實際發(fā)展形勢，綜合本階段和當前周期慎重估計。

（3）周期和振幅判定?？紤]博士生教育發(fā)展具有明顯的階段性特征，即在一段時間內(nèi)相關參數(shù)基本保持不變，因此當前波動的周期、振幅數(shù)值，對于預測結果數(shù)值具有直接影響，如何判定也具有很大的挑戰(zhàn)性。一般情況下，可以簡單采用擬合所得周期參數(shù)進行外推延拓，以作為參考結果。更進一步地，則需要在深入研判未來發(fā)展趨勢的基礎上，對衰減或者增長的時長進行預測，由此判定具體的周期數(shù)值。特別地，還需要考慮可能的影響因素，根據(jù)當前所在周期的振幅，明確待預測時段的波動幅度，并根據(jù)相關數(shù)據(jù)進行針對性的參數(shù)調(diào)整，以得到更為合理的預測數(shù)據(jù)。

3.2021—2030年美國學術類博士學位授予規(guī)模預測

應用同樣的方法，以已公開的1861—2020年美國學術類博士學位實際授予數(shù)據(jù)作為輸入，預測2021—2030年授予數(shù)據(jù)?！靶畔⒒瘯r代”階段實際授予數(shù)據(jù)和相關預測數(shù)據(jù)如圖3。

圖3 美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)預測比較

圖中菱形線為歷年實際授予數(shù)據(jù)，點線為NCES于2010年發(fā)布的預測結果，實線為指數(shù)擬合線，虛線為本文級數(shù)預測結果。對比歷年實際授予數(shù)據(jù)與本文測算數(shù)據(jù)，二者的余弦相似度超過0.99、均方根誤差為5.51%，其中2010—2020年間二者的余弦相似度超過0.99、均方根誤差為2.74%。取整到千位2021—2030年授予數(shù)據(jù)預測結果如表4，同時給出取整到百位的±5%預測范圍。

表4 2021—2030年美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)預測

（1）正在步入衰減區(qū)間。預測數(shù)據(jù)顯示，在保持指數(shù)增長總體趨勢的情況下，美國學術類博士學位授予規(guī)模的偏離度曲線正在進入下行通道，步入衰減區(qū)間，一段時間內(nèi)授予數(shù)據(jù)增長乏力，可能無法“跑贏”相應指數(shù)函數(shù)，甚至可能出現(xiàn)授予規(guī)模下降的情況。

如果只關注21世紀以來美國學術類博士生教育發(fā)展，可以看到授予規(guī)?！耙恢痹谠鲩L，只是增幅有大有小”的現(xiàn)象。2002—2020年間，除2010年授予數(shù)據(jù)略有下降之外，是美國歷史上NCES傳統(tǒng)統(tǒng)計口徑下學術類博士生授予規(guī)模連續(xù)增長最長的時段，其偏離度曲線基本保持連續(xù)增長趨勢。

但是放到歷史大格局中審視其長期發(fā)展趨勢，可以看到“波動一直存在”。正如觀察授予規(guī)模增幅變化看到的那樣，在一段時間的連續(xù)增長之后往往會有很長一段時間的衰減調(diào)整[11]。偏離度分析揭示的周期波動特征表明，長期增長之后緊接著是長期的衰減，比如1932—1946年間的二戰(zhàn)周期和1973—1987年間的冷戰(zhàn)后期周期都曾經(jīng)出現(xiàn)連續(xù)14年的長期衰減，其中也包含著連續(xù)數(shù)年的規(guī)模下降。

從近期公布的美國博士學位授予數(shù)據(jù)來看，長期增長勢頭可能即將逆轉的跡象已經(jīng)出現(xiàn)。NSF SED報告顯示，該口徑下2020年博士授予數(shù)據(jù)為55283，較上一年的55614減少0.6%，是2017年以來規(guī)模首次出現(xiàn)下降，2021年的調(diào)查將考慮新冠疫情的影響[19]。NCES 2020年新統(tǒng)計口徑下研究類（research/scholarship）博士學位授予數(shù)較上一年略有減少[20]，已經(jīng)出現(xiàn)規(guī)模下降情況。

綜合本文預測和上述事實，初步判斷當前處于美國學術類博士生教育史上的第8個“增長—衰減”周期、“信息化時代”階段的第3個周期的峰值點附近，該周期始于21世紀初，經(jīng)歷了二十余年的增長，可能正在步入下行通道，未來一段時間將到達谷底，之后將開啟新的、美國學術類博士生教育歷史上的第9個“增長—衰減”周期，預計2030年授予數(shù)接近10萬。上述分析表明，未來美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)將經(jīng)歷先衰減、再增長的歷程，與參考文獻第13條中定性預測趨勢基本一致。

本文預測方法，對于1861—2010年、1861—2020年美國學術類博士實際授予數(shù)據(jù)兩組輸入，給出基本一致的發(fā)展趨勢預測，表明方法具有一定的穩(wěn)定性。在長期增長的鼎盛期，能夠根據(jù)歷史發(fā)展規(guī)律預測到即將來臨的衰減，也表明方法具有一定的前瞻性，有助于更早預判趨勢、更好做出應對。

（2）新冠疫情影響有多大？上述預測數(shù)據(jù)基于1970—2030年間美國學術類博士生教育總體發(fā)展趨勢保持大致不變（成長指數(shù)不變）且大致符合當前周期波動特征的情況下外推而得。2020年至今，新冠疫情是極為關鍵的全球性重大事件，是否可能造成類似一戰(zhàn)、二戰(zhàn)那樣的異常數(shù)據(jù)呢？考慮接受博士生教育的群體主要是年輕人，世界大戰(zhàn)直接影響參戰(zhàn)的年輕男性，而新冠疫情對高齡和患有基礎疾病群體影響更大[21]。由此推斷，如果沒有其他重大變化的情況下，新冠疫情可能會使得疫情嚴重年份的授予規(guī)模顯著低于目前預測值，但應該不會像一戰(zhàn)、二戰(zhàn)那樣造成超過50%偏離度的異常數(shù)據(jù)。

四、結論與展望

研究美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)與其指數(shù)模型基線數(shù)據(jù)之間的偏離程度，識別出余弦傅里葉級數(shù)形式的近似周期函數(shù)，揭示授予數(shù)據(jù)遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律發(fā)展，并給出近似表達式，進一步推動了基于數(shù)理分析方法的博士生教育定量研究。該表達式給出美國博士生教育發(fā)展的長期發(fā)展規(guī)律，具有跨越160年歷史的一致描述能力。

提出基于具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律、用于美國學術類博士學位授予規(guī)模的定量預測方法。數(shù)據(jù)表明，其預測略優(yōu)于美國NCES基于多元線性回歸模型的結果。研究認為，研究生教育規(guī)模預測誤差主要源自主觀因素、方法局限和政策影響[22]。本文方法基于美國學術類博士學位授予規(guī)模遵循具有周期波動特性的指數(shù)規(guī)律，適用于博士生教育主要參數(shù)保持不變的階段，同時預測結果依賴于對未來發(fā)展形勢的判斷。因此，相關假設條件和發(fā)展形勢的變化，國內(nèi)、國際重大事件的出現(xiàn)，以及重要政策的調(diào)整，都可能造成預測出現(xiàn)偏差，應根據(jù)情況加強動態(tài)監(jiān)測。

哪些因素造成美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)的周期波動？是經(jīng)濟發(fā)展周期、人口結構、產(chǎn)業(yè)結構變化，還是教育政策調(diào)整？相關的問題有待更為深入的探討。周期波動特性是美國學術類博士學位授予數(shù)據(jù)的獨有特性，還是各國、各學科類別博士生教育發(fā)展的普遍規(guī)律？這些都是未來可以進一步拓展的研究內(nèi)容。而如何應用此類波動規(guī)律進行有針對性的規(guī)模調(diào)控，則是更有價值的話題。

更進一步地，中美全球兩大主要經(jīng)濟體聯(lián)系依然緊密的情況下，美國的博士生教育發(fā)展對于我國的博士生教育具有重要影響和參考價值。在此基礎上，開展我國研究生規(guī)模演化規(guī)律探索，“發(fā)展定量與定性相結合的研究生教育學理論對于推動我國研究生教育的科學決策具有重要的現(xiàn)實意義”[23]，是值得長期關注的重要話題。而針對“必須增強憂患意識，更加重視人才自主培養(yǎng)，加快建立人才資源競爭優(yōu)勢”的要求[24]，進一步基于數(shù)理分析方法深入開展研究生教育研究，為推動我國博士生教育發(fā)展提出合理建議，依然是極為重要的方向。

致謝：中國學位與研究生教育學會前會長趙沁平院士關于進一步分析指數(shù)模型預測誤差的指導，清華大學李京京老師關于關注全局周期特性和匿名評審專家關于定量給出各周期基本參數(shù)的建議，清華大學王傳毅老師關于離散時間序列模型的指點，邵正隆老師對2020年美國學位授予數(shù)據(jù)進行的處理，都對本文工作具有重要幫助。美國博士學位授予數(shù)據(jù)收集工作得到北京航空航天大學趙世奎、美國馬里蘭大學李騰兩位教授的幫助。在此一并感謝。