預(yù)測(cè)水泥砒砂巖強(qiáng)度的Markov灰色殘差模型

劉鑫，申向東, 景宇,任杰，呂昕，耿凱強(qiáng)，董國際，郝政凱

（1. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木建筑工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2. 鄂爾多斯應(yīng)用技術(shù)學(xué)院土木工程系，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010；3. 鄂爾多斯市住房和城鄉(xiāng)建設(shè)局建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督站，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010）

砒砂巖是由侏羅紀(jì)和白堊紀(jì)的泥質(zhì)砂巖組成的砂巖交互層，砂巖顆粒間的膠結(jié)程度弱、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度低、成巖度差[1].砒砂巖主要分布在晉陜蒙接壤地區(qū)的鄂爾多斯高原，面積約為1.67萬km2，侵蝕模數(shù)高達(dá)2～4萬t/（km2·a），水土流失非常嚴(yán)重，給當(dāng)?shù)氐纳鷳B(tài)環(huán)境造成了極其惡劣的影響[2].

目前主要是通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試砒砂巖或改性砒砂巖的抗壓強(qiáng)度[3-4]，如果想要獲得長(zhǎng)齡期、多種工況的抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)，勢(shì)必會(huì)費(fèi)時(shí)且費(fèi)力.為此，有必要借助數(shù)學(xué)模型依據(jù)有限的樣本來探究一種可靠的強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法.灰色系統(tǒng)理論在數(shù)據(jù)處理方面，與基于回歸分析的傳統(tǒng)方法相比有明顯的優(yōu)勢(shì)[5-6]，甚至比需要大量訓(xùn)練樣本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及具有平移不變性和池化層的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更方便[7-10].

灰色系統(tǒng)理論中的GM（1，1）模型具有計(jì)算簡(jiǎn)便、易于檢驗(yàn)和對(duì)歷史數(shù)據(jù)要求少等優(yōu)點(diǎn)，可以用來預(yù)測(cè)事物的發(fā)展規(guī)律[11].盡管灰色GM（1，1）模型有諸多優(yōu)點(diǎn)，但是如果數(shù)據(jù)的離散性比較大，則該模型的預(yù)測(cè)精度比較低，殘差比較大.為此，提出灰色殘差GM（1，1）模型[12]，但該模型的適用范疇也有局限，如果殘差序列有正、有負(fù)的情況下，將無法判定殘差預(yù)測(cè)值的正、負(fù)號(hào).針對(duì)該問題，嘗試把馬爾克夫過程引入灰色殘差GM（1，1）模型中，建立樣本需求少、預(yù)測(cè)精度高的馬爾克夫過程灰色殘差GM（1，1）預(yù)測(cè)模型（以下簡(jiǎn)稱：Markov-灰色殘差GM（1，1）模型），并預(yù)測(cè)水泥砒砂巖的抗壓強(qiáng)度，從而檢驗(yàn)該模型在水泥固化砒砂巖以及其他樣本少而離散的水泥基工程材料領(lǐng)域中的適用性.

1 灰色模型

1.1 灰色GM（1，1）模型

根據(jù)上述定義建立的灰色GM（1，1）模型為

x（0）（k）+az（1）（k）=b，k=1,2,...,n,

（1）

式中：a為發(fā)展系數(shù);b為灰色作用量;變量a，b的具體求解見文獻(xiàn)[12].

構(gòu)建灰色微分方程：

（2）

（3）

（4）

1.2 灰色殘差GM（1，1）模型

k=2,3，...,n,

（5）

（6）

1.3 灰色模型精度檢驗(yàn)

灰色模型的建模精度需檢驗(yàn)合格后方可用于預(yù)測(cè)第（k+1）個(gè)的值.灰色模型精度檢驗(yàn)一般有3種方式：后驗(yàn)差檢驗(yàn)、小誤差概率檢驗(yàn)以及關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，具體計(jì)算公式詳見文獻(xiàn)[13].常用的精度檢驗(yàn)等級(jí)如表1所示[14],表中C為后驗(yàn)差比值，P為小誤差概率，γ為關(guān)聯(lián)度.

表1 精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表

1.4 馬爾克夫過程

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 材料與方法

砒砂巖選自內(nèi)蒙古鄂爾多斯市康巴什北區(qū)，將所取的重塑砒砂巖樣自然風(fēng)干、碾壓并過2.36 mm的方孔篩，砒砂巖的物理指標(biāo)：天然含水率4.83%～6.92%;天然密度為1.63～1.69 g/cm3;風(fēng)干含水率為1.9%～2.1%;最優(yōu)含水率為14.5%;最大干密度為1.77 g/cm3;液限為27.6%；塑限為18.3%；塑性指標(biāo)為9.3.砒砂巖的級(jí)配曲線見圖1，圖中α1為累積分布，D1為密度分布,D為粒徑.XRD物相分析見圖2.由圖1可知，該土樣的黏粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)（顆粒直徑<5 μm）為0，粉粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)（顆粒直徑5～75 μm）為9.39%，砂粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)（顆粒直徑>75 μm）為90.61%，說明該土樣為砂土且為細(xì)砂土.由圖2發(fā)現(xiàn)，砒砂巖的主要礦物成分為石英、蒙脫石、云母、斜長(zhǎng)石、方解石、微斜長(zhǎng)石和高嶺石.水泥為蒙西P·O42.5普通硅酸鹽水泥，水為普通自來水.

參照《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50123—2019）和《公路工程無機(jī)結(jié)合料穩(wěn)定材料試驗(yàn)規(guī)程》（JTG E51—2009）的相關(guān)規(guī)定.采用靜力壓實(shí)的方法將最優(yōu)含水率下的水泥砒砂巖混合物（水泥摻量分別為4%,7%和10%）裝入直徑為50 mm，高為130 mm的鋼試模中，壓成直徑為50 mm，高為50 mm的圓柱體（每組3個(gè)平行試樣）.試樣脫模后放入標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)箱養(yǎng)護(hù)至規(guī)定齡期，利用WDW-50 型萬能試驗(yàn)機(jī)以1 mm/min的加載速率，分別對(duì)養(yǎng)護(hù)至7,14,21,28,60和90 d齡期的試樣進(jìn)行無側(cè)限抗壓強(qiáng)度試驗(yàn).

2.2 結(jié)果與分析

不同齡期下水泥砒砂巖的無側(cè)限抗壓強(qiáng)度如表2所示，表中σ為抗壓強(qiáng)度.以7,14,21,28和60 d齡期的抗壓強(qiáng)度為建模數(shù)據(jù)建立灰色GM（1，1）模型和灰色殘差GM（1，1）模型并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪M精度，在此基礎(chǔ)上以60 d齡期的抗壓強(qiáng)度為原始數(shù)據(jù)構(gòu)建Markov-灰色殘差GM（1，1）模型.根據(jù)模型預(yù)測(cè)養(yǎng)護(hù)齡期90 d的抗壓強(qiáng)度，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，從而研究Markov-灰色殘差GM（1，1）模型在水泥固化砒砂巖中的適用性.

表2 不同養(yǎng)護(hù)齡期的水泥固化砒砂巖抗壓強(qiáng)度

設(shè)x（0）為水泥固化砒砂巖的抗壓強(qiáng)度，依據(jù)式（1）建立的灰色GM（1，1）模型為

x（0）（k）+az（1）（k）=b，k=1,2,...,5.

（7）

該模型是以7,14,21,28和60 d齡期的抗壓強(qiáng)度經(jīng)過1次累加生成的序列為建模集，將水泥摻量4%，7%和 10%的建模數(shù)據(jù)分別代入式（1）—（4）中得到對(duì)應(yīng)水泥摻量的灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型，如式（8）—（10）所示；同理把水泥摻量4%,7%和 10%的建模數(shù)據(jù)代入式（5）—（6）中得到灰色殘差GM（1，1）模型.如式（11）—（13）所示.

灰色GM（1，1）模型：

（8）

（9）

（10）

灰色殘差GM（1，1）模型：

（11）

（12）

（13）

以水泥摻量4%為例來驗(yàn)證所建模型的模擬精度，2種灰色模型的模擬值和試驗(yàn)值的對(duì)比如圖3所示，圖中T養(yǎng)護(hù)齡期.

由圖3a可知，2種模型的模擬值與試驗(yàn)值都比較接近，但是灰色殘差GM（1，1）模型的擬合效果（R2=0.977）明顯優(yōu)于灰色GM（1，1）模型（R2=0.806），并且對(duì)于估算值與試驗(yàn)值之間的偏差，灰色殘差GM（1，1）模型（RMSE=0.01）同樣小于灰色GM（1，1）模型（RMSE=0.06）；從圖3b發(fā)現(xiàn)，灰色GM（1，1）模型的相對(duì)誤差ε為2.91%～4.40%，平均值為3.46%，灰色殘差GM（1，1）模型的相對(duì)誤差為0.28%～0.84%，平均值僅為0.58%.由此可見，灰色殘差GM（1，1）模型的模擬精準(zhǔn)度遠(yuǎn)高于灰色GM（1，1）模型.

為了全面比較灰色GM（1，1）模型和灰色殘差GM（1，1）模型的精度，選取后驗(yàn)差比值C，關(guān)聯(lián)度γ以及小誤差概率P對(duì)建模精度進(jìn)行檢驗(yàn)，3種試樣（C4，C7和 C10）的檢驗(yàn)值比較如表3所示，由表可知，灰色GM（1，1）模型模擬結(jié)果的后驗(yàn)差比值為0.322～0.398，其平均值為0.362；關(guān)聯(lián)度為0.606～0.647，其平均值為0.627.根據(jù)表1可知，后驗(yàn)差比值精度為2級(jí)，關(guān)聯(lián)度精度為4級(jí).灰色殘差GM（1，1）模型模擬結(jié)果的后驗(yàn)差比值為0.069～0.192，其平均值為0.143；關(guān)聯(lián)度為0.818～0.928，其平均值為0.862，小誤差概率為1.00；根據(jù)表1可知，后驗(yàn)差比值精度為1級(jí)，關(guān)聯(lián)度精度介于1—2級(jí)，小誤差精度為1級(jí).由此可以發(fā)現(xiàn)，灰色殘差GM（1，1）模型的檢驗(yàn)精度等級(jí)明顯得到了提升，且各項(xiàng)檢驗(yàn)指標(biāo)基本上都達(dá)到了1級(jí).

表3 檢驗(yàn)值比較

經(jīng)計(jì)算，試樣C4，C7和C10的殘差修正的正負(fù)號(hào)分別為正、負(fù)和正.灰色GM（1，1）模型和Markov-灰色殘差GM（1，1）模型對(duì)90 d齡期3種水泥固化砒砂巖抗壓強(qiáng)度的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示.

由圖4a可知，Markov-灰色殘差GM（1，1）模型的擬合度R2和擬合偏差RMSE指標(biāo)同樣優(yōu)于灰色GM（1，1）模型；由圖4b可知，Markov-灰色殘差GM（1，1）模型預(yù)測(cè)抗壓強(qiáng)度的最大相對(duì)誤差為2.36%，平均相對(duì)誤差僅為1.25%，預(yù)測(cè)精度明顯高于灰色GM（1，1）模型（最大相對(duì)誤差為4.01%，平均相對(duì)誤差為2.63%），Markov-灰色殘差GM（1，1）模型相比傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型平均相對(duì)誤差降低52.50%.由此可見，灰色GM（1，1）模型經(jīng)殘差修正后，在利用馬爾克夫過程判定殘差修正值正負(fù)號(hào)的基礎(chǔ)上得到的預(yù)測(cè)結(jié)果更逼近于真實(shí)值.綜上可知，Markov-灰色殘差GM（1，1）模型能有效判定殘差修正值符號(hào)，并且有很高的精準(zhǔn)度來預(yù)測(cè)水泥砒砂巖的抗壓強(qiáng)度，該模型可以為水泥基材料抗壓強(qiáng)度的預(yù)測(cè)提供技術(shù)支撐和理論借鑒.

3 結(jié) 論

1） 灰色GM（1，1）模型模擬結(jié)果的后驗(yàn)差比值精度為2級(jí)，關(guān)聯(lián)度精度為4級(jí)；灰色殘差GM（1，1）模型模擬結(jié)果的后驗(yàn)差比值精度為1級(jí)，關(guān)聯(lián)度精度介于1—2級(jí)，小誤差概率精度為1級(jí)，各項(xiàng)檢驗(yàn)指標(biāo)基本上都達(dá)到了1級(jí).

2） 在借助馬爾克夫過程確定預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)殘差修正值所處的正、負(fù)符號(hào)的基礎(chǔ)上，以殘差修正值對(duì)灰色GM（1，1）模型進(jìn)行了修正，構(gòu)建了Markov-灰色殘差GM（1，1）模型.該模型對(duì)養(yǎng)護(hù)齡期90 d的水泥固化砒砂巖（水泥摻量為4%，7%和 10%）的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，相對(duì)誤差由原來的1.77%～4.01%降低至0.60%～2.36%，平均相對(duì)誤差由2.63%減小至1.25%，降低了52.50%，提高了預(yù)測(cè)精度.

3） Markov-灰色殘差GM（1，1）模型在保留了傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型試驗(yàn)樣本少、計(jì)算方便和容易檢驗(yàn)等優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在一定程度上拓寬了灰色理論的應(yīng)用范疇，為水泥基材料抗壓強(qiáng)度的預(yù)測(cè)提供了一種簡(jiǎn)單而可靠的新方法.