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    電子自旋假設(shè)提出的歷史發(fā)展脈絡(luò)及其啟示

    2022-10-17 04:46:30張加興
    物理通報(bào) 2022年10期
    關(guān)鍵詞:磁場(chǎng)理論實(shí)驗(yàn)

    張加興

    (廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué) 福建 廈門 361100)

    電子自旋假設(shè)是獨(dú)特的微觀世界電子運(yùn)動(dòng)圖景,它完全不同于經(jīng)典物理學(xué)中地球自轉(zhuǎn)模型.物理理論來源于實(shí)踐,在實(shí)踐的過程中,物理理論又是對(duì)以往理論的揚(yáng)棄與革新,呈現(xiàn)一定的螺旋上升的過程.電子自旋假設(shè)提出是一段凝聚眾多物理學(xué)家心血的科學(xué)探索旅程,也是近代物理學(xué)發(fā)展過程中激動(dòng)人心的篇章.本文從物理學(xué)史的角度,闡釋電子自旋假設(shè)發(fā)展過程中對(duì)我們的啟示.

    1 電子自旋假設(shè)提出的歷史背景

    1.1 原子光譜實(shí)驗(yàn)的反?,F(xiàn)象與麥克斯韋電磁統(tǒng)一理論

    (1)

    w0為未加磁場(chǎng)時(shí)的電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的固有輻射頻率.可得式(1)的通解為

    r(t)=a(ex-iey)e-iw+t+
    b(ex+iey)e-iw-t+ceze-iw0t

    (2)

    從式(2),可以看出在磁場(chǎng)中一條譜線除本身外多了兩條譜線,可以判斷沿各個(gè)方向觀察每個(gè)分裂譜線的偏振情況,也可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出電子的荷質(zhì)比.這個(gè)值正好與湯姆森在幾個(gè)月后從陰極射線得到的“載荷子”的荷質(zhì)比數(shù)值相差很少[1].塞曼只解釋了光譜三分裂的現(xiàn)象,對(duì)于不同原子在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度作用下的譜線分裂規(guī)律呈現(xiàn)出各種復(fù)雜的分裂現(xiàn)象是行不通的.1897年,普林斯頓用一個(gè)強(qiáng)大的電磁體觀察鎘原子譜線分裂的實(shí)驗(yàn)時(shí)就看到其中一條譜線劈裂成4條[2].在電子自旋假設(shè)提出之前,它是個(gè)令所有嘗試解釋這種物理現(xiàn)象的物理學(xué)家感到頭疼的難題.

    1.2 施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)與舊量子論

    1920年由施特恩-蓋拉赫兩個(gè)人在容器中加熱到1 000 ℃(約為103K數(shù)量級(jí))使銀原子變成蒸汽發(fā)射出來,通過狹縫S1,S2形成細(xì)束,經(jīng)過一個(gè)抽成真空的不均勻的磁場(chǎng)區(qū)域(磁場(chǎng)垂直于射束方向),最后到達(dá)照相底片上,顯像后的底片上出現(xiàn)了兩條黑斑.處在熱平衡狀態(tài)有[3]

    (3)

    由式(3)可知,在T=103K溫度下,原子平均動(dòng)能才達(dá)到0.13 eV,值低于銀原子從基態(tài)躍遷到最近的激發(fā)態(tài)的能量(約為1~10 eV數(shù)量級(jí)),根據(jù)溫度T熱平衡下的原子按能級(jí)的玻爾茲曼分布[4]

    (4)

    在基態(tài)的銀原子的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于第一激發(fā)態(tài)的數(shù)目.在處于熱平衡的容器上開一個(gè)小孔,在用兩個(gè)0.03 mm寬的準(zhǔn)直狹縫導(dǎo)入長為3.5 cm的偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng),磁場(chǎng)大小為0.1 T,梯度為10 T/cm[5],在通過準(zhǔn)直狹縫后變成原子束,原子束中的銀原子速率的分布[7]

    (5)

    根據(jù)式(5)可求出原子束的平均速率[3]

    (6)

    射出后的銀原子通過在極小尺度內(nèi)的非均勻磁場(chǎng),由原子物理學(xué)可知,一個(gè)磁矩在不均勻磁場(chǎng)中感受到一個(gè)力,其公式如下[4]

    (7)

    原子在穿過長l的不均勻磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離為[4]

    (8)

    在式(8)中除μz外,其他都是常數(shù),這就說明銀原子有兩個(gè)μz值,也就是說有兩個(gè)β值,說明銀原子在磁場(chǎng)中只有兩個(gè)取向.

    隨著波爾提出的舊量子論以及愛因斯坦提出的相對(duì)論,在1916年,索末菲考慮了相對(duì)論效應(yīng)后的氫原子能量推廣了玻爾的理論,提出了量子化通則以及電子橢圓軌道運(yùn)動(dòng).對(duì)于氫原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu),索末菲考慮相對(duì)論效應(yīng)的修正后氫原子能量可表示為[4]

    (9)

    第二,此時(shí),郎德和海森堡合作從塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)公式分析推出的原子實(shí)矢量模型,即考慮一個(gè)原子實(shí)的角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的合成,得到了不同原子的總角動(dòng)量的合成g因子.這種模型應(yīng)用于雙線和三線光譜及塞曼效應(yīng)時(shí),結(jié)果出人意料地使人滿意,但是它在解釋多電子原子光譜現(xiàn)象時(shí)遇到了困難[2].多電子原子需要考慮到Pauli不相容原理,Pauli也在這時(shí)引入了一個(gè)表征電子在磁場(chǎng)中二值性的量子數(shù)ms,這樣表示原子狀態(tài)的量子數(shù)有4個(gè),既要考慮電子自旋的量子數(shù)是分?jǐn)?shù),思想上,物理科學(xué)家似乎都朝著一個(gè)共同的方向奔去,盡管有一些不同.

    第三,如果忽略施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的條數(shù)的反常,再考慮實(shí)驗(yàn)中得到銀的偏轉(zhuǎn)距離為0.2 mm,可以根據(jù)上式反過來求出這個(gè)未知的磁矩在任意方向上的投影值正好約為一個(gè)玻爾所假設(shè)的磁子μB=0.927×10-23A·m2,誤差為10%[5],是因?yàn)殡娮幼孕慕莿?dòng)量與經(jīng)典的角動(dòng)量完全不相同,不能按照舊的思維方式.

    2 電子自旋假設(shè)的提出與對(duì)實(shí)驗(yàn)顯現(xiàn)的論證

    2.1 電子自旋假設(shè)的內(nèi)容及其內(nèi)涵解釋

    在1925年的夏天,兩個(gè)萊頓大學(xué)的學(xué)生Uhlenbeck和Goudsmit總結(jié)了之前其他物理學(xué)家的工作,完整地提出了兩條電子自旋假設(shè):

    (1)每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S,它在空間上任何方向的投影只能取兩個(gè)

    (10)

    (2)每個(gè)電子具有自旋磁矩MS,它和自旋角動(dòng)量的關(guān)系是

    (11)

    電子自旋角動(dòng)量與經(jīng)典軌道磁矩與軌道角動(dòng)量不同,而是有個(gè)2的倍數(shù).這條假設(shè)實(shí)際上是為了符合實(shí)驗(yàn)中分裂譜線間距是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),在當(dāng)時(shí)看來,可以算是個(gè)近似猜測(cè)的唯象理論.

    2.2 電子自旋假設(shè)與光譜反常實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋

    按照上述兩條假設(shè),先忽略精細(xì)結(jié)構(gòu)項(xiàng),綜合考慮處在不同狀態(tài)的單個(gè)價(jià)電子的原子的總磁矩可以表示為[4]

    (13)

    (14)

    g稱為朗德因子.其中

    這個(gè)g因子包含了單個(gè)電子的自旋磁矩和電子軌道磁矩的耦合作用,又根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)理論,原子總磁矩在磁場(chǎng)中的能量為[4]

    ΔE=|μj||B|cosα

    (15)

    μj在磁場(chǎng)中的取向又是量子化的,所以能量也分裂為[4]

    (16)

    這樣就可以計(jì)算譜線分裂的間距,如果按照動(dòng)量守恒和選擇定則可以確定譜線的條數(shù)和偏振情況.如圖1所示.

    圖譜線的塞曼效應(yīng)

    忽略外磁場(chǎng)時(shí),對(duì)于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu),對(duì)氫和類氫原子的能量主要部分的一般公式為[4]

    (17)

    Z-σ是有效電荷,對(duì)氫Z-σ=1,對(duì)類氫原子Z-σ是考慮到原子實(shí)極化和軌道貫穿后的等效電荷,一般大于1.

    然后可以根據(jù)托馬斯理論以及經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的理論,計(jì)算出自旋與軌道的相互作用能量[4]

    (18)

    其中

    當(dāng)然,必須考慮到經(jīng)過Heisenberg用量子力學(xué)修正后的Sommerfeld的相對(duì)論能量[4]

    (19)

    從實(shí)驗(yàn)測(cè)出的Z-s和Z-σ稍有不同,對(duì)堿金屬原子而言都隨著l改變,但對(duì)于氫原子都等于1.

    僅僅考慮用量子力學(xué)修正后的相對(duì)論能量項(xiàng)會(huì)反而不符合精細(xì)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)事實(shí),所以必須綜合之前電子自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量之間的相互作用,即托馬斯的第二項(xiàng),所以總的能量為[4]

    (20)

    圖2 氫原子n=3的能級(jí)演變(不按比例)

    3 電子自旋假設(shè)與量子力學(xué)理論

    3.1 波動(dòng)量子力學(xué)理論與電子自旋假設(shè)

    1925年到1928年之間,量子力學(xué)取得了進(jìn)一步的發(fā)展,形成比舊量子論更嚴(yán)密完整更深刻揭示微觀世界的物理過程的體系,迫使物理學(xué)家重新描述電子自旋假設(shè)及其物理含義.一方面建立的波動(dòng)量子力學(xué),在波動(dòng)方程中引入了系統(tǒng)哈密頓量的概念,力學(xué)量用力學(xué)算符來代替.然后,對(duì)于簡單的系統(tǒng),如在有心力場(chǎng)中的哈密頓算符得出了表征氫原子原子狀態(tài)的3個(gè)量子數(shù)物理含義.在另一方面,海森堡建立了與Schrodinger等價(jià)的矩陣量子力學(xué).

    如果按照二值的自旋分量,可以構(gòu)造描述電子自旋角動(dòng)量所對(duì)應(yīng)的算符,即泡利矩陣.根據(jù)托馬斯計(jì)算的結(jié)果,考慮有單個(gè)電子原子的哈密頓量為

    (21)

    考慮兩種極端情況,當(dāng)磁場(chǎng)足夠弱時(shí),即沒有破壞自旋與軌道的耦合時(shí),可以把總角動(dòng)量與磁場(chǎng)相互作用看成是微擾項(xiàng),這時(shí)J為好量子數(shù),采用lsjm表象,則能量的一級(jí)近似為[7]

    (22)

    當(dāng)磁場(chǎng)足夠強(qiáng)時(shí),即破壞了自旋與軌道的耦合時(shí),把自旋與軌道相互作用看成是微擾項(xiàng),這時(shí)l,m,ml,ms近似看成是好量子數(shù),可以得到能量一級(jí)近似為[10]

    (23)

    忽略自旋與軌道的耦合能時(shí),近似求解在不同條件下的結(jié)果,與經(jīng)典的結(jié)論是一致的.

    3.2 相對(duì)論量子力學(xué)與電子自旋假設(shè)

    1928年狄拉克建立了相對(duì)論性量子力學(xué),他將相對(duì)論和量子力學(xué)融合,使之發(fā)展成更加嚴(yán)密的統(tǒng)一的框架.他修正了Schrodinger方程,滿足了洛倫茲變換不變性.在狄拉克理論下,電子自旋的假設(shè)變成了自然而然的性質(zhì),使得電子自旋擺脫了人為因素.

    自由粒子的狄拉克方程為[8]

    (24)

    其中有

    (25)

    若是帶電粒子-e在電磁場(chǎng)中的狄拉克方程只要將上述方程進(jìn)行如下代換:其

    (26)

    在非相對(duì)論近似下可得到Pauli方程[8]

    (27)

    上式一般公式若是處在均勻磁場(chǎng)中條件下

    Bx=By=0Bz=B

    (28)

    并滿足橫波條件?·A=0,可以求得[8]

    (29)

    最后一項(xiàng)與物質(zhì)順磁性質(zhì)相關(guān).

    再考慮在有心力場(chǎng)中的非相對(duì)論狄拉克方程有[7]

    (30)

    從這個(gè)方程中可以看出它包含了之前所分開討論的所有項(xiàng),其中,第一、二兩項(xiàng)是不包含自旋的薛定諤方程,第三項(xiàng)是由相對(duì)論質(zhì)量修正而來,第四項(xiàng)是自旋軌道耦合能,而且也得出了狄拉克方程所特有的達(dá)爾文項(xiàng).

    狄拉克方程的優(yōu)勢(shì)在于將量子力學(xué)形成一個(gè)規(guī)范的自洽的體系,在各個(gè)不同的條件下可以得出光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)以及微觀原子在磁場(chǎng)中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,也將所有的電子自旋性質(zhì)統(tǒng)一在這個(gè)體系當(dāng)中,狄拉克理論的正確性已經(jīng)在正電子的預(yù)言中得到了證實(shí).之后,在粒子物理學(xué)中,具有半整數(shù)自旋的粒子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì),稱為費(fèi)米子,它們必須占據(jù)反對(duì)稱的量子態(tài),這種性質(zhì)要求費(fèi)米子不能占據(jù)相同的量子態(tài),這被稱為泡利不相容原理[9~14].

    4 電子自旋假設(shè)的啟示

    4.1 注重實(shí)驗(yàn)與思維

    實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)大廈的根基.物理學(xué)理論的建立一般都會(huì)經(jīng)歷:實(shí)驗(yàn)—假說—數(shù)學(xué)推理—實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)—建立理論—拓展應(yīng)用等幾個(gè)階段.從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問題,從問題中進(jìn)行思考,從思考獲得答案,從答案中反思過程.在浩蕩的物理學(xué)史中,不難發(fā)現(xiàn)很多理論都是人類思維上巨大的轉(zhuǎn)變,如量子力學(xué)和相對(duì)論等.提出分?jǐn)?shù)量子數(shù)同樣是這一段旅程中巨大的閃光點(diǎn),改變一貫的思維慣性,才能獲得柳暗花明又一村的電子微觀世界運(yùn)動(dòng)的圖景,這需要大量的實(shí)驗(yàn)和深度思維的支撐及不懈的努力.

    4.2 注重繼承與創(chuàng)新

    電子自旋假設(shè)和其他科學(xué)理論一樣,都是科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)水平發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物.隨著對(duì)于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)條件的改善,才有實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察.就像兩次工業(yè)革命一樣.同時(shí),理論的成功是很多位科學(xué)家們一起努力的結(jié)果,對(duì)于電子自旋假設(shè)而言,經(jīng)歷了從經(jīng)典的地球自轉(zhuǎn)模型到神奇的半數(shù)量子數(shù)的自旋無疑是一種巨大的創(chuàng)新,這種創(chuàng)新某種意義上對(duì)分?jǐn)?shù)電荷粒子夸克的提出也具有影響.

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