關(guān)注統(tǒng)計(jì)意義，重構(gòu)百分?jǐn)?shù)教學(xué)

○楊志宇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》將百分?jǐn)?shù)由“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，具體的要求也隨之發(fā)生變化。

內(nèi)容要求：結(jié)合具體情境，探索百分?jǐn)?shù)的意義，能解決與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題，感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

學(xué)業(yè)要求：能在真實(shí)情境中理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，解決與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。

在日常教學(xué)中如何讓學(xué)生感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義？分?jǐn)?shù)、倍和比也可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，為什么還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)呢？這些問題值得我們深思與探討。

【教學(xué)回放1】

課件呈現(xiàn)軟件安裝程序進(jìn)度（已安裝14%）、衣服面料的成分（含棉量85%）。

師：你在哪里還見過這樣的數(shù)呢？

（學(xué)生依據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，說生活中常見的百分?jǐn)?shù)。）

師：像14%、85%、50%……這樣的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。

師：百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

師：誰能結(jié)合具體情境說一說這幾個(gè)百分?jǐn)?shù)分別表示什么意思呢？

【診斷分析】

百分?jǐn)?shù)是兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)，既可以表達(dá)確定數(shù)據(jù)，如軟件安裝進(jìn)度、衣服面料的成分等，又可以表達(dá)隨機(jī)事件，如套圈游戲中某學(xué)生的命中率、某城市霧霾天數(shù)所占比例等。用百分?jǐn)?shù)表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系時(shí)，既可以表示部分量與總量的關(guān)系，這時(shí)百分?jǐn)?shù)小于或等于100%；也可以表示兩個(gè)獨(dú)立量的關(guān)系，這時(shí)百分?jǐn)?shù)可以大于100%。上面教學(xué)案例中僅涉及了部分量與總量的關(guān)系，在教學(xué)中還應(yīng)關(guān)注兩個(gè)獨(dú)立量的倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)。除此之外，教學(xué)中我們往往忽略百分?jǐn)?shù)對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)的表達(dá)，而這正是百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的重要體現(xiàn)。

【教學(xué)重構(gòu)】

課件呈現(xiàn)學(xué)生套圈游戲中李明和張強(qiáng)的套中次數(shù)，分別是9 次和5 次。

師：誰套圈的水平更高呢？

生：不知道他們套圈的總次數(shù)是不是相等，沒有辦法比較。

課件繼續(xù)呈現(xiàn)李明和張強(qiáng)的套圈總次數(shù)，分別是20 次和10 次。

師：現(xiàn)在大家能判斷誰套圈的水平更高了嗎？

生：用套中的次數(shù)除以套圈的總次數(shù)，比較套中的次數(shù)占套圈總次數(shù)的幾分之幾就可以了。

師：王勇和劉杰的數(shù)據(jù)也有了，我們快來看看他們的表現(xiàn)吧。

課件呈現(xiàn)：王勇套了15 次，套中6 次；劉杰套了25 次，套中12 次。

師：他們四人誰的套圈水平更高呢？

生：需要先計(jì)算王勇和劉杰套中的次數(shù)占套圈總次數(shù)的幾分之幾，再比較。

生：把四個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)需要求20、10、15、25 的最小公倍數(shù)，這太麻煩了。

生：這是四名同學(xué)參加套圈游戲，如果更多同學(xué)參加套圈游戲，比較套圈水平的高低就更麻煩了。

課件呈現(xiàn)四人的命中率：李明45%，張強(qiáng)50%，王勇40%，劉杰48%。

師：現(xiàn)在你能看出誰的命中率高嗎？

生：不僅能一眼看出張強(qiáng)的命中率最高，而且可以很方便地看出第二名至第四名分別是劉杰、李明、王勇。

師：如果再進(jìn)行一輪套圈游戲，每個(gè)人套圈的總次數(shù)不變，他們的排名還會(huì)是這樣嗎？

生：可能會(huì)發(fā)生變化，每次套中的情況可能不同，但隨著套圈次數(shù)越來越多，他們每個(gè)人的命中率會(huì)越來越穩(wěn)定。

創(chuàng)設(shè)真實(shí)的生活情境，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。比較四名同學(xué)在套圈游戲中的命中率，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，感受分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的共性與區(qū)別，體會(huì)學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的必要性。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“如果再進(jìn)行一輪套圈游戲，每個(gè)人套圈的總次數(shù)不變，他們的排名還會(huì)是這樣嗎？”使學(xué)生感受百分?jǐn)?shù)對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)的刻畫與表達(dá)，感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)。

上面的命中率是部分與整體的倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)，在教學(xué)中還應(yīng)關(guān)注百分?jǐn)?shù)表達(dá)兩個(gè)獨(dú)立量之間倍數(shù)關(guān)系的作用。

課件呈現(xiàn)：楊老師家七月份用電量是六月份的（ ）。

師：括號(hào)中可以填80%、100%、120%中的哪個(gè)呢？

生：可能是120%。因?yàn)槠咴路萏鞖庋谉幔褂每照{(diào)的時(shí)間比較長(zhǎng)，所以七月份用電量比六月份高。

生：也可能是80%。暑假期間楊老師可能會(huì)外出旅游，這樣不在家的天數(shù)會(huì)比六月份多，所以也有可能是80%。

生：也可能是100%。這樣的話，六、七月份的用電量就完全相等了。不過這種情況很少發(fā)生。

師：大家能夠根據(jù)實(shí)際情況，合理運(yùn)用百分?jǐn)?shù)表達(dá)兩個(gè)月用電量的關(guān)系?？雌饋砟銈円呀?jīng)100%學(xué)會(huì)了本節(jié)課的知識(shí)。老師還有一個(gè)問題，剛才套圈游戲中的命中率可以是100%嗎？

生：可以。每次都套中，命中率就是100%。

師：命中率可能是120%嗎？

生：不可能。因?yàn)樘字械拇螖?shù)最多與套圈的總次數(shù)相等，所以命中率不會(huì)超過100%。

師：套圈的命中率不會(huì)超過100%，但七月份的用電量與六月份相比可以超過100%，這是怎么回事呢？

生：套中的次數(shù)是套圈總次數(shù)的一部分，不會(huì)超過套圈總次數(shù)，所以這種情況不會(huì)超過100%。

生：七月份用電量與六月份用電量不是部分與整體的關(guān)系，而是兩個(gè)相互獨(dú)立的量。如果七月份用電量超過六月份，那么七月份用電量和六月份相比就會(huì)超過100%。

生活中經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，這兩個(gè)量既可以是部分量與總量，也可以是兩個(gè)獨(dú)立的量。在百分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中，既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)小于或等于100%的數(shù)據(jù)，也要設(shè)計(jì)大于100%的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生更加全面地認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)。

【教學(xué)回放2】

師：分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)都可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系，分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)有什么相同和不同之處呢？

生：分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)都可以表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，百分?jǐn)?shù)在比較時(shí)更方便。

生：分?jǐn)?shù)除了表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，還可以是一個(gè)具體的數(shù)。分?jǐn)?shù)表示一個(gè)具體的數(shù)時(shí)可以帶單位名稱。百分?jǐn)?shù)僅表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，不能帶單位名稱。

師：這兩個(gè)數(shù)能改寫成百分?jǐn)?shù)嗎？

【診斷分析】

由于百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)從意義上有相似之處，在日常教學(xué)中教師往往很重視分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的比較，分析它們的共性與差異。除此以外，倍、比等也可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，百分?jǐn)?shù)的練習(xí)設(shè)計(jì)也應(yīng)關(guān)注這些知識(shí)與百分?jǐn)?shù)的關(guān)系，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

【教學(xué)重構(gòu)】

師：百分?jǐn)?shù)能夠表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。還有什么也可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系呢？

生：倍、分?jǐn)?shù)和比。

師：分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)有什么相同和不同之處呢？

……

師：你能把下面的倍或比轉(zhuǎn)化成用百分?jǐn)?shù)表示嗎？

課件呈現(xiàn)：某飯店周六的營(yíng)業(yè)額是周五的2倍；一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。

生：某飯店周六的營(yíng)業(yè)額是周五的2 倍。也可以說，某飯店周六的營(yíng)業(yè)額是周五的200%。

生：一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。也可以說，蜂蜜占整杯蜂蜜水的10%。

師：既然倍、分?jǐn)?shù)和比都可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，為什么還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)呢？

生：在進(jìn)行數(shù)據(jù)比較時(shí)，百分?jǐn)?shù)更方便。

在比較共性與差異的基礎(chǔ)上，加深學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。