三維空腔流動(dòng)波系建模及模態(tài)演化*

羅勇 楊黨國 武從海 李虎? 張樹海 吳軍強(qiáng)

1) (空氣動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,綿陽 621000)

2) (中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心高速空氣動(dòng)力研究所,綿陽 621000)

高速空腔流動(dòng)包含復(fù)雜波系結(jié)構(gòu),這些復(fù)雜波系的傳播和演化導(dǎo)致流動(dòng)產(chǎn)生自持振蕩而引起強(qiáng)噪聲,空腔噪聲在頻譜上包含多個(gè)具有離散頻率的聲模態(tài),深入理解各階聲模態(tài)的演化規(guī)律可為發(fā)展噪聲控制方法提供理論基礎(chǔ).通過分析亞聲速和超聲速情況下空腔兩端的波系散射過程并考慮三維展向流動(dòng),分別建立了針對亞聲速和超聲速空腔流動(dòng)的三維波系模型.三維波系模型包含了空腔中不同波系之間的非線性相互作用,這種非線性作用可導(dǎo)致產(chǎn)生不同于Rossiter 模態(tài)的其余頻率成分.基于三維空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)測量的壓力信號數(shù)據(jù),對模型中的參數(shù)進(jìn)行了線性估計(jì),采用快速傅里葉變換、雙譜分析和小波變換等方法對壓力信號進(jìn)行了分析,結(jié)果表明: 振蕩主模態(tài)之間會產(chǎn)生非線性作用,這種非線性作用產(chǎn)生了幅值較高的諧頻,主要的振蕩模態(tài)之間存在模態(tài)切換現(xiàn)象,且模態(tài)切換呈低頻特征,整體表現(xiàn)出隨機(jī)性特性.

引言

空腔外形廣泛應(yīng)用于航空飛行器中,如飛機(jī)起落架、武器艙等.空腔流動(dòng)包含剪切層、旋渦、復(fù)雜波系等典型流場結(jié)構(gòu),在超聲速流動(dòng)中還包含激波.這些復(fù)雜波系之間以及與空腔壁面的相互作用會產(chǎn)生自持振蕩而引起強(qiáng)烈的噪聲,噪聲聲壓級可達(dá)到170 dB 以上[1],強(qiáng)噪聲不僅會導(dǎo)致環(huán)境污染,還會引起飛行器結(jié)構(gòu)疲勞,影響飛行安全[2].準(zhǔn)確認(rèn)識空腔流動(dòng)中復(fù)雜波系相互作用產(chǎn)生噪聲的物理機(jī)理可為研究工程上可行的降噪方法提供理論基礎(chǔ).為了掌握空腔內(nèi)部流動(dòng)結(jié)構(gòu)和振蕩頻譜特性,大量學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究了不同類型的空腔流動(dòng),相關(guān)研究工作可參考相關(guān)綜述文獻(xiàn)[3,4].

空腔流動(dòng)的分類與來流條件和空腔長寬比直接相關(guān),如超聲速流動(dòng)長深比在10 以下為開式流動(dòng),長深比大于13為閉式流動(dòng),長深比介于二者之間為過渡式流動(dòng)[4].開式與閉式流動(dòng)的主要區(qū)別在于,對于開式流動(dòng),空腔上方的剪切層會流過腔口而撞擊到空腔后壁;而對于閉式流動(dòng),剪切層會撞擊空腔底部,類似于后臺階流動(dòng)[4].在工程實(shí)際中,空腔的長深比大約在4—10 之間,表現(xiàn)為開式流動(dòng)[5].開式空腔會因流動(dòng)的自持振蕩產(chǎn)生強(qiáng)噪聲,主要過程為[6]: 上游邊界層脫離空腔前緣,由于流體的Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性,剪切層逐漸失穩(wěn)并與空腔后壁面發(fā)生碰撞形成反射聲波,反射聲波向上游傳播到達(dá)空腔前緣進(jìn)一步激發(fā)剪切層失穩(wěn),形成反饋回路.這種聲反饋回路機(jī)制最早可見于Powell[7]關(guān)于邊緣音的研究中.通過一系列實(shí)驗(yàn),Krishnamurty[8]發(fā)現(xiàn)亞聲速和超聲速空腔流動(dòng)會產(chǎn)生強(qiáng)烈的具有離散頻率的噪聲.Rossiter[6]進(jìn)一步拓展了實(shí)驗(yàn)參數(shù)范圍并給出了預(yù)測空腔振蕩離散頻率的半經(jīng)驗(yàn)公式,該公式推導(dǎo)基于聲速為常數(shù),因而在馬赫數(shù)較高時(shí)(M＞ 2)與實(shí)驗(yàn)測量偏差明顯.Heller 等[9]考慮空腔中的聲速變化,給出了一個(gè)改進(jìn)的半經(jīng)驗(yàn)預(yù)測公式.部分學(xué)者試圖給出無經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的空腔振蕩離散頻率預(yù)測公式[10-13],其中Kerschen 等[12,13]通過將剪切層、空腔中向上下游傳播的波系以及空腔兩端的散射情況考慮在內(nèi)提出了一個(gè)理論模型,該模型不包含經(jīng)驗(yàn)參數(shù)且可以預(yù)測共振模態(tài)的增長與衰減情況.

上述半經(jīng)驗(yàn)公式和模型基于二維波系結(jié)構(gòu)建立,然而在實(shí)際空腔流動(dòng)中,空腔還存在展向流動(dòng),此外空腔側(cè)壁也會對腔內(nèi)振蕩產(chǎn)生影響[14,15].Kegerise等[16]在長深比為2、馬赫數(shù)為0.4的空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中,觀察到腔內(nèi)壓力信號頻譜中存在一個(gè)未知的低頻成分,通過小波分析發(fā)現(xiàn),該低頻成分會對Rossiter主模態(tài)產(chǎn)生調(diào)制作用.Brès 和Colonius[17]基于周期性的展向邊界條件數(shù)值模擬了三維空腔流動(dòng),他們在速度脈動(dòng)中同樣發(fā)現(xiàn)了低頻成分,并認(rèn)為這種低頻成分為三維模態(tài);同時(shí)發(fā)現(xiàn)三維模態(tài)與Rossiter振蕩模態(tài)可同時(shí)存在,二者間的相互作用可能會影響空腔流動(dòng)自持振蕩主模態(tài)的階數(shù);三維模態(tài)的波長與空腔深度接近,比Rossiter 振蕩模態(tài)在幅值上小一個(gè)量級.Brès 和Colonius[17]認(rèn)為,三維模態(tài)的產(chǎn)生機(jī)制與空腔下游壁面附近再循環(huán)渦流中的閉合渦流相關(guān)的離心不穩(wěn)定性有關(guān).因此,理論模型還須考慮三維模態(tài)的影響.

空腔流動(dòng)產(chǎn)生的噪聲在頻譜上可能包含多個(gè)具有離散頻率的聲模態(tài),設(shè)計(jì)高效空腔噪聲控制方案需要厘清這些模態(tài)的演化規(guī)律.對于二維空腔流動(dòng),Rowley 等[18]采用直接數(shù)值模擬研究了亞聲速情形,結(jié)果表明一階、二階Rossiter 模態(tài)是共存的.我們前期針對二維空腔流動(dòng)的直接數(shù)值結(jié)果表明[19-21],在亞聲速情況下,低階模態(tài)會隨著流動(dòng)穩(wěn)定逐漸消失;在超聲速情況下,主模態(tài)會產(chǎn)生諧振模態(tài),主模態(tài)與其是共存的.上述模態(tài)演化規(guī)律與二維層流這種特定條件有關(guān),在三維流動(dòng)中,聲模態(tài)的演化特征與上述情形有明顯區(qū)別.1998 年,Cattafesta 等[22]開展的馬赫數(shù)0.6的空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,主要的Rossiter 模態(tài)之間存在模態(tài)切換現(xiàn)象.Gloerfelt等[23]采用LES 數(shù)值模擬了展向?yàn)橹芷谶吔纭ⅠR赫數(shù)0.8的三維空腔流動(dòng),在流動(dòng)結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)了模態(tài)切換的證據(jù).Thangamani[24]實(shí)驗(yàn)研究了馬赫數(shù)1.58的三維超聲速空腔流動(dòng),同樣發(fā)現(xiàn)一階和二階主模態(tài)之間存在模態(tài)切換現(xiàn)象.我們前期針對三維空腔流動(dòng)的數(shù)值模擬結(jié)果同樣表明[25],空腔振蕩的主導(dǎo)模態(tài)之間存在切換現(xiàn)象.但上述研究對模態(tài)切換性質(zhì)的認(rèn)識仍有不足,對于空腔流動(dòng)中各階模態(tài)在流動(dòng)振蕩過程中的非線性相互作用仍需進(jìn)一步研究.

受Kerschen 等[12,13]工作的啟發(fā),本文通過研究空腔中包含展向波系在內(nèi)的主要波系結(jié)構(gòu),建立相關(guān)波系模型.各部分內(nèi)容如下: 在第1 節(jié)中,區(qū)別于以往的二維模型[6,9],通過在空腔兩端引入展向波系,同時(shí)考慮亞聲速與超聲速的區(qū)別,分析空腔兩端波系的散射過程,對亞聲速與超聲速兩種情況下的三維空腔波系分別進(jìn)行建模,同時(shí)分析波系之間的耦合作用;在第2 節(jié)中,介紹馬赫數(shù)0.9 和馬赫數(shù)1.5 空腔流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)情況;在第3 節(jié)中,基于馬赫數(shù)0.9 和馬赫數(shù)1.5 空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用信號分析工具,結(jié)合所建模型分析空腔振蕩模態(tài)的非線性耦合作用,同時(shí)研究空腔流動(dòng)中各階模態(tài)的演化規(guī)律;第4 節(jié)為結(jié)論部分.

1 散射波系模型

1.1 波系模型

1.1.1 亞聲速情形

在亞聲速情況下,三維空腔流動(dòng)中的波系結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示.空腔的長、寬、深分別設(shè)為L,W,D.空腔內(nèi)部包含向上游傳播的聲波wb,其主要是由剪切層撞擊后壁導(dǎo)致;空腔內(nèi)部向下游傳播的聲波wf,其主要由wb傳播至空腔前端時(shí)由前壁面反射形成;剪切層中的不穩(wěn)定波ws,這是由于流體介質(zhì)的Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性導(dǎo)致的;空腔口沿剪切層向下游傳播的聲波wd以及向上游傳播的聲波wu,wd的產(chǎn)生與向上游傳播的波與空腔前緣相互作用有關(guān),wu與剪切層撞擊后壁過程直接關(guān)聯(lián);wt表示流動(dòng)在展向上的波動(dòng).下文中,在空腔前端的上述波系及相關(guān)參數(shù)用 [^·] 表示,以區(qū)別于在空腔后端的波系及相關(guān)參數(shù).

圖1 亞聲速空腔中波系結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1.Schematic diagram of wave structures of the subsonic cavity flow.

參考Kerschen 等[12,13]的做法,接下來考慮上述波系在空腔兩端的散射情況.在空腔前端,考慮波系之間的相互關(guān)系有:

對于空腔前后同一個(gè)波,根據(jù)波的增長關(guān)系,可以將波的發(fā)展寫成復(fù)數(shù)形式,對于空腔內(nèi)的波和剪切層不穩(wěn)定波有:

對于三維展向波有:

對于空腔外部的波,其沿空腔流向以l?3/2衰減[12,13],l表示離空腔前緣的距離,因此其形式為

定義變量X為

將(3)式—(5)式代入(1)式和(2)式并整理,即可得到矩陣形式的方程組:AX=b,其中,

于是,|A|X=A?b,其中|A|表示矩陣A的行列式,A?是矩陣A的伴隨矩陣.當(dāng)忽略展向波時(shí),上述波系為二維情形,此時(shí)b=0,此時(shí)方程退化為Kerschen 等[12]描述的情形.

顯然,上述方程組解的屬性與|A|的性質(zhì)密切相關(guān),其表達(dá)式為

其中,Γ4表示行列式值的剩余的四階組合項(xiàng):

1.1.2 超聲速情形

對于超聲速空腔流動(dòng),不考慮激波結(jié)構(gòu),其波系結(jié)構(gòu)示意圖如圖2 所示.在超聲速情況下,空腔中的波系與亞聲速情況略有不同,在空腔上方,由于流動(dòng)是超聲速的,聲波不能向上游傳播,但向下游傳播的聲波包含慢聲波和快聲波,這里分別記為wds和wdf.整體波系結(jié)構(gòu)中,只有空腔中聲波wb向上游傳播.

圖2 超聲速空腔中波系結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2.Schematic diagram of wave structures of the supersonic cavity flow.

類似于亞聲速情況,分別考慮空腔前后兩端的波系散射情況.在空腔前端有:

在空腔后端有:

其中,慢、快聲波的演化衰減關(guān)系為[12]

定義變量X為

將(3)式、(4)式和(13)式代入(11)式和(12)式并整理,即可得到矩陣形式的方程組:AX=b,其中,

不難發(fā)現(xiàn),由于超聲速情形在空腔兩端的散射特征較亞聲速情形簡單,因此,方程組的系數(shù)矩陣和對應(yīng)的行列式值也更為簡潔.

1.2 模型分析

在Rossiter[6]得到的半經(jīng)驗(yàn)公式中,圖1 和圖2所示的波系只考慮了ws和wb,方程組變?yōu)锳X=0.其中,矩陣A簡化為

因?yàn)榉匠探M有非零解,于是必有|A|=0,即

利用復(fù)數(shù)歐拉公式,可以得到:

其中,Arg[?]表示復(fù)數(shù)的幅角,Re[?]表示復(fù)數(shù)的實(shí)部.(20)式可以進(jìn)一步表示為

其中αs是剪切層不穩(wěn)定波的波數(shù),設(shè)剪切層的對流速度為Uc,即有αs=ω/Uc.αb是空腔后壁面向上游傳播的聲波的波數(shù),其傳播速度近似為聲速,因此,αb=ω/a=ω·M/U.將αs和αb代入(21)式并化簡可以得到:

(22)式和(23)式是Kerschen 等[12]通過空腔兩端的散射模型獲得的空腔振蕩頻率預(yù)測公式,可以看出該公式與Rossiter 半經(jīng)驗(yàn)公式[6]形式上完全一致.在(23)式中,函數(shù)和與具體的空腔尺寸和來流條件有關(guān),在實(shí)際中一般變化較小,因此可以近似取為常數(shù).在Rossiter 半經(jīng)驗(yàn)公式中,一般取=0.25,為剪切層相對對流速度,一般取=0.57.在我們的二維層流空腔流動(dòng)高精度數(shù)值模擬中[19-21],獲得的=0.55,與常用值較為接近.在實(shí)際三維空腔流動(dòng)中,由于湍流、側(cè)壁等的影響,其值可能會有所區(qū)別,可以根據(jù)實(shí)際測量值進(jìn)行估計(jì),如在Ahuja 和Mendoza[14]以及Kegerise[26]的實(shí)驗(yàn)中,得到的估計(jì)值為=0.66 .

當(dāng)進(jìn)一步考慮三維展向波系時(shí),右端項(xiàng)b簡化為:

此時(shí)方程組AX=b決定了三維展向波系將與Rossiter 模態(tài)產(chǎn)生調(diào)制.盡管三維展向模態(tài)頻率和幅值較低,但在特定情況下,三維模態(tài)仍然會與主模態(tài)產(chǎn)生非線性作用.在Neary 和Stephanoff[27]基于水介質(zhì)的層流空腔實(shí)驗(yàn)中,他們發(fā)現(xiàn)了三維模態(tài)與主模態(tài)調(diào)制產(chǎn)生的諧頻.在Kegerise 等[16]馬赫數(shù)為0.4的空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中,三維模態(tài)對Rossiter主模態(tài)產(chǎn)生了調(diào)制作用.同時(shí),空腔寬度參數(shù)W也會影響不同離散頻率組分的幅值[3].

當(dāng)考慮空腔中的其余波系時(shí),方程組AX=b的形式變得較為復(fù)雜,矩陣A的行列式值如(9)式和(17)式所示.此時(shí),不同波系之間將產(chǎn)生非線性的相互作用,盡管部分散射過程波系相互作用的系數(shù)值較小,但仍將產(chǎn)生相互調(diào)制作用,這種調(diào)制過程可能產(chǎn)生其余頻率成分.Kegerise 等[16]通過對空腔中測得的壓力信號采用高階譜分析發(fā)現(xiàn),在特定的流動(dòng)條件下,不同Rossiter 模態(tài)之間會產(chǎn)生非線性作用,這種非線性作用將導(dǎo)致產(chǎn)生不同于Rossiter 模態(tài)的諧頻成分,頻率大小與兩個(gè)Rossiter模態(tài)頻率的差值相關(guān).

2 三維空腔實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

空腔模型C201 由中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心高速空氣動(dòng)力研究所設(shè)計(jì)[28],模型示意圖如圖3所示.空腔的長(L)、寬(W)、深(D)分別為200,66.7,33.3 mm,即滿足L∶W∶D=6∶2∶1,模型的其余尺寸見圖3 標(biāo)注.在實(shí)驗(yàn)中,亞聲速和超聲速的前緣設(shè)計(jì)略有區(qū)別,具體可參考引用文獻(xiàn)中的說明[28].

圖3 三維空腔實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭D(單位: mm)Fig.3.Schematic diagram of experimental cavity model(unit: mm).

實(shí)驗(yàn)在中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心高速空氣動(dòng)力研究所亞跨超聲速風(fēng)洞中完成,實(shí)驗(yàn)包含亞聲速和超聲速兩種來流條件,馬赫數(shù)分別為0.9 和1.5,其余參數(shù)條件如表1 所列.

表1 不同馬赫數(shù)下的實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 1.The experimental parameters for different cases.

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中的脈動(dòng)壓力測量點(diǎn)設(shè)置在空腔底部中截面上,下面通過重復(fù)性實(shí)驗(yàn),根據(jù)壁面壓力信號總聲壓級驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)測量的可靠性.總聲壓級(overall sound pressure level,OASPL)計(jì)算公式如下:

圖4 M=1.5,空腔底部壓力信號總聲壓級兩次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比Fig.4.M=1.5,comparison of two repeatable experiment results of OASPL of pressure signal at the bottom of cavity.

3 模態(tài)演化特性分析

3.1 頻譜調(diào)制特性

聲壓級的頻域分布通過壓力脈動(dòng)的聲功率譜密度(pressure spectral density,PSD)進(jìn)行計(jì)算,公式如下,

對于當(dāng)前兩個(gè)馬赫數(shù)下,空腔前壁測點(diǎn)的壓力信號聲壓級頻譜計(jì)算結(jié)果如圖5 所示.兩種馬赫數(shù)的主導(dǎo)頻率如表2 所列.在(23)式中,參數(shù)和與具體的空腔尺寸和流動(dòng)條件相關(guān),這里可以通過得到的表2 中的頻譜數(shù)據(jù)擬合得到.對于馬赫數(shù)0.9,通過線性擬合,可以得到=0.45 ,=0.68 ;類似地,對于馬赫數(shù)1.5,可以得到=0.40 ,=0.86 .將獲得的參數(shù)代入(22)式即可得到離散頻率預(yù)測公式,公式預(yù)測值見圖5 中灰色豎線所示.可以看到,兩種馬赫數(shù)下,空腔流動(dòng)的振蕩主導(dǎo)模態(tài)都為Rossiter 二階模態(tài),同時(shí)預(yù)測的各階模態(tài)頻率位置與壓力信號頻譜峰值符合良好.

表2 不同馬赫數(shù)下的主導(dǎo)峰值頻率Table 2.The frequencies of the most energetic peaks for different cases.

從圖5 可以觀察到,兩個(gè)馬赫數(shù)下的頻譜中都存在一個(gè)低頻成分,對馬赫數(shù)0.9,這個(gè)低頻頻率為f=134.3 Hz,對馬赫數(shù)1.5,這個(gè)低頻頻率為f=122.2 Hz .根據(jù)Brès 和Colonius[17]的研究,這種低頻成分與三維模態(tài)有關(guān),其波長與空腔深度接近,因此建議采用空腔深度作為其特征長度.對于馬赫數(shù)0.9,低頻成分的無量綱頻率為StD=flD/U=0.016,對于馬赫數(shù)1.5,低頻成分的無量綱頻率為StD=flD/U=0.01.在Kegerise 等[16]馬赫數(shù)0.4的空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中,觀察到的低頻成分的無量綱頻率為StD=flD/U=0.011,與當(dāng)前兩個(gè)馬赫數(shù)下觀測到的低頻成分無量綱頻率較為接近.

圖5 空腔前壁測點(diǎn)壓力信號聲壓級頻譜(灰色豎線為(21)式預(yù)測值) (a) M=0.9;(b) M=1.5Fig.5.The spectra of the pressure perturbation signals at the front wall of the cavity for two cases (the gray vertical line is the predicted frequencies by Eq.(21)): (a) M=0.9;(b) M=1.5.

在第2 節(jié)的分析中,空腔中出現(xiàn)的主要波系的主導(dǎo)頻率可以通過方程組確定,不同波系之間可能產(chǎn)生相互調(diào)制,這種調(diào)制過程可能產(chǎn)生區(qū)別于主導(dǎo)Rossiter 模態(tài)之外的其余頻率成分.這種現(xiàn)象可以在本文兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的頻譜結(jié)果中觀察到.在圖5(a)所示的馬赫數(shù)0.9的頻譜結(jié)果中,在圓圈圈出的位置可以觀察到一個(gè)顯著的區(qū)別于主頻的頻率:fs=3613 Hz.根據(jù)表2 中馬赫數(shù)0.9 對應(yīng)的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)fs≈f3+f4=3612 Hz .即頻率fs是由Rossiter三階模態(tài)與Rossiter 四階模態(tài)調(diào)制產(chǎn)生的.在圖5(b)所示的馬赫數(shù)1.5的頻譜結(jié)果中,在圓圈圈出的位置可以觀察到有兩個(gè)顯著的區(qū)別于主頻的頻率fs1=2526 Hz和fs2=3314 Hz .根據(jù)表2 中馬赫數(shù)1.5 對應(yīng)的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)fs1≈f2+f2=2528 Hz,fs2≈f2+f3=3306 Hz.即頻率fs1是由Rossiter 二階模態(tài)與自身調(diào)制產(chǎn)生的,頻率fs2是由Rossiter 二階模態(tài)與Rossiter 三階模態(tài)調(diào)制產(chǎn)生的.這里僅列出了個(gè)別調(diào)制產(chǎn)生的幅值顯著的諧頻,接下來采用高階譜分析進(jìn)一步分析這種調(diào)制作用.

從上述分析可以看出,對于馬赫數(shù)1.5,其Rossiter 二階主模態(tài)的幅值顯著高于其余振蕩模態(tài),并可與多個(gè)其余模態(tài)調(diào)制,產(chǎn)生區(qū)別于主模態(tài)的諧頻.這里采用雙譜分析(bispectral analysis)來分析調(diào)制過程.對于一個(gè)離散時(shí)間信號x(t),其對應(yīng)的頻域設(shè)為Xk,即滿足:

其中,ωk=2πk/T,T是信號x(t)的長度.相應(yīng)的三階累計(jì)譜為

其中,E[?]表示期望值.雙譜分析相關(guān)系數(shù)bic 定義為[29]

利用Cauchy-Schwarz 不等式容易證明上述相關(guān)系數(shù)滿足 0 ≤bic ≤1 .上述定義中的雙譜相關(guān)系數(shù)具有對稱性質(zhì).特別是,當(dāng)頻率ωk和頻率ωl存在非線性耦合時(shí),bic→1 ;而當(dāng)頻率ωk和頻率ωl相互獨(dú)立時(shí),bic→0 ;當(dāng)bic為介于0—1 之間的其余數(shù)值時(shí),其值的大小表征頻率ωk和頻率ωl非線性作用產(chǎn)生頻率ωk+l占實(shí)際頻率ωk+l幅值的比例.于是可以利用上述性質(zhì)來分析空腔振蕩中不同模態(tài)的非線性耦合情況.

馬赫數(shù)1.5 空腔前面測量信號的雙譜分析系數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖6 所示,圖6(a)為整體結(jié)果,圖6(b)為局部區(qū)域放大情況,結(jié)果關(guān)于斜中心線是對稱的.由于二階Rossiter 主模態(tài)較強(qiáng),這里主要關(guān)注與其相關(guān)的非線性作用情況.從圖6(a)可以看出,與主頻f2相關(guān)的非線性作用十字區(qū)域相較于其余區(qū)域十分明顯.在坐標(biāo) (f2,f2) 處,bic=0.94,即主模態(tài)自相關(guān)性很強(qiáng),由此會產(chǎn)生相關(guān)頻率 2f2,這與上文中結(jié)論一致,從該頻率成分在圖5(b)中的頻譜結(jié)果可以看到,幅值十分顯著.從圖6(b)還可以看到,在坐標(biāo) (f2,f=1361 Hz) 處雙譜相關(guān)系數(shù)較大: bic=0.85,意味著將產(chǎn)生頻率為f2+f=2625 Hz的成分,該頻率成分見圖5(b)中的標(biāo)注.

圖6 M=1.5,空腔前壁測點(diǎn)壓力信號雙譜分析相關(guān)系數(shù) (a) 相關(guān)系數(shù)云圖;(b) 局部放大Fig.6.M=1.5,bicoherence spectrum of the pressure perturbation signals at the front wall of the cavity: (a) Contours of the correlation coefficient;(b) locally zoomed region of panel (a).

3.2 模態(tài)演化規(guī)律

在3.1 節(jié)中,使用快速傅里葉變換(FFT)等獲得了主要振蕩模態(tài)的頻譜特征,但FFT 缺乏時(shí)頻定位功能,且無法獲得非平穩(wěn)信號的頻率演化信息.從前文論述中可知,在三維空腔流動(dòng)中,流動(dòng)振蕩的各階模態(tài)之間存在模態(tài)切換現(xiàn)象,因此在接下來的分析中,采用時(shí)頻分析方法來分析其壓力脈動(dòng)特征.采用連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,CWT)來分析壓力脈動(dòng)信號,小波變換相較于短時(shí)傅里葉變換等時(shí)頻分析方法,可以實(shí)現(xiàn)隨分辨率變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬,且計(jì)算過程存儲量小,適合分析長時(shí)間尺度的信號,其具體變換公式如下[30]:

其中,Ψ為小波函數(shù).本文選取Morlet 小波,形式為

小波變換計(jì)算結(jié)果如圖7 所示,圖中反映了壓力脈動(dòng)中不同頻率成分隨時(shí)間的演化情況.在前面關(guān)于二維層流空腔流動(dòng)高精度數(shù)值模擬的腔內(nèi)壓力信號的時(shí)頻分析結(jié)果中顯示,主導(dǎo)模態(tài)隨時(shí)間演化過程中幅值穩(wěn)定,當(dāng)前的時(shí)頻結(jié)果與二維簡單情形有明顯的不同.根據(jù)表2 中的數(shù)值,從圖7 可以看出,在兩個(gè)馬赫數(shù)下,主要振蕩模態(tài)的幅值隨時(shí)間有明顯的改變,存在模態(tài)切換現(xiàn)象,但Rossiter 2 模態(tài)占主導(dǎo)時(shí)幅值要更高,與前面的頻譜分析結(jié)果一致.為了進(jìn)一步分析主要振蕩模態(tài)隨時(shí)間的演化特征,以馬赫數(shù)0.9為例,將一階模態(tài)f1=330 Hz和二階模態(tài)f2=940 Hz 從小波分析結(jié)果中單獨(dú)截取出來,結(jié)果如圖8 所示.需要說明的是,從前面的理論模型分析中可知,由于不同波系之間存在非線性作用,主要振蕩模態(tài)的頻率在隨時(shí)間演化過程中可能會發(fā)生微小的改變,由于變化很小,這里將其忽略.從圖8 可以看出,模態(tài)f1和f2的幅值隨時(shí)間變化劇烈,對截取結(jié)果進(jìn)行FFT 分析結(jié)果如圖9所示.從圖9 可以看出,模態(tài)成分f1和f2的幅值隨時(shí)間變化的波動(dòng)頻率較低,但沒有顯著的主頻.進(jìn)一步地,使用概率密度估計(jì)來計(jì)算模態(tài)f1和f2隨時(shí)間演化信息的概率密度函數(shù)分布,結(jié)果如圖10所示.從圖10 可以看出,兩個(gè)模態(tài)隨時(shí)間演化的概率密度分布形態(tài)與正態(tài)分布形態(tài)較為接近,即模態(tài)演化整體表現(xiàn)出隨機(jī)性.

圖7 兩個(gè)馬赫數(shù)的空腔前壁測點(diǎn)壓力信號的連續(xù)小波變換結(jié)果 (a) M=0.9 (注: 等值線范圍(200,3700));(b) M=1.5 (注: 等值線范圍(300,6000))Fig.7.The CWT results of the pressure perturbation signals at the front wall of the cavity for two Mach numbers: (a) M=0.9(contour levels between 200 to 3700);(b) M=1.5 (contour levels between 300 to 6000).

圖8 M=0.9,一階、二階模態(tài)小波變換系數(shù)隨時(shí)間演化情況 (a) 一階模態(tài)系數(shù);(b) 二階模態(tài)系數(shù)Fig.8.M=0.9,the amplitude of the CWT coefficients of the dominant modes extracted from the CWT result: (a) Coefficient of the first mode;(b) Coefficient of the second mode.

圖9 一階、二階模態(tài)小波變換系數(shù)的FFT 頻譜 (a) 一階模態(tài)系數(shù)FFT;(b) 二階模態(tài)系數(shù)FFTFig.9.The FFT results of the CWT coefficients of the dominant modes in Fig.8: (a) FFT of the coefficient of the first mode;(b) FFT of the coefficient of the second mode.

圖10 一階、二階模態(tài)小波變換系數(shù)的PDFFig.10.The probability density estimate of the CWT coefficients of the dominant modes in Fig.8.

4 結(jié)論

本文通過研究空腔中包含展向波系在內(nèi)的主要波系結(jié)構(gòu),分析不同波系在空腔兩端的散射情況,同時(shí)考慮亞聲速和超聲速流動(dòng)下波系傳播的差異,分別建立了針對亞聲速和超聲速空腔流動(dòng)的三維波系模型.三維波系模型包含了空腔中不同波系之間的非線性相互作用,這種非線性作用可導(dǎo)致產(chǎn)生不同于Rossiter 模態(tài)的其余頻率成分.當(dāng)僅保留剪切層不穩(wěn)定波及其撞擊后壁引起的反射聲波時(shí),模型退化為二維簡單情況,此時(shí)方程表征空腔流動(dòng)主要振蕩模態(tài)—Rossiter 模態(tài).

基于三維空腔流動(dòng)實(shí)驗(yàn)測量的馬赫數(shù)0.9 和馬赫數(shù)1.5的腔內(nèi)壓力信號數(shù)據(jù),通過計(jì)算其聲壓級頻譜,獲得了兩種典型流動(dòng)條件下,空腔自持振蕩的主要頻譜特征.根據(jù)獲得的主要振蕩頻率,對所建模型中的參數(shù)進(jìn)行了線性估計(jì),模型預(yù)測的各階模態(tài)頻率位置與壓力信號頻譜峰值符合良好.對壓力信號采用雙譜分析,結(jié)果表明,振蕩主模態(tài)之間會產(chǎn)生非線性作用,這種非線性作用產(chǎn)生了幅值較高的諧頻,與頻譜分析結(jié)果一致.采用連續(xù)小波變換方法對壓力信號進(jìn)行了時(shí)頻分析,結(jié)果表明,主要的振蕩模態(tài)之間存在模態(tài)切換現(xiàn)象,且模態(tài)切換呈低頻特征,整體表現(xiàn)出隨機(jī)性特性.

需要注意的是本文的空腔波系結(jié)構(gòu)模型未考慮有艙門的情況,艙門的存在會對空腔口的波系產(chǎn)生反射作用,且艙門在不同角度時(shí),這種反射作用會有所差別.針對上述情形,仍需結(jié)合仿真和實(shí)驗(yàn)開展進(jìn)一步研究.