帶止步、中途退出和負(fù)顧客及反饋的MX/M/1/N多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)

王 莉

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

隨著現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際需求，休假排隊(duì)系統(tǒng)的研究已愈發(fā)廣泛和成熟，并在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中得到了廣泛的應(yīng)用.但是，本著高效節(jié)能的原則，在休假模型中需要做進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)，這就需要對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)定，一般要求在休假期內(nèi)，服務(wù)員仍處于待工作狀態(tài)，如果有顧客，就會進(jìn)行服務(wù)，但是服務(wù)的效率要低于正常工作時(shí)的服務(wù)效率.比如銀行系統(tǒng)，在工作日內(nèi)的每天中午時(shí)段，服務(wù)窗口會減少，只安排少部分人員工作，但不會關(guān)閉所有窗口，這種工作模式的休假稱為工作休假.如果工作休假期間，服務(wù)員的服務(wù)效率降為零，將變成經(jīng)典休假模式.

近年來，在休假排隊(duì)模型的研究中，工作休假排隊(duì)模型成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)[1-4].與此同時(shí)，在工作休假模型中考慮負(fù)顧客的侵入影響的研究[3-5]也逐漸增多，這里所指的負(fù)顧客規(guī)定為非正常到達(dá)的顧客，它是外來一些隨機(jī)因素對服務(wù)臺的影響，它可以消除隊(duì)列中的正常顧客，如果系統(tǒng)中沒有顧客，此時(shí)外來隨機(jī)因素帶來的影響會自動消失.在工作休假模型中考慮止步和中途退出兩個(gè)因素的研究[6-8]也不在少數(shù).另外，多重工作休假、帶反饋機(jī)制的排隊(duì)模型也都是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)[9-11].

然而同時(shí)將止步、中途退出、負(fù)顧客、反饋機(jī)制同時(shí)考慮在多重工作休假系統(tǒng)中的文獻(xiàn)還比較少.基于此，本文在MX/M/1/N多重工作休假模型中同時(shí)加入了止步、中途退出、負(fù)顧客、反饋及批量到達(dá)等六個(gè)因素后研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的性能指標(biāo)，為今后這類模型在實(shí)際應(yīng)用中提供參考和依據(jù).

1 模型描述

本文的新意在于在簡單的MX/M/1/N多重工作休假模型中同時(shí)考慮了因不耐煩情緒造成的止步和批量到達(dá)兩個(gè)因素的新模型，同時(shí)結(jié)合負(fù)顧客、中途有退出機(jī)制和反饋策略進(jìn)行了討論.在增加負(fù)顧客后，系統(tǒng)出現(xiàn)了正、負(fù)顧客兩種類型，系統(tǒng)的服務(wù)機(jī)制是一次只服務(wù)一位顧客的單服務(wù)臺系統(tǒng)，最大服務(wù)量為N,如果系統(tǒng)中的正顧客數(shù)大于規(guī)定的臨界值，就不容許再有正顧客進(jìn)入.

模型的具體規(guī)定如下：

相互獨(dú)立且都服從兩點(diǎn)分布.則X為到達(dá)的這批顧客的總數(shù)量，其概率分布為：

為方便起見，記mn=P(X=n),0≤n≤N.這里mn=P(X=n)≥0.

2)服務(wù)臺對成批次到達(dá)的正顧客的服務(wù)順序是按到達(dá)的先后順序進(jìn)行服務(wù).服務(wù)臺對每批次中的顧客施行隨機(jī)選擇的形式服務(wù)，且服務(wù)顧客的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布.

3)系統(tǒng)中有工作休假和忙期兩種狀態(tài)。忙期時(shí)，系統(tǒng)服務(wù)顧客的效率μb是正常的，忙期結(jié)束后系統(tǒng)為空時(shí)，會進(jìn)入一個(gè)時(shí)長為V的工作休假期，且隨機(jī)時(shí)長且服從參數(shù)為θ的負(fù)指數(shù)分布，假期內(nèi)到達(dá)的顧客也接受服務(wù)，但服務(wù)的效率μV(μV<μb)會比忙期低.如果一個(gè)時(shí)長的休假期結(jié)束后，系統(tǒng)是空的，那么將繼續(xù)一個(gè)完全相同時(shí)長的休假；反之，如果一個(gè)假期結(jié)束時(shí)系統(tǒng)不是空的，那么結(jié)束假期進(jìn)入忙期，當(dāng)系統(tǒng)不再有顧客時(shí)，結(jié)束.兩種狀態(tài)下系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布.顧客結(jié)束服務(wù)后可能會直接離開，也可能繼續(xù)反饋到隊(duì)尾等待第二次服務(wù)，設(shè)直接離開的概率為p(0

4)設(shè)定負(fù)顧客到達(dá)率為ε，負(fù)顧客的出現(xiàn)會消除排在第一的正顧客，且一抵一消除，否則會自行消失.

5)在排隊(duì)等待的顧客會因隊(duì)長而不耐煩，而選擇中途退出.設(shè)定顧客在系統(tǒng)內(nèi)停留的時(shí)間分布是負(fù)指數(shù)分布，參數(shù)為α，則有顧客在系統(tǒng)忙期時(shí)的中途退出率為

r(n)=(n-1)α,2≤n≤N

相應(yīng)地，顧客在系統(tǒng)工作休假期的中途退出率為

r(n)=nα,1≤n≤N

6)本模型中只設(shè)置一個(gè)服務(wù)臺，一次只服務(wù)一個(gè)顧客，顧客進(jìn)入系統(tǒng)如無其他顧客，則會馬上接受服務(wù)，否則需要等待.服務(wù)過程與到達(dá)過程是相互獨(dú)立的.

假定服務(wù)過程與到達(dá)過程且以上各隨機(jī)變量間均相互獨(dú)立.

2 穩(wěn)態(tài)概率方程組

令L(t)表示系統(tǒng)在t時(shí)刻的隊(duì)列長(顧客數(shù))，t≥0.令J(t)表示服務(wù)員在t時(shí)刻的服務(wù)狀態(tài)，有：

則{L(t),J(t),t≥0}為二維馬爾科夫過程，其空間狀態(tài)為

Ω={(n,0):0≤n≤N∪(n,1):1≤n≤N}

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率定義如下：

由馬爾科夫過程理論可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足的方程組為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

[pμb+ε+(N-1)α]P1(N)

(6)

其中，方程(1)-(3)代表顧客在系統(tǒng)休假期間到達(dá)系統(tǒng)時(shí)的狀態(tài)變化情況，方程(4)-(6)代表系統(tǒng)由休假期進(jìn)入忙期的情況.

3 穩(wěn)態(tài)概率的矩陣解法

用下列分塊矩陣表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率的矩陣

其中

注A1是N+1階方陣；B是(N+1)×N階矩陣；C是N×(N+1)階矩陣；A2是N階矩陣；O1為N維零行向量；O2為N-1維零列向量；O3為(N-1)×N階零矩陣；EN是N階單位陣.

證明參見文獻(xiàn)[12].

定理1將A1寫成如下分塊矩陣

證明完畢.

證明 記DN=|A2|，考慮到DN的形式可得出，把DN的其它N-1列都加到第一列上，再將第一列按展開法展開得出DN=-(μb+ε)DN-1，其中DN-1是比DN的低一階的具有相同結(jié)構(gòu)的行列式.

同理可得:

DN-i=-(μb+ε+iα)DN-i-1,1≤i≤N-2

D1=-[pμb+ε+(N-1)α]

證明完畢.

記εn(1≤n≤N)為N維單位列向量，eN+1和eN依次為元素均為1的N+1維、N維列向量，e代表元素均為1的2N+1維列向量.

定理3系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率為

P0(0)=δ

(7)

(8)

(9)

證明 定義穩(wěn)態(tài)向量

P0=(P0(0),P0(1),…,P0(N)),P1=(P1(1),…,P1(N))

記P=(P0,P1)，穩(wěn)態(tài)向量滿足：

(10)

用分塊矩陣的形式(10)式可以表示為

(11)

P0eN+1+P1eN=1

(12)

將(11)式展開得

(15)

從而得到：

(16)

由此得：

(17)

由(14)式得

展開并將(16)式代入可得

(18)

將(17)和(18)式代入(12)式可得

(19)

把(19)式代入(17)、(18)式整理可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率為

證明完畢.

4 系統(tǒng)的性能指標(biāo)

1)服務(wù)員處在忙期的概率

(20)

2)服務(wù)員工作休假的概率

(21)

3)系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長

(22)

4)系統(tǒng)的平均隊(duì)長

(23)

5)顧客的平均止步率

(24)

6)平均的中途離去率

7)顧客的消失概率

5 結(jié)論

由于多重工作休假系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中復(fù)雜多變，將簡單的休假模型做了復(fù)雜化的處理，添加了批量到達(dá)、負(fù)顧客、止步和中途退出四個(gè)實(shí)際中的控制因素，建立了一個(gè)多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)的新模型，通過運(yùn)用基本的排隊(duì)理論和方法得出了新模型的一系列重要的性能指標(biāo)，這為該模型的實(shí)際運(yùn)用提供的理論依據(jù)，同時(shí)為工作休假進(jìn)一步深入的研究也提供了參考.