諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)柔輪應(yīng)力的數(shù)值建模與分析

穆塔里夫·阿赫邁德，張偉國(guó)，孫光耀，陶興偉

(1.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，新疆烏魯木齊 830047；2.新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院，新疆烏魯木齊 830047)

0 前言

諧波齒輪傳動(dòng)是一種依靠彈性變形運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)齒輪間嚙合的新型機(jī)構(gòu)，主要由柔輪、剛輪和波發(fā)生器三部分組成，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、零件少、體積小、質(zhì)量輕、同時(shí)嚙合齒數(shù)多、傳動(dòng)平穩(wěn)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、側(cè)隙小、精度高、承載力高、噪聲低和同軸性好的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車(chē)、精密光學(xué)設(shè)備和醫(yī)療器械等工業(yè)領(lǐng)域[1-2]。在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，橢圓形的波發(fā)生器使柔輪發(fā)生較大變形且與剛輪接觸，而柔輪和剛輪的每個(gè)輪齒都要進(jìn)行嚙合[3]。由于諧波齒輪傳動(dòng)具有循環(huán)周期性，在嚙合過(guò)程中，柔輪的齒根部位會(huì)隨著周期性的嚙合而容易發(fā)生疲勞破壞。因此，研究齒根的疲勞強(qiáng)度很有必要。為研究柔輪齒根的疲勞強(qiáng)度，需要對(duì)其齒根的應(yīng)力進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量。測(cè)量過(guò)程中，由于諧波齒輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，測(cè)量的精度很難保證[4]。許多學(xué)者也對(duì)此進(jìn)行了研究。牟如強(qiáng)[5]對(duì)諧波齒輪圓柱形齒輪進(jìn)行應(yīng)力分析，發(fā)現(xiàn)柔輪的變形量和最大應(yīng)力越小、過(guò)盈量越小，諧波齒輪的使用壽命越長(zhǎng)。陳茜等人[6]研究了在制造諧波齒輪時(shí)，各種誤差對(duì)柔輪齒面應(yīng)力的影響問(wèn)題，提出了不同的補(bǔ)償方案。陳曉霞等[7]研究了漸開(kāi)線諧波齒輪的裝配應(yīng)力。蔣倩倩等[8]研究諧波齒輪傳動(dòng)齒廓對(duì)柔輪應(yīng)力的影響。邱建喜等[9]對(duì)諧波減速器柔輪存在的疲勞問(wèn)題進(jìn)行了分析，并對(duì)其性能進(jìn)行優(yōu)化，提高了柔輪的使用壽命。

本文作者以柔性軸承波發(fā)生器杯型柔輪諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為對(duì)象，對(duì)波發(fā)生器滾球、外圈和柔輪內(nèi)圈的油膜進(jìn)行模型簡(jiǎn)化并對(duì)其進(jìn)行三維數(shù)值建模；對(duì)柔輪和剛輪在不同嚙合深度時(shí)添加接觸單元，用商用分析軟件FAST進(jìn)行應(yīng)力分析，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值在定性和定量方面吻合性較好。

1 諧波齒輪系統(tǒng)數(shù)值建模

1.1 諧波齒輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

杯型諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)剖面圖如圖1所示，在系統(tǒng)的中間，柔性軸承波發(fā)生器是橢圓形狀，其外圈與柔輪接觸，接觸面有一層較薄的油膜。在波發(fā)生器的長(zhǎng)軸處，柔輪與波發(fā)生器的軸承外圈緊密接觸；在短軸處，發(fā)生器與柔輪不接觸且有許多滾球環(huán)繞。在系統(tǒng)中，波發(fā)生器存在3種主要的接觸：通過(guò)軸承的滾球與軸承的內(nèi)圈接觸、滾球的外圈通過(guò)油膜與柔輪接觸、柔輪與剛輪接觸。本文作者主要對(duì)柔輪與剛輪接觸進(jìn)行建模和數(shù)值計(jì)算。

圖1 諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的剖面圖

1.2 滾球的計(jì)算模型

諧波齒輪的轉(zhuǎn)矩是通過(guò)波發(fā)生器軸承的滾球與柔性齒輪的內(nèi)外圈接觸傳遞的，可以將此傳遞轉(zhuǎn)矩的模型簡(jiǎn)化成彈簧進(jìn)行建模計(jì)算。彈簧的彈性系數(shù)可以通過(guò)赫茲彈性接觸理論進(jìn)行估值計(jì)算，彈性系數(shù)的值與接觸載荷有關(guān)。邱建喜等[9]通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)證明滾球的接觸載荷幅值變化不明顯，故可取其均值以確定彈性模量，彈簧模型的位移表達(dá)式為

F=-k(d-Δ)

(1)

式中：F為彈簧的力；k為彈簧常數(shù)；d為彈簧的位移；Δ為軸承的徑向間隙。

1.3 油膜的計(jì)算模型

在對(duì)油膜進(jìn)行數(shù)值建模時(shí)，采用16節(jié)點(diǎn)的等參數(shù)單元法，這是因?yàn)槿彷喤c剛輪只有在接觸時(shí)該單元才從模型插入，分離時(shí)該單元將移除。采用此節(jié)點(diǎn)法,參數(shù)單元、節(jié)點(diǎn)總數(shù)和節(jié)點(diǎn)順序不會(huì)因?yàn)橛湍訂卧慕佑|而發(fā)生改變。該單元只在油膜的法向傳遞法向力，不傳遞剪切力。故可采用空間極坐標(biāo)系，對(duì)材料常數(shù)進(jìn)行確定[10],如式(2)所示：

(2)

式中：Err為徑向彈性模量；Eθθ為周向彈性模量；Grθ為剪切彈性模量。

1.4 剛輪與柔輪的接觸單元

在剛輪和柔輪相互嚙合時(shí)插入接觸單元，并計(jì)算嚙合過(guò)程中齒輪所受的總法向力，用它來(lái)評(píng)估齒輪在嚙合過(guò)程中的柔輪應(yīng)力情況。若計(jì)算的總法向力為負(fù)值，則表示柔輪與剛輪相嚙合；若為正值，則表示不接觸，即研究的某對(duì)柔輪與剛輪沒(méi)有嚙合。假設(shè)該單元的彈性模量E=206 GPa。柔輪的轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)使柔輪與剛輪在嚙合時(shí)的接觸區(qū)域發(fā)生改變。圖2所示為柔輪與剛輪在不同嚙合深度時(shí)對(duì)接觸單元的影響。由于剛輪尺寸較厚，可認(rèn)為剛輪為剛體，故認(rèn)為剛輪的接觸變形可忽略不計(jì)。即剛輪的變形位移可設(shè)為0,則可簡(jiǎn)化模型以方便計(jì)算。

圖2 插入接觸單元時(shí)柔輪與剛輪不同嚙合深度時(shí)的情況

1.5 諧波齒輪系統(tǒng)有限元模型

簡(jiǎn)化后的杯型諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三維模型如圖3所示。當(dāng)輸入不同的轉(zhuǎn)矩時(shí)，軸承的滾球接觸個(gè)數(shù)不同。當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩為0時(shí)，接觸滾動(dòng)球的個(gè)數(shù)為9；當(dāng)轉(zhuǎn)矩為329 N·m時(shí)，共有13個(gè)球與之接觸。故可以將滾球簡(jiǎn)化成一條線，將橢圓形的波發(fā)生器作為軸承內(nèi)圈的邊界條件。

圖3 諧波齒輪的簡(jiǎn)化模型

2 計(jì)算結(jié)果與分析

通過(guò)分析諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中柔輪與剛輪之間插入的接觸單元，可知在兩輪間插入接觸單元之前，兩輪輪齒間有重疊；插入接觸單元之后，兩輪齒無(wú)重疊且接觸平滑。

對(duì)柔輪長(zhǎng)軸及其周?chē)淖冃吻闆r進(jìn)行研究，如圖4所示，不考慮接觸單元時(shí)柔輪的半徑大于考慮接觸單元時(shí)的半徑。如果不考慮接觸問(wèn)題，則柔輪將自由變形而不受剛輪的約束。通過(guò)引入接觸單元，柔輪的變形將受到剛輪的限制而變小，有接觸單元時(shí)的變形量與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。圖5所示為輸入轉(zhuǎn)矩為329 N·m時(shí)，柔輪長(zhǎng)軸附近的應(yīng)力分布情況?？芍涸谌彷嗛L(zhǎng)軸左側(cè)產(chǎn)生了較大的拉應(yīng)力，而在右側(cè)則出現(xiàn)了壓應(yīng)力，這是該類(lèi)結(jié)構(gòu)件的典型特征，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相吻合。隨著波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)，柔輪的應(yīng)力呈周期性變化，即拉應(yīng)力到壓應(yīng)力呈對(duì)稱性，這樣很容易引起諧波齒輪系統(tǒng)的零件產(chǎn)生疲勞，并最終失效。在柔輪的開(kāi)口部，拉、壓應(yīng)力都會(huì)達(dá)到最大值，該部位疲勞情況非常嚴(yán)重。

圖4 柔輪長(zhǎng)軸周?chē)霃?/p>

圖5 柔輪的周向應(yīng)力分布

圖6所示為在柔輪上半部0～180°內(nèi)，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩為329 N·m時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值計(jì)算所得的柔輪齒根部周向應(yīng)力分布情況，其下半部的應(yīng)力分布與圖6對(duì)稱。可知：實(shí)驗(yàn)測(cè)得的周向應(yīng)力在柔輪長(zhǎng)軸(角度為90°時(shí))兩邊形成2個(gè)波峰，最大值大約為450 MPa，在110°線附近；而數(shù)值計(jì)算結(jié)果中，周向應(yīng)力在110°線附近也有2個(gè)波峰，其最大值約為400 MPa，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很相近。這表明，有限元方法能夠定量地估算柔輪的應(yīng)力分布。

圖6 柔輪輪齒根部的周向應(yīng)力分布

采用同樣的方法進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩增加時(shí)，所得到的柔輪齒根應(yīng)力變化規(guī)律與圖6所示的應(yīng)力分布極為相似。當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩達(dá)到極限值時(shí)，雖然此時(shí)的應(yīng)力分布情況也很相似，但其應(yīng)力值卻有較大提升。在這種臨界狀態(tài)下，用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)量柔輪齒根部的應(yīng)力分布非常困難，然而用數(shù)值模擬的方法估算任意載荷下柔輪的應(yīng)力狀態(tài)卻非常容易。

3 結(jié)論

(1)用彈簧近似和接觸單元的方法對(duì)諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了有限元數(shù)值建模，通過(guò)收斂分析得到了計(jì)算結(jié)果；

(2)對(duì)柔輪齒根部的應(yīng)力分布進(jìn)行了定量的有限元數(shù)值模擬；

(3)通過(guò)彈簧近似法和接觸單元法得到的諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中柔輪的應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，利用該方法可對(duì)柔輪的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并為諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考。