一種三自由度弱耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

謝俊，左飛飛，楊啟志，李玉萍

(1.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013；2.江蘇大學(xué)農(nóng)業(yè)裝備工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

0 前言

兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(Two Translation and One Rotation, 2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)兼顧移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)輸出特性，在生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用廣泛。毛軍華、薛城等人[1-2]研究了2T1R型并聯(lián)康復(fù)機(jī)器人；王成軍、謝俊、汪志煥等[3-5]將2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于物料篩分領(lǐng)域。在機(jī)構(gòu)學(xué)研究方面，黃秀琴等[6]對(duì)2T1R新構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析；劉延斌、董倩文等[7-8]針對(duì)一種3-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性；鄧嘉鳴等[9]研究了(RPa‖3R)-R+RSS型無寄生運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。在機(jī)構(gòu)耦合研究方面，馬履中等[10]研究了三平移弱耦合并聯(lián)機(jī)器人；范彩霞等[11]對(duì)完全解耦型2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；TIAN、沈惠平[12-13]等研究了3T1R機(jī)構(gòu)的耦合度和解耦特性。

上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要存在兩個(gè)問題：(1)未兼顧機(jī)構(gòu)耦合度與解耦分析，使得所設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的簡(jiǎn)化與控制方式的解耦，不利于機(jī)構(gòu)的快速設(shè)計(jì)與應(yīng)用；(2)解耦分析未涉及控制方式耦合程度的判別，輸入-輸出控制方式的解耦特性不明確。

基于方位特征集理論，本文作者提出一種2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度為1，位置分析所需聯(lián)立的運(yùn)動(dòng)支鏈數(shù)較少；基于位置分析求解動(dòng)平臺(tái)工作空間和Jacobian矩陣，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束動(dòng)平臺(tái)輸出三自由度運(yùn)動(dòng)的前提下，3種輸入-輸出控制方式解耦。此外，文中還對(duì)該機(jī)構(gòu)速度和加速度進(jìn)行了研究。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)基于方位特征集(Position and Orientation Characteristic, POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論[14]，文中提出的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)1、靜平臺(tái)0和單開鏈(Single Opened Chain, SOC)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ組成，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為PRR+2-PRRU。

如圖1所示，單開鏈Ⅰ(P1‖R1‖R2-U1)的結(jié)構(gòu)等價(jià)于(P1‖R1‖R2‖R11⊥R12)，單開鏈Ⅱ(P2‖R3‖R4-U2)的結(jié)構(gòu)等價(jià)于(P2‖R3‖R4‖R21⊥R22)，單開鏈Ⅲ結(jié)構(gòu)為(P3‖R5‖R6)。靜平臺(tái)0上各移動(dòng)副軸線布置關(guān)系為：移動(dòng)副P1、P2、P3分別沿x軸、z軸、y軸方向布置，此外，移動(dòng)副P1、P2、P3軸線兩兩垂直。

圖1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程[14]分別為

(1)

(2)

式中：Msj為支鏈中第j個(gè)子SOC的POC集,j=1,2,…,k；Mbi為第i條支鏈末端的POC集,i=1,2,…,g；Mpa為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集。

(1)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

如圖1所示，組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3條單開鏈Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分別為

SOC1{-P1‖R1‖R2-U1-}

SOC2{-P2‖R3‖R4-U2-}

SOC3{-P3‖R5‖R6-}

靜平臺(tái)0上，以單開鏈Ⅲ末端點(diǎn)O′為基點(diǎn)進(jìn)行分析。

(2)確定各支鏈POC集

由式(1)可知：

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全周自由度公式[14]為

(3)

其中：

(4)

(3)確定各支路獨(dú)立方程數(shù)ξLj

該機(jī)構(gòu)可分解為2個(gè)獨(dú)立回路，其組成分別為

SOC1{-P1‖R1‖R2-U1-P3‖R5‖R6-}

SOC2{-P2‖R3‖R4-U2-}

它們的獨(dú)立位移方程數(shù)計(jì)算如下：

單開鏈Ⅰ和Ⅲ組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)成第1個(gè)獨(dú)立回路，由式(4)可得：

ξL1=dim.{Mb1∪Mb3}=

由式(2)可知該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集：

上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)與單開鏈SOC2組成第2個(gè)獨(dú)立回路，由式(4)可得

ξL2=dim.{Mpa(1-3)∪Mb2}=

(4)確定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度

由式(3)可得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為

因此，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為3。由驅(qū)動(dòng)副存在準(zhǔn)則[14]選取靜平臺(tái)0上P1、P2、P3為驅(qū)動(dòng)副。如圖1所示，驅(qū)動(dòng)副P1、P2、P3提供往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，通過并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束動(dòng)平臺(tái)輸出2T1R三自由度運(yùn)動(dòng)。

1.3 機(jī)構(gòu)耦合度κ分析

由基于單開鏈單元的機(jī)構(gòu)組成原理[14]可知，任意機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)基本運(yùn)動(dòng)鏈；而ν個(gè)獨(dú)立回路的基本運(yùn)動(dòng)鏈可進(jìn)一步分解為ν個(gè)單開鏈SOC(Δj) (j=1,2,…,ν),而第j個(gè)單開鏈(SOCj)的約束度定義為

(5)

其中:

式中：mj為第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；Ij為第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)。

由∑Δj=0可知，基本運(yùn)動(dòng)鏈的耦合度κ定義為

(6)

耦合度[14]κ與機(jī)構(gòu)構(gòu)型的復(fù)雜程度有關(guān)，它反映各運(yùn)動(dòng)回路變量間的依賴程度：

(1)當(dāng)κ=0時(shí)，機(jī)構(gòu)基本運(yùn)動(dòng)鏈間完全解耦，其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析可單獨(dú)求解。

(2)當(dāng)κ>0時(shí)，機(jī)構(gòu)基本運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析需聯(lián)立多個(gè)回路求解。

特別的，當(dāng)κ=1的多回路機(jī)構(gòu)，可用一維搜索法得到位置分析的全部實(shí)數(shù)解。

第1.2節(jié)已計(jì)算出2個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)，分別為ξL1=ξL2=5，且各回路驅(qū)動(dòng)副數(shù)目分別為I1=2、I2=1，由式(5)可知約束度Δ1、Δ2分別為

Δ1+Δ2=0→BKC=1

即該機(jī)構(gòu)基本運(yùn)動(dòng)鏈數(shù)為1。由式(6)可知該機(jī)構(gòu)耦合度κ為1，即該機(jī)構(gòu)位置分析的全部實(shí)數(shù)解可用一維搜索法得到。

2 位置分析

2.1 坐標(biāo)系的建立

如圖2所示，靜平臺(tái)0與動(dòng)平臺(tái)1均為矩形，二者平行布置，動(dòng)平臺(tái)1位于靜平臺(tái)0正上方，且相距為L(zhǎng)0；以動(dòng)平臺(tái)1中心P為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系{P}：P-uvw，且u軸平行于動(dòng)平臺(tái)長(zhǎng)度方向，并指向A2，w軸豎直向上垂直于動(dòng)平臺(tái)，v軸由右手定則確定；同理以靜平臺(tái)0中心O為原點(diǎn)建立定坐標(biāo)系{O}：O-xyz。設(shè)驅(qū)動(dòng)副P1運(yùn)動(dòng)量為X，驅(qū)動(dòng)副P2運(yùn)動(dòng)量為Z時(shí)，動(dòng)平臺(tái)與x軸夾角為β，連桿A2B2、連桿B2C2與連桿A3B3與x軸的夾角分別為θR4、θR3和θR5。

圖2 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：靜平臺(tái)0長(zhǎng)為2l1，寬為2l2，動(dòng)平臺(tái)1長(zhǎng)為2l3，寬為2l4；其他尺寸B3C3=l5，A3B3=l6，A2B2=l7，B2C2=l8，C2D2=l9。

2.2 位置正解分析

機(jī)構(gòu)位置正解[15]即已知該機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)，求解動(dòng)平臺(tái)的位姿(x,y,β)。

(1)x、y求解

如圖1所示，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，移動(dòng)副P1的移動(dòng)量即為動(dòng)平臺(tái)沿u軸向的移動(dòng)量，則有：

x=X

(7)

如圖2所示，在定系{O}中C3=(-l1,Y,0)，B3=(-l1,Y,l5)，在動(dòng)系{P}中A3=(0,-l4,0)。將點(diǎn)A3變換至定系{O}中：

(8)

(9)

進(jìn)一步，式(9)整理可得：

(10)

(2)β求解

如圖2所示，由單開鏈Ⅱ與單開鏈Ⅲ在x軸與z軸方向的投影，單開鏈Ⅰ與單開鏈Ⅱ在x軸方向的投影組成的封閉回路[16-18]，可建立如下方程：

l5+l6sinθR5+l3sinβ=L0+Z

(11)

l6cosθR5+l3cosβ+l7cosθR4+l8cosθR3+l9=2l1

(12)

l9+l8cosθR3+l7cosθR4+l3cosβ=l1+X

(13)

將式(13)整理為l8cosθR3+l7cosθR4=l1+X-l9-l3cosβ，并代入式(12)中，整理可得：

(14)

進(jìn)一步，將式(14)各式平方后相加可得：

(15)

進(jìn)一步，整理式(15)可得：

Asin2β+Bsinβ+C=0

(16)

其中：

解式(16)可得：

(17)

即有：

β=arcsinU

(18)

2.3 位置反解分析

機(jī)構(gòu)位置反解即已知?jiǎng)悠脚_(tái)位姿(x,y,β)，反求該機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)。

(1)X、Y求解

(19)

(2)Z求解

由式(15)可知：

(L0+Z-l5)2+d(L0+Z-l5)+e=0

(20)

其中：

解式(20)可得：

(21)

即有：

Z=u+l5-L0

(22)

2.4 位置分析算例

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：l1=400 mm，l2=370 mm，l3=150 mm，l4=75 mm，l5=185 mm，l6=560 mm，l7=165 mm，l8=60 mm，l9=210 mm，L0=415 mm。根據(jù)三維建模與實(shí)際裝配情況，式(10)與式(21)中的符號(hào)“±”選“+”，式(17)與式(19)中的符號(hào)“±”選“-”，通過MATLAB[19-20]驗(yàn)證所得位置正反解方程正確性。仿真步驟如下：

(1)設(shè)置輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)；

(2)將輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)代入正解模型，計(jì)算得正解參數(shù)(x,y,β)；

(3)將正解參數(shù)(x,y,β)代入反解模型，計(jì)算得反解參數(shù)(X′,Y′,Z′)；

(4)計(jì)算所得反解參數(shù)(X′,Y′,Z′)與輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)的差值；

(5)根據(jù)差值判斷位置分析正確性。

經(jīng)上述仿真步驟，可得位置分析算例，如表1所示：由正反解方程所得的反解參數(shù)(X′,Y′,Z′)與輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)差值為0，即所得位置正反解方程正確。

表1 位置分析算例

3 工作空間

工作空間即滿足約束條件的機(jī)構(gòu)末端參考點(diǎn)集，假設(shè)桿件在運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生干涉，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，使用極限邊界法求解機(jī)構(gòu)工作空間，具體步驟如下：

(1)根據(jù)第2.4節(jié)設(shè)置機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)；

(2)設(shè)定驅(qū)動(dòng)副輸入?yún)?shù)(X,Y,Z)的搜索區(qū)間為X∈[-100 mm,0]，Y∈[-250 mm,250 mm]，Z∈[-150 mm,150 mm]；

(3)由幾何約束，求解約束方程：

(4)將步驟(1)和步驟(2)代入位置正解方程中，求解動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)，并由步驟(3)所示的約束條件對(duì)位姿參數(shù)進(jìn)行篩選。

依次重復(fù)步驟(1)—步驟(4)，并以步長(zhǎng)ΔX、ΔY、ΔZ在驅(qū)動(dòng)副行程內(nèi)進(jìn)行搜索，當(dāng)?shù)竭_(dá)驅(qū)動(dòng)副行程邊界時(shí)結(jié)束，最后利用MATLAB軟件記錄并輸出所有滿足約束條件的點(diǎn)集，所得機(jī)構(gòu)三維工作空間如圖3所示。

由圖3和圖4可知，在X∈[-100 mm,0]范圍內(nèi)，y-β截面工作空間凹凸有界，邊界內(nèi)部區(qū)域連續(xù)無空洞。隨著x值的增大，截面面積朝y軸正向逐漸增大。

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維工作空間

圖4 工作空間y-β截面

4 解耦分析

4.1 耦合類型判斷

解耦即機(jī)構(gòu)某方向的運(yùn)動(dòng)僅受特定方向的驅(qū)動(dòng)影響，而其他方向的驅(qū)動(dòng)不影響該方向的運(yùn)動(dòng)[21]。隨著運(yùn)動(dòng)支鏈的增多，機(jī)構(gòu)耦合性增強(qiáng)，進(jìn)而影響機(jī)構(gòu)的控制，降低運(yùn)動(dòng)精度，因此解耦分析是必要的。

(23)

整理式(23)，基于Jacobian矩陣可得如下形式：

(24)

式中:Jp和Jq分別為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正、逆Jacobian矩陣。

且有：

Jp=

根據(jù)耦合特性，GOGU[22]將并聯(lián)機(jī)構(gòu)分為4類：

(1)完全同性并聯(lián)機(jī)構(gòu)：Jacobian矩陣J為對(duì)角矩陣，且對(duì)角元素相同；

(2)去耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)：Jacobian矩陣J為對(duì)角矩陣，但對(duì)角元素不同；

(3)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)：Jacobian矩陣J為三角矩陣；

(4)若非上述三類，則為耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

由第1.2節(jié)和第2.1節(jié)可知，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿x、y、z軸的直線移動(dòng)輸入(X,Y,Z)產(chǎn)生沿x、y軸的平移和繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，使動(dòng)平臺(tái)輸出三自由度運(yùn)動(dòng)(x,y,β)。在保證動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)(x,y,β)的前提下共有7種輸入-輸出控制方式：

(1)X-x，即保持輸入(Y,Z)不變，改變輸入X，研究輸入X與輸出x間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(2)Y-y，即保持輸入(X,Z)不變，改變輸入Y，研究輸入Y與輸出y間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(3)Z-β,即保持輸入(X,Y)不變，改變輸入Z，研究輸入Z與輸出β間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(4)(X,Y)-(x,y),即保持輸入Z不變，改變輸入(X,Y)，研究輸入(X,Y)與輸出(x,y)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(5)(X,Z)-(x,β),即保持輸入Y不變，改變輸入(X,Z)，研究輸入(X,Z)與輸出(x,β)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(6)(Y,Z)-(y,β),即保持輸入X不變，改變輸入(Y,Z)，研究輸入(Y,Z)與輸出(y,β)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(7)(X,Y,Z)-(x,y,β),即同時(shí)改變輸入(X,Y,Z)，研究輸入(X,Y,Z)與輸出(x,y,β)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由式(24)中的Jp可知，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)J矩陣屬于非對(duì)角、非三角矩陣，該機(jī)構(gòu)為耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)，即存在耦合輸入-輸出控制方式。

4.2 控制方式解耦分析

由式(24)的Jp可知，正Jacobian矩陣Jp的列反映輸入-輸出參數(shù)的映射關(guān)系。為進(jìn)一步研究機(jī)構(gòu)控制方式的解耦特性，根據(jù)Jacobian矩陣列的相關(guān)性[23]可知：

(25)

式(25)表示第i列與第j列向量所代表的輸入-輸出控制方式線性無關(guān)，即無耦合；

(26)

(27)

若G為對(duì)角矩陣，則機(jī)構(gòu)輸入-輸出控制方式完全解耦；反之則存在耦合，對(duì)應(yīng)輸入-輸出控制方式具有相關(guān)性。由式(27)可知：

5 速度與加速度正解分析

5.1 速度正解公式推導(dǎo)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，即Jp可逆，由式(24)可知，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度正解[24-25]為

(28)

5.2 加速度正解公式推導(dǎo)

將式(24)中各變量對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可得：

(29)

其中:

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，即Jp可逆，則該并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度正解為

(30)

5.3 速度與加速度仿真

圖5 動(dòng)平臺(tái)速度ADAMS仿真曲線

圖6 動(dòng)平臺(tái)加速度ADAMS仿真曲線

由圖5和圖6可知:該并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度與加速度曲線變化平穩(wěn)，無尖點(diǎn)，具有良好的動(dòng)力學(xué)性能。

6 結(jié)論

(1)基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論，提出一種新型2T1R弱耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)沿x軸、y軸的平移和繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度為1，降低了機(jī)構(gòu)位置正解的求解難度，通過MATLAB仿真對(duì)比反解參數(shù)與輸入?yún)?shù)，二者差值趨于0,體現(xiàn)了位置分析的合理性。

(3)基于位置正解分析該機(jī)構(gòu)的工作空間，發(fā)現(xiàn)其工作空間連續(xù)無空洞。

(4)基于Jacobian矩陣列的相關(guān)性，推得該機(jī)構(gòu)平動(dòng)輸入Y與平動(dòng)輸出x間存在耦合，3種輸入-輸出控制方式X-x、Z-β和(X,Z)-(x,β)解耦。

(5)速度與加速度曲線變化平穩(wěn)且無尖點(diǎn)，表明該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的動(dòng)力學(xué)性能。