參數(shù)不確定性下高效的可靠性靈敏度分析方法

陳志遠(yuǎn),李璐祎

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院,西安 710072

靈敏度分析是研究和分析系統(tǒng)或模型的狀態(tài)或輸出響應(yīng)對輸入?yún)?shù)和周圍條件的敏感性,它包括局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析通過保持參數(shù)在名義點(diǎn)處的值,每次改變一個輸入?yún)?shù)來檢查輸出的局部響應(yīng),因此它不能考慮輸入變量與其他輸入?yún)?shù)的交互影響對輸出響應(yīng)的影響。全局靈敏度分析可以綜合考慮基本變量在其不確定性范圍內(nèi)單獨(dú)變化以及與其他變量交互作用對輸出響應(yīng)的平均影響,因此在工程設(shè)計和概率安全評估中取得了廣泛的運(yùn)用。全局靈敏度分析起源于Cukier等于1973年提出的幾種不確定靈敏度指標(biāo),隨后得到了迅速發(fā)展,如Helton提出了非參數(shù)技術(shù),但該方法缺少模型的獨(dú)立性；為了度量輸入變量的不確定性對模型輸出方差的影響,Sobol、Saltelli等提出了基于方差的全局靈敏度指標(biāo),之后出現(xiàn)了各種各樣方差靈敏度簡明高效的計算方法,例如：高維模型替代法(RS-HDMR)、狀態(tài)相關(guān)參數(shù)法(SDP)、隨機(jī)平衡設(shè)計過程(RBD)、基于蒙特卡洛的數(shù)值模擬法(MCS)等。為了分析基本變量對輸出整體分布的影響,Borgonovo等提出了基于概率密度函數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)。Li等之后將靈敏度指標(biāo)引入到可靠性分析領(lǐng)域,提出了全局可靠性靈敏度指標(biāo)。接著Wei等在Li等的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對可靠性靈敏度的定義進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化,定義各輸入變量的主靈敏度和總靈敏度指標(biāo)。Yun等將分?jǐn)?shù)矩約束下的最大熵理論與Nataf轉(zhuǎn)換相結(jié)合提出了一種估計全局可靠性靈敏度指標(biāo)的方法；蔣獻(xiàn)等通過Edgeworth級數(shù)展開將失效概率矩獨(dú)立全局靈敏度指標(biāo)的求解轉(zhuǎn)化為輸出無條件及條件前四階整數(shù)矩的求解；Shi等提出了一種將稀疏網(wǎng)格技術(shù)與四矩法結(jié)合來估計全局可靠性靈敏度的方法。

上述方法都是在假設(shè)輸入變量的分布參數(shù)是已知的情況下進(jìn)行的,即只考慮了輸入變量的不確定性。然而在工程實際中,正如Xu等所分析的,由于數(shù)據(jù)缺乏或條件限制,導(dǎo)致輸入變量分布參數(shù)不能準(zhǔn)確確定,即分布參數(shù)也具有不確定性。分布參數(shù)不確定性被Ditlevsen、Haldar和Hajagos等稱為統(tǒng)計不確定性和二階不確定性。根據(jù)掌握的信息量多少,分布參數(shù)的不確定性通常可以采用區(qū)間、模糊隸屬函數(shù)、主觀概率密度函數(shù)等進(jìn)行描述。確定性分布參數(shù)下模型輸出統(tǒng)計特征是確定的,如均值和方差；而分布參數(shù)不確定性會導(dǎo)致輸出統(tǒng)計特征也具有不確定性,因而輸入對輸出的影響也是不確定的,并由輸入變量的不確定性和分布參數(shù)的不確定性同時控制。因此,在靈敏度分析過程中,為了準(zhǔn)確識別對輸出影響較大的輸入變量,就必須同時考慮輸入變量的分布參數(shù)在整個不確定范圍內(nèi)對模型的影響。

目前,關(guān)于分布參數(shù)不確定性情況下基于方差的靈敏度分析已有一些研究。實現(xiàn)分布參數(shù)不確定性下的靈敏度分析的一個基本方法是三層嵌套Monte Carlo(MC)抽樣方法。該方法將分布參數(shù)在外層進(jìn)行采樣,隨后在內(nèi)層進(jìn)行雙層循環(huán)抽樣以計算隨機(jī)輸入變量的靈敏度指標(biāo)。但是這種方法計算成本過于高,不能直接用于實際工程問題。隨后,Saltelli等通過引入單層循環(huán)MC抽樣將三層嵌套MC抽樣簡化為雙層嵌套抽樣,在一定程度上減少了計算量,但是對于實際工程問題來說計算量還是過于龐大。Li等通過將代理抽樣密度函數(shù)與單層MC相結(jié)合,進(jìn)一步將三層嵌套循環(huán)簡化為單層抽樣,能用較少的抽樣點(diǎn)得到精確的靈敏度估計結(jié)果。

以上都是參數(shù)不確定性下基于方差的全局靈敏度分析,這種靈敏度分析方法隱含地假設(shè)方差這一單一矩足以體現(xiàn)輸出的不確定性變化。但是,當(dāng)分布被描述為某個具體的數(shù)值時,必然會造成信息的缺失。另外,在可靠性分析領(lǐng)域,工程實際更關(guān)心失效概率。大多數(shù)小失效概率與輸出的尾部分布有關(guān),基本變量對輸出方差的影響并不等同于對失效概率的影響。Tang等利用失效概率(PFD)的互補(bǔ)累積分布函數(shù)定義PFD超過給定值的概率,分析了安全儀表系統(tǒng)(SIS)中具有截斷分布的認(rèn)知不確定輸入?yún)?shù)對超出概率的影響。Chabridon等將參數(shù)不確定性下失效概率分布的平均估計(PFP)作為一種新的安全度量進(jìn)行靈敏度分析,并提出了一種與自適應(yīng)重要抽樣相結(jié)合的PFP估計策略；但該方法對于多失效域與高維問題所需的計算量非常龐大,計算效率較低。因此,為了準(zhǔn)確評估參數(shù)不確定性下輸入變量對結(jié)構(gòu)失效概率的影響,就需要發(fā)展新的基于可靠性的靈敏度指標(biāo)及其求解高效的算法。

不同于基于方差的靈敏度分析,參數(shù)不確定性情況下基于可靠性的靈敏度分析一般需要在每個參數(shù)取值處重復(fù)進(jìn)行可靠性分析,計算量難以為工程實際所接受。尤其是對于小失效概率結(jié)構(gòu)系統(tǒng),提高可靠性靈敏度分析效率一直是一大難點(diǎn)。因此,本文主要研究參數(shù)不確定性下輸入變量高效的可靠性靈敏度分析方法。所提方法首先將基于可靠性的全局靈敏度指標(biāo)擴(kuò)展到輸入變量及其分布參數(shù)同時具有不確定性的情況,定義了參數(shù)不確定性情況下輸入變量的主靈敏度指標(biāo)以及總靈敏度指標(biāo)。然后借鑒文獻(xiàn)[40]中的基于方差的靈敏度指標(biāo)求解的單層抽樣方法,將參數(shù)不確定性情況下基于可靠性的靈敏度指標(biāo)求解過程中的三層嵌套可靠性分析簡化為單層抽樣分析,極大地減少參數(shù)不確定性下可靠性靈敏度分析的計算量,并針對小失效概率問題,進(jìn)一步將單層可靠性靈敏度分析與可靠性分析高效的重要抽樣(IS)以及截斷重要抽樣(TIS)結(jié)合起來。

本文所提方法的創(chuàng)新點(diǎn)分列如下：

1) 將基于方差的靈敏度分析的單層抽樣方法進(jìn)一步擴(kuò)展到可靠性分析領(lǐng)域。

2) 通過構(gòu)造合適的重要代理抽樣概率密度函數(shù)(Surrogate Sampling Probability Density Function,SS-PDF),將單層可靠性靈敏度分析與高效的IS和TIS方法結(jié)合起來,解決參數(shù)不確定性情況下小失效概率結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于可靠性的靈敏度分析計算代價大的問題。

1 參數(shù)不確定性下基于可靠性的全局靈敏度指標(biāo)

1.1 基于可靠性的全局靈敏度指標(biāo)

={:()≤}

(1)

相應(yīng)的失效域指示函數(shù)定義為()：

(2)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率可表示為

(3)

式中:表示輸入變量的維空間?；诳煽啃缘娜朱`敏度指標(biāo)定義為

f|)()d

(4)

式中:f|=(|)為消除不確定性下的條件失效概率;代表一個隨機(jī)基本變量或者一組隨機(jī)基本變量(,…,), 1≤≤…≤≤。

文獻(xiàn)[22]進(jìn)一步證明了：

(|)]}=[(|)]

(5)

式(5)表明：當(dāng)將看作是模型輸出時,輸入變量基于可靠性的全局靈敏度指標(biāo)就等同于失效域指示函數(shù)基于方差的全局靈敏度指標(biāo)；因此,文獻(xiàn)[25]中定義了正則化的可靠性靈敏度指標(biāo)：

(6)

其中單個輸入變量的主靈敏度指標(biāo)為

(7)

總靈敏度指標(biāo)為

(8)

式中:～為包含除了外的所有輸入變量。

1.2 參數(shù)不確定下全局靈敏度指標(biāo)定義

當(dāng)輸入變量=[,,…,]的分布參數(shù)受認(rèn)知不確定性影響,計算模型將會同時包括分布參數(shù)的認(rèn)知不確定性以及輸入變量的隨機(jī)不確定性。設(shè)=[,,…,]是輸入變量的維分布參數(shù),其中是輸入變量相應(yīng)的維分布參數(shù),且++…+=。分布參數(shù)的認(rèn)知不確定性可以有很多種表示形式,類似于文獻(xiàn)[30],本文采用概率密度函數(shù)()來描述輸入?yún)?shù)的認(rèn)知不確定性。對于一個由()產(chǎn)生的認(rèn)知參數(shù),隨機(jī)輸入變量是通過條件概率密度函數(shù)(|)產(chǎn)生的。

當(dāng)輸入變量的分布參數(shù)具有不確定性時,式(6)～式(8)中輸入變量對結(jié)構(gòu)失效影響的可靠性靈敏度指標(biāo)也不再是一個確定的值,而是一個隨著的分布參數(shù)的變化而變化的變量。為了準(zhǔn)確衡量參數(shù)不確定性下輸入變量對失效概率的影響,就需要全面考慮輸入變量在整個參數(shù)空間內(nèi)對失效概率的平均影響。因此,分布參數(shù)不確定性下輸入變量基于可靠性的主靈敏度和總靈敏度指標(biāo)表示為

(9)

(10)

式中:((|))=()是無條件方差。

2 參數(shù)不確定性下基于可靠性的靈敏度指標(biāo)的高效算法

式(9)、式(10)表明,參數(shù)不確定性下基于可靠性的靈敏度指標(biāo)的直接求解需要三層循環(huán)嵌套的可靠性分析。即使對于分母中的無條件方差(),也需要雙層嵌套的可靠性分析過程,即在外層通過認(rèn)知參數(shù)的邊緣密度函數(shù)對輸入變量的分布參數(shù)進(jìn)行抽樣,內(nèi)層在每一個參數(shù)的取值處進(jìn)行可靠性分析得到條件方差(|)。這種嵌套的可靠性分析由于計算量很大并不適用于工程實際問題中。本節(jié)提出了參數(shù)不確定性下基于可靠性的靈敏度指標(biāo)求解的3種高效算法。

2.1 代理抽樣蒙特卡洛法(S-MCS)

2.1.1 無條件方差的計算

其中無條件方差()可以轉(zhuǎn)化為

()=((|))=

(11)

(12)

式中:表示參數(shù)的維空間。

(13)

(14)

2.1.2 主靈敏度指標(biāo)和總靈敏度指標(biāo)的計算

將式(11)中的總方差公式應(yīng)用于(～(|))后可以得到：

((～(|))|)=

(15)

(16)

(17)

(～((|～))|)=

(18)

(19)

2.1.3 代理抽樣密度函數(shù)(SS-PDF)的選取

(20)

2.1.4 S-MCS抽樣步驟

(21)

(22)

2) 產(chǎn)生另一個×維樣本矩陣(),()中除第外的其他所有列是來自矩陣,第列中的元素是來自于矩陣:

(23)

3) 將矩陣、、()中的樣本代入輸出模型=()中,獲得相應(yīng)的輸出值：

=(),=(),()=(())

(24)

再判斷輸出值是否落在失效域={:()≤}內(nèi),求出相應(yīng)的指示函數(shù)：

F=(),F=(),F()=(())

(25)

4) 通過聯(lián)合概率密度函數(shù)()抽取的分布參數(shù)的個樣本：

(26)

(27)

(28)

(29)

則

(30)

可以看到盡管式(30)的求解是一個雙層嵌套抽樣形式,但是就功能函數(shù)的使用上而言,只是單層循環(huán)計算,總的計算量是(2+)。這和原始的三層循環(huán)嵌套抽樣的計算量(+)相比要小了很多。

2.2 代理重要抽樣法(S-IS)

2.2.1 代理重要抽樣密度函數(shù)

重要抽樣是通過重要抽樣概率密度函數(shù)()抽取樣本的,它的基本思想是：設(shè)計點(diǎn)是失效域中對失效概率貢獻(xiàn)最大的點(diǎn),因此選擇密度中心在設(shè)計點(diǎn)的密度函數(shù)作為重要抽樣密度函數(shù),可以使得抽取的樣本點(diǎn)有較大的概率落在對失效概率貢獻(xiàn)較大的區(qū)域,從而使得失效概率的估計值較快地收斂于真值。獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中原概率密度函數(shù)()與重要抽樣密度函數(shù)()的等密度線的對比如圖1所示。

圖1 fX(x)與ψX(x)的等密度線對比圖[43]Fig.1 Isodensity line comparison diagram of fX(x) and ψX(x)[43]

由一次二階矩方法或者其他方法得到設(shè)計點(diǎn)。

2.2.2 代理重要抽樣法

(31)

同樣,可以得到：

(32)

(33)

(34)

(35)

產(chǎn)生另一個×維樣本矩陣(),()中除第外的其他所有列是來自矩陣,第列中的元素是來自于矩陣:

(36)

將矩陣、、()中的樣本代入輸出模型=()中,獲得相應(yīng)的輸出值：

=(),=(),()=(())

(37)

再判斷輸出值是否落在失效域={:()≤}內(nèi),求出相應(yīng)的指示函數(shù)：

F=(),F=(),F()=(())

(38)

通過聯(lián)合概率密度函數(shù)()抽取的分布參數(shù)的個樣本：

(39)

(40)

(41)

()通過如式(42)計算：

(42)

則

(43)

與代理蒙特卡洛抽樣(S-MCS)方法相比,代理重要抽樣(S-IS)方法通過將代理抽樣密度函數(shù)的抽樣中心移動到設(shè)計點(diǎn),可以保證產(chǎn)生的大量樣本落入失效域內(nèi),因此更適合于解決參數(shù)不確定性下小失效概率結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性靈敏度分析問題。

2.3 代理截斷重要抽樣法(S-TIS)

圖2 二維情況下β球示意圖[43]Fig.2 Schematic diagram of β-sphere in two-dimensional cases[43]

超球內(nèi)安全樣本點(diǎn)功能函數(shù)的計算,從而達(dá)到在保證計算精度的同時提高可靠性分析效率的目的。

定義超球外區(qū)域內(nèi)的指示函數(shù)()為

(44)

則式(31)中的無條件方差()轉(zhuǎn)化為

(45)

與式(17)推導(dǎo)過程相同,可以得到：

(46)

(47)

(48)

(49)

產(chǎn)生另一個×維樣本矩陣(),()中除第外的其他所有列是來自矩陣,第列中的元素是來自于矩陣：

(50)

由式(44)判斷、、()中的樣本點(diǎn)是否落在球外,求出相應(yīng)的指示函數(shù)：

(51)

將矩陣、、()中篩選出的不為0的樣本分別記為′、′、′(),并代入輸出模型=()中,獲得相應(yīng)的輸出值：

(52)

判斷輸出值′、′和′()是否落在失效域={:()≤}內(nèi),求出相應(yīng)的指示函數(shù)：

(53)

對于矩陣、、()中為0的樣本無需代入模型中,直接在失效域指示函數(shù),和中相應(yīng)行插入0,由此得到完整的失效域指示函數(shù)矩陣F、F和F。

通過聯(lián)合概率密度函數(shù)()抽取的分布參數(shù)的個樣本：

(54)

(55)

(56)

()通過式(57)計算：

(57)

則

(58)

在上述步驟中,不需要計算那些落在球內(nèi)的樣本點(diǎn)的函數(shù)值,因此S-TIS方法能在不損失精度的情況下進(jìn)一步提高S-IS方法參數(shù)不確定性下全局可靠性靈敏度分析的效率。

3 算例分析

3.1 數(shù)值算例

考慮極限狀態(tài)函數(shù)：

由于算例1中的都服從于正態(tài)分布,所以選取的SS-PDF也服從于正態(tài)分布。根據(jù)SS-PDF的選取原則,算例1中所采用的SS-PDF服從的分布為～(4,45),(=1,2,3)。由AFOSM求解得到的設(shè)計點(diǎn)為(912,860,-108),因此S-IS和S-TIS方法采用的SS-PDF為～(912,45),～(860,45),～(-108,45)。

表1給出了用MCS、S-MCS、S-IS、S-TIS這4種方法計算的可靠性靈敏度指標(biāo),其中MCS方法為三層嵌套Monte Carlo抽樣法,其結(jié)果可以作為檢驗其他方法的參考解。為了方便對比,失效概率同樣也列入表中。為各個方法計算和所有變量可靠性靈敏度指標(biāo)時所需的樣本量(確保和的變異系數(shù)cov都小于0.1),最后一項模型調(diào)用次數(shù)是計算過程中調(diào)用功能函數(shù)計算的總次數(shù)。表中估計值后面括號里的數(shù)字為其相應(yīng)的變異系數(shù)cov,是通過對可靠性靈敏度指標(biāo)和失效概率循環(huán)計算50次求出的結(jié)果。對于三層循環(huán)嵌套蒙特卡洛法,給定輸入變量數(shù)=3,分布參數(shù)的樣本量=1 000,輸入變量的樣本量,則模型調(diào)用次數(shù)為(+)；對于S-MCS方法,模型總的調(diào)用次數(shù)為(2+)；而對于S-IS,S-TIS方法,設(shè)計點(diǎn)迭代優(yōu)化的次數(shù)=28,模型總的調(diào)用次數(shù)為(2+)+。

表1 4種方法的可靠性及可靠性靈敏度分析結(jié)果

從表1中可以看出,在失效概率比較小的情況下三層嵌套蒙特卡洛法(MCS)所調(diào)用的模型次數(shù)非常多,耗時很長；而代理抽樣蒙特卡洛法(S-MCS)通過把三層抽樣轉(zhuǎn)化為單層抽樣,大幅度減少了模型調(diào)用次數(shù)。代理重要抽樣法(S-IS)和代理截斷重要抽樣法(S-TIS)可以進(jìn)一步以更加少的樣本量提供準(zhǔn)確的可靠性靈敏度指標(biāo)。

圖3 3種方法求解的S1和收斂曲線Fig.3 Convergence curves of S1 and for three methods

圖4 4種方法計算可靠性靈敏度指標(biāo)對比圖(算例1)Fig.4 Comparison diagrams of reliability sensitivity indices for four methods (Case 1)

3.2 工程算例

在航空工程中,鈑金零件被廣泛使用,最常見的組裝方式是鉚接。鉚接過程中存在著許多影響鉚接質(zhì)量的因素,其中擠壓應(yīng)力是最主要的因素。擠壓應(yīng)力過高可能導(dǎo)致鉚接失效。因此,控制鉚接過程中的擠壓應(yīng)力對航空部件的安全具有重要意義。

真正的鉚接過程非常復(fù)雜,本文以無頭鉚釘為例,將鉚接過程簡化為圖5中的兩個階段。

在階段Ι,鉚釘從狀態(tài)A(鉚接前初始狀態(tài),無變形)到狀態(tài)B(中間狀態(tài),鉚釘和孔之間無間隙)。在階段Π,鉚釘由狀態(tài)B到狀態(tài)C(鉚接的最終狀態(tài),鉚釘頭部變形)。整個鉚接過程中假設(shè)鉚釘體積不變。

為了建立擠壓應(yīng)力和鉚釘尺寸間的關(guān)系,可以假設(shè)幾個理想條件：

1) 鉚接過程中鉚釘孔不擴(kuò)大。

2) 鉚釘體積的變化可以忽略。

3) 鉚接結(jié)束后,鉚釘頭部為圓柱狀。

4) 材料為各項同性。

鉚接前,鉚釘?shù)某跏俭w積可以表示為

(59)

式中:和為狀態(tài)A時鉚釘?shù)闹睆胶透叨取?/p>

經(jīng)過階段Ι,在狀態(tài)B時的鉚釘體積可以表示為

(60)

式中:和為狀態(tài)B時鉚釘?shù)闹睆胶透叨取?/p>

經(jīng)過階段Π,假設(shè)鉚釘在狀態(tài)C的上、下部分尺寸相同,則鉚釘在狀態(tài)C的體積可表示為

(61)

式中:為薄壁件的整體厚度;和分別為狀態(tài)C時鉚釘頭的直徑和高度。

根據(jù)硬化強(qiáng)度理論,方向的最大擠壓應(yīng)力可以表示為

=()

(62)

式中:為強(qiáng)度因子;為鉚釘材料的硬化因子;為鉚釘頭在鉚接過程中的真實應(yīng)變。由兩部分組成：釘桿的鐓粗階段(階段Ι)的應(yīng)變和鐓頭成形階段(階段Π)的應(yīng)變,所以真實應(yīng)變可以表示為

=+

(63)

假設(shè)鉚接過程中鉚釘?shù)捏w積不變,整理式(63) 可得到鉚釘?shù)淖畲髷D壓應(yīng)力為

(64)

文中選取鉚釘材料為2017—T4,其硬化指數(shù)=0.15,鐓頭高度=2.2 mm。根據(jù)材料手冊,鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度為=580 MPa,如果最大擠壓應(yīng)力大于擠壓強(qiáng)度,鉚釘就會出現(xiàn)失效,因此建立功能函數(shù)如下：

=-

(65)

圖5 簡化的鉚接過程Fig.5 Simplified riveting process

在整個鉚接過程中,鉚釘?shù)某叽绾筒牧系奶匦钥梢哉J(rèn)為是正態(tài)隨機(jī)變量,分布參數(shù)如表2所示。假設(shè)各輸入變量的均值也是正態(tài)變量,參數(shù)如表3所示。

表2 無頭鉚釘輸入變量的分布參數(shù)

表3 輸入變量均值的分布參數(shù)

為了使代理抽樣概率密度函數(shù)(SS-PDF)覆蓋整個輸入變量區(qū)間,在S-MCS中選定如下SS-PDF：～(5,06),～(20,08),～(51,05),～(5,07)。采用AFOSM求解得到的設(shè)計點(diǎn)為,因此S-IS和S-TIS方法中

采用的SS-PDF為～(446,07),～(55046,25)。

表4 4種方法的可靠性及可靠性靈敏度分析結(jié)果(算例2)

圖6 3種方法求解的Sd和的收斂曲線Fig.6 Convergence curves of Sd and for three methods

圖7 4種方法計算可靠性靈敏度指標(biāo)對比圖(算例2)Fig.7 Comparison diagrams of reliability sensitivity indices for four methods (Case 2)

圖8 屋架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 A roof truss

表5 屋架結(jié)構(gòu)輸入變量的分布參數(shù)

表6 輸入變量均值的分布參數(shù)

為了使代理抽樣概率密度函數(shù)覆蓋整個輸入變量區(qū)間,選定如下SS-PDF：～(20 000,1 100),～(12,032),～(982×10,(70×10)),～(004,0006),～(12×10,(462×10)),～(3×10, (3.52×10))。用AFOSM求解得到設(shè)計點(diǎn)

為(213 49,124,888×10,0032 4,1169×10,268×10),因此S-IS和S-TIS方法中采用的SS-PDF為～(21 349,1 100), ～(124,032),～(888×10,(70×10)),～(0032 4,0006)～(1169×10,(462×10))～(268×10,(352×10))。

表7 4種方法的可靠性及可靠性靈敏度分析結(jié)果(算例3)Table 7 Reliability and reliability sensitivity analysis results of four methods (Case 3)

4 結(jié) 論

1) 本文主要研究了參數(shù)不確定性下高效的可靠性靈敏度的分析方法。首先定義了參數(shù)不確定性下輸入變量基于可靠性的主靈敏度指標(biāo)以及總靈敏度指標(biāo),以衡量輸入變量的不確定性在整個參數(shù)空間中對失效概率的平均影響。然后,借鑒已有單層抽樣的思想,通過引入代理抽樣概率密度函數(shù)將參數(shù)不確定性下可靠性靈敏度指標(biāo)直接求解中的三層抽樣轉(zhuǎn)化為單層抽樣,大大減少了參數(shù)不確定情況下可靠性靈敏度指標(biāo)分析的計算量。并針對小失效概率可靠性問題,進(jìn)一步優(yōu)化代理抽樣密度函數(shù),并結(jié)合IS以及TIS思想,提出了更加高效的S-IS以及S-TIS方法。

2) 本文算例結(jié)果表明,和標(biāo)準(zhǔn)的三層循環(huán)嵌套抽樣蒙特卡洛法相比,S-MCS方法能不依賴于輸入變量及其參數(shù)的分布,以較少的計算量提供準(zhǔn)確的可靠性靈敏度指標(biāo),S-IS以及S-TIS方法通過將代理抽樣密度函數(shù)的抽樣中心移動到設(shè)計點(diǎn),保證產(chǎn)生的大量樣本落入失效域內(nèi),減少計算靈敏度指標(biāo)所需抽取的樣本量,S-TIS方法更是通過去掉超球內(nèi)的樣本點(diǎn)進(jìn)一步減少了計算量。另外,各算例的結(jié)果表明,變量單獨(dú)作用對失效概率產(chǎn)生的影響可以忽略不計,這可能因為對于小失效概率結(jié)構(gòu)系統(tǒng),落入失效域內(nèi)的樣本點(diǎn)較少,導(dǎo)致變量對失效概率的單獨(dú)作用影響也十分的小。

3) 在本文的S-IS以及S-TIS方法中,設(shè)計點(diǎn)是通過AFOSM數(shù)值計算得到的,對于高維問題來說其計算結(jié)果可能并不準(zhǔn)確,這會在一定程度上影響方法的效率和精度。為了解決這一問題,可以采用模擬退火、馬爾科夫鏈、遺傳算法等方法進(jìn)行設(shè)計點(diǎn)的優(yōu)化選取,使得可靠性靈敏度的計算更加可靠。