快速交叉驗證改進的運載火箭近似建模方法

文謙,楊家偉,武澤平,楊希祥,趙海龍,王志祥

國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,長沙 410073

運載火箭總體設(shè)計是涵蓋多學(xué)科的復(fù)雜系統(tǒng)工程,在其研制過程中需綜合考慮氣動、載荷、結(jié)構(gòu)、動力等多個因素。隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展,智能化設(shè)計方法逐漸成為主流,也對設(shè)計效率及精細化程度提出更高要求。同時工程仿真中常用的計算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics, CFD)和有限元分析在復(fù)雜構(gòu)型下計算耗時長,資源消耗多。因此亟需發(fā)展一套高精度,高效率的近似建模方法來縮短整箭的研制周期。近似建模是根據(jù)離散的訓(xùn)練樣本,采用插值或擬合的方法對模型在全變量域的輸出進行預(yù)測的技術(shù)。在復(fù)雜工程問題進行分析和優(yōu)化的過程中,通常采用近似模型作為原復(fù)雜耗時模型的代替,達到減少仿真次數(shù),提升設(shè)計效率的目標。

徑向基函數(shù)(Radial Basis Function,RBF)模型由Hardy在1971年首次提出,是以待測點與樣本點之間的歐氏距離為自變量的函數(shù),通過簡單基函數(shù)的線性組合來模擬復(fù)雜非線性模型的響應(yīng)特性,通過求解線性方程組得到基函數(shù)的系數(shù),實現(xiàn)對設(shè)計空間內(nèi)任意輸入?yún)?shù)的預(yù)測。RBF近似模型由于其原理簡單、操作方便,已成為眾多復(fù)雜耗時的工程設(shè)計問題中廣泛使用的近似模型之一。Jin等通過14個代表不同問題的算例對包括RBF在內(nèi)的4種方法進行了對比研究,結(jié)果表明RBF的精度和魯棒性最為可靠。為快速而又準確地獲取可信的近似模型,通常需要對基函數(shù)的形狀參數(shù)進行合理確定,以提升RBF近似模型預(yù)測精度。常用的形狀參數(shù)確定方法有按經(jīng)驗直接確定法和優(yōu)化形狀參數(shù)法等。直接確定法受樣本點在空間內(nèi)的分布影響,Kitayama和Yamazaki提出的非均勻形狀參數(shù)確定法是常用方法之一。優(yōu)化形狀參數(shù)法通過定義一定的精度評估指標(通常為交叉驗證誤差),將各基函數(shù)的形狀參數(shù)作為設(shè)計變量,尋求預(yù)測精度最高的形狀參數(shù)組合,能夠得到最合理的形狀參數(shù)取值,但由于每個基函數(shù)都有一個形狀參數(shù),隨著訓(xùn)練樣本的增多,優(yōu)化問題的規(guī)模也相應(yīng)增加。

交叉驗證是一種統(tǒng)計學(xué)和機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域估計模型泛化能力的方法,利用交叉驗證可以解決過擬合和欠擬合的問題,避免使用同一數(shù)據(jù)集既進行模型訓(xùn)練,又進行泛化誤差估計,能夠有效合理的評估近似模型的預(yù)測精度。交叉驗證方法由Wold首次提出,其基本思想是將原始數(shù)據(jù)分組,一組作為訓(xùn)練集訓(xùn)練模型,另一組為測試集來對模型做出評價,以驗證模型精度和泛化能力。在模型存在未知參數(shù)時,通過優(yōu)化未知模型參數(shù),使得交叉驗證誤差最小化,可實現(xiàn)預(yù)測模型與訓(xùn)練數(shù)據(jù)的匹配,從而提升預(yù)測模型性能。Van Gestel等證明了將交叉驗證法用于支持向量機(Support Vector Machine, SVM)和最小二乘支持向量機分類器(Least Squares SVM classifiers, LS-SVMs)的超參數(shù)選擇,兩者可以獲得相似的結(jié)果,為交叉驗證方法在近似建模領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。

目前近似建模領(lǐng)域常用的交叉驗證方法主要有簡單交叉驗證(Hold-out Cross-Validation, Hold-out CV)法、K-折交叉驗證方法(K-fold Cross-Validation, K-fold CV)法和留一交叉驗證(Leave-One-Out Cross-Validation, LOOCV)法。Hold-out CV法是將數(shù)據(jù)集分為2個子集,一個子集為測試集,而另一個子集則為訓(xùn)練集。該方法對數(shù)據(jù)的處理較為簡單,但對于原始數(shù)據(jù)進行隨機分組,得到的結(jié)果不精確,且不同分組情況所得到的結(jié)果波動很大,驗證結(jié)果不可復(fù)制。為了確保驗證結(jié)果可復(fù)制,降低驗證過程隨機性,提高樣本利用率,可選用LOOCV法。LOOCV法是將數(shù)據(jù)集中的個樣本輪流作為測試集,余下的-1個樣本作為訓(xùn)練集,按照此方法將得到個模型,計算次誤差。LOOCV法的優(yōu)點是幾乎將所有的樣本用于擬合模型,得到的結(jié)果近似無偏,不受數(shù)據(jù)集劃分方法的影響。該方法雖然是對樣本利用率最高的方法,但其計算成本過高,面對較大的數(shù)據(jù)集時,缺點明顯。通常在樣本容量較小時才會選用LOOCV法。近年來國內(nèi)的張英堂、劉學(xué)藝、李佳等逐漸開展了針對留一交叉驗證法求解效率提升的研究。但LOOCV法僅是K-折交叉驗證法的特例,面對不同問題的響應(yīng)特性和不同的樣本點散布,通用K-折交叉驗證方法是近似建模中不可回避的問題。目前針對任意的K-fold CV法求解效率問題鮮有研究。

本文利用樣本點局部密度實現(xiàn)將多個形狀參數(shù)確定轉(zhuǎn)換為縮放系數(shù)單一參數(shù)確定,建立通用快速交叉驗證方法實現(xiàn)縮放系數(shù)的高效求解,應(yīng)用于運載火箭智能設(shè)計過程中,提高近似模型求解效率及預(yù)測精度。

1 基于樣本局部密度的徑向基函數(shù)形狀參數(shù)計算方法

1.1 徑向基函數(shù)近似模型

基本徑向基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：為待預(yù)測樣本；為采樣點個數(shù)；為每個基函數(shù)的權(quán)系數(shù)；()是以未知樣本到已知樣本的歐式距離為自變量的基函數(shù)；表示樣本點距樣本點的歐氏距離,即

(2)

如式(3)所示,基函數(shù)()選用高斯函數(shù)

(3)

式中：為形狀參數(shù)。的值確定后,通過訓(xùn)練集合及其輸出代入式(1)中,求解線性方程組即可計算出當(dāng)前訓(xùn)練樣本對應(yīng)的基函數(shù)權(quán)系數(shù)矩陣

=

(4)

(5)

基函數(shù)系數(shù)決定后,針對任意樣本,利用式(1)可以得到相應(yīng)的預(yù)測輸出。任意不為0的代入上述過程,均可得到經(jīng)過所有訓(xùn)練樣本的近似模型,但不合理的會導(dǎo)致模型泛化能力差,所以需要合理確定。本文在分析形狀參數(shù)直觀意義的基礎(chǔ)上,提出了基于局部密度的形狀參數(shù)歸一化表征方法。

1.2 高斯徑向基函數(shù)形狀參數(shù)歸一化表征方法

RBF的核心過程在于確定形狀參數(shù)的值,直接影響數(shù)值試驗的誤差結(jié)果。而Rippa指出交叉驗證是估算形狀參數(shù)的一種有效方法,形狀參數(shù)的合理選擇能夠有效提高近似模型的精度,減小訓(xùn)練樣本個數(shù),指導(dǎo)下一步的采樣優(yōu)化。李響和王曉鵬指出形狀參數(shù)越大,基函數(shù)越光滑,近似模型也越光滑,有利于提高近似模型精度。Wu等的研究表明,隨著值的不斷增大,模型的精度呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢,且由于不同真實模型性質(zhì)不同,因此也難以通過選擇統(tǒng)一的形狀參數(shù)保證不同近似模型的精度。

對于RBF而言,未知樣本點的預(yù)測結(jié)構(gòu)由所有已知樣本點的輸出共同影響決定,而形狀參數(shù)則控制著當(dāng)前樣本點在設(shè)計空間內(nèi)向周圍影響衰減的快慢。如圖1所示,形狀參數(shù)越小,樣本點對周圍空間的影響衰減越快,反之,則對周圍的影響能夠傳播更遠。

圖1 不同形狀參數(shù)下Gauss基函數(shù)曲線Fig.1 Gaussian radial basis function curves with different shape parameters

樣本點在空間內(nèi)并不是均勻分布的,所以不能采用單一的形狀參數(shù)。應(yīng)根據(jù)樣本點分布情況,選擇合適的形狀參數(shù)。在樣本密集區(qū)域,應(yīng)采用較小的形狀參數(shù),使每個樣本的影響相對較小；在樣本稀疏區(qū)域,應(yīng)采用較大的形狀參數(shù),適當(dāng)增大每個樣本的影響范圍。采用樣本局部密度表征樣本疏密程度,形狀參數(shù)的選擇就應(yīng)與樣本局部密度相關(guān),樣本局部密度的表達式如式(6)和式(7) 所示

(6)

(7)

式中：與形狀參數(shù)類似,表示樣本點對樣本局部密度響應(yīng)的影響程度。

在將樣本歸一化到單位超立方體后,通?？扇?/p>

(8)

式中：為樣本數(shù)量；為設(shè)計維度。

采用式(6)～式(8)計算出樣本對應(yīng)的局部密度,得到如圖2所示結(jié)果。圖中局部密度曲線表明,樣本越密集,局部密度值越大,樣本越稀疏則值越小。表明該方法可以合理地對離散樣本點的局部密度進行量化。

理想的形狀參數(shù)應(yīng)在樣本密集處取值相對小、樣本稀疏處較大,因此得到樣本點局部密度之后,將徑向基函數(shù)形狀參數(shù)視為該樣本點影響半徑,令每個樣本點影響范圍(影響體積)與該點局部密度成反比,即

(9)

(10)

(11)

圖2 一維樣本局部密度示意圖Fig.2 Diagram of one-dimensional sampling points local density

1.3 縮放系數(shù)選擇方法

(12)

式中：為縮放系數(shù)。

如圖3所示,當(dāng)取較大值時,每個基函數(shù)的影響范圍被放大,適用于目標函數(shù)變化較平滑的情況；取較小值時,基函數(shù)的影響范圍縮小,適用于目標函數(shù)局部變化劇烈的情況。圖中實心點為采樣點,細實線代表基函數(shù),虛線區(qū)域代表基函數(shù)影響范圍,粗實線是疊加后的輸出預(yù)測。

圖3 不同縮放系數(shù)影響范圍示意圖Fig.3 Diagram of influence range of different scale factors

為合理確定,建立如式(13)所示的優(yōu)化問題,并采用黃金分割法等一維優(yōu)化算法對其進行求解以獲得最優(yōu)縮放系數(shù)。

min()

(13)

式中：(·)為縮放系數(shù)對應(yīng)的交叉驗證誤差,用來評估所構(gòu)建的近似模型精度。

交叉驗證基本思想是將樣本集中的樣本輪流作為測試樣本,以評估近似模型的預(yù)示精度。相對于Hold-out CV法和LOOCV法,K-折交叉驗證是最通用的方法,其基本思想是將數(shù)據(jù)集分為個子集,每個子集輪流作為測試集,其余-1個子集則作為訓(xùn)練集。LOOCV法是K-fold CV法中=時的特殊情況。所有的樣本都作為訓(xùn)練集和測試集,且每個樣本都被驗證了一次。同時,K-fold CV法中選取不同的值可能會得到具有差異的結(jié)果。其迭代過程如圖4所示。

圖4 K-fold CV迭代圖Fig.4 Iteration diagram of K-fold CV

將原始系數(shù)矩陣的行數(shù)據(jù)劃分為組,每組內(nèi)有行數(shù)據(jù)。K-fold CV法誤差Δ為近似模型預(yù)測值與真實值之差,即

Δ=pre,-

(14)

式中：pre,為針對-個訓(xùn)練樣本構(gòu)建的近似模型在個測試樣本處的預(yù)測值；為測試樣本真實輸出。

(15)

由式(15)可見,在K-fold CV中每折都需要訓(xùn)練一個新近似模型,即對一個-階矩陣進行求逆,整個過程需求解個-階矩陣的逆。和越大、越小,計算速度越慢。線性方程組式(15) 的求解占據(jù)了交叉驗證過程大部分的計算時間,消耗了大量的計算資源。

為提升K-fold CV運算效率,節(jié)約計算成本,本文提出了逆矩陣快速求解算法和交叉驗證誤差快速求解算法,有效解決了反復(fù)求解高階矩陣的逆的問題。采用K-fold CV進行縮放系數(shù)的確定,由于一次交叉驗證誤差評估需要對訓(xùn)練集進行次近似建模,增加了RBF近似建模的計算耗時。針對該問題,提出快速K-折交叉驗證(Fast K-fold Cross-Validation, FK-fold CV)方法以提升近似建模效率與精度。

2 快速交叉驗證方法

2.1 逆矩陣快速求解算法

針對K-折交叉驗證計算效率低下的問題,本文提出的FK-fold CV法通過矩陣初等變換與分塊矩陣求逆來改進常規(guī)K-fold CV法,降低計算復(fù)雜度,提升直接求解交叉驗證誤差的效率。

如圖5所示,K-fold CV法通過將樣本劃分為組,每次取一組樣本進行測試,剩下的所有樣本作為訓(xùn)練樣本,循環(huán)次之后即得到近似模型在每一組樣本點上的誤差。虛線框中將第組與第組交換的步驟是FK-fold CV法中獨有的。

圖5 快速K-折交叉驗證誤差求解示意圖Fig.5 Flow chart of FK-fold CV

FK-fold CV法以K-fold CV法為基礎(chǔ),將數(shù)據(jù)集分為個子集,求解每一子集的交叉驗證誤差時,通過初等變換將測試集置于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的末端,變換過程如圖6所示。

圖6 FK-fold CV迭代圖Fig.6 Iteration diagram of FK-fold CV

通過左乘變行,右乘變列的原則對原系數(shù)矩陣進行行列交換,將應(yīng)作為測試集的第組與第組換位后,得到新的系數(shù)矩陣。(,)定義為階單位陣第組與第組交換后得到的矩陣,與關(guān)系如式(16)所示。

(,)(,)=

(16)

(17)

系數(shù)矩陣被劃分為組后,設(shè)當(dāng)前測試組內(nèi)有個樣本,將第組與第組數(shù)據(jù)交換位置,式(17)矩陣中的每個元素代表一個×的小矩陣,例,表示數(shù)據(jù)集中第組數(shù)據(jù)。對式(16) 求逆得

(18)

由(,)(,)=,可以得到式(19)。

(19)

()=

(20)

(21)

、、、滿足如下數(shù)學(xué)關(guān)系時,可以計算得出

(22)

其中:是(-)階方陣;是(-)×階矩陣;是×(-)階矩陣;是階方陣。采用式(23)即可直接計算出(-),運用階矩陣求逆替代了(-)階矩陣直接求逆的過程,由于?,因此轉(zhuǎn)化后的矩陣求逆計算量會大幅降低。

(23)

式中：-表示矩陣去掉最后行、列所得矩陣的逆矩陣。

上述推導(dǎo)表明,當(dāng)LOOCV法是K-fold CV法的特殊情況,即等于樣本點的數(shù)量,每次取1個樣本進行測試,其余作為訓(xùn)練樣本集。當(dāng)采用留一法進行推導(dǎo)時,式(21)中為一常數(shù),此時近似模型的系數(shù)矩陣的逆矩陣可通過式(24) 計算

(24)

2.2 交叉驗證誤差快速求解算法

根據(jù)式(15)可得,FK-fold CV法誤差Δ為

Δ=pre,-=,-(-)--

(25)

式中：,-為系數(shù)矩陣中測試樣本對應(yīng)的行和前-列元素；-為訓(xùn)練樣本預(yù)測輸出。由式(23)和式(25),可得式(26)

(26)

(27)

式中：為所有樣本的真實輸出,且測試樣本的個輸出對該項沒有任何貢獻；,為系數(shù)矩陣中測試樣本對應(yīng)的行元素。式(27)展開得

(28)

根據(jù)逆矩陣定義有

(29)

(30)

因此,式(28)轉(zhuǎn)化為

(31)

根據(jù)RBF的定義可知

(32)

將式(31)、式(32)代入式(25),可得

(33)

式中：為測試樣本點對應(yīng)的個權(quán)系數(shù)。

顯然,采用FK-fold CV法計算預(yù)測誤差,僅需要對小矩陣進行求逆,極大地節(jié)省了計算量。當(dāng)每折樣本個數(shù)為1時,交叉驗證誤差按照以上過程推導(dǎo)得

(34)

本文針對LOOCV法計算誤差的推導(dǎo)結(jié)果,Rippa所推導(dǎo)的快速誤差計算公式是本文取時的特殊情況,表明本方法具有更強的通用性。在計算時間上,對采樣點個數(shù)為的近似建模問題,普通K-折交叉驗證的時間復(fù)雜度為,快速K-折交叉驗證的時間復(fù)雜度為()。采用500個樣本點的數(shù)值算例分別對K-fold CV法和FK-fold CV法求解效率進行測試,在不同折數(shù)下時間節(jié)省幅度如圖7所示。折數(shù)越多時間節(jié)省幅度越大,尤其在與常規(guī)留一交叉驗證對比時,節(jié)省了超過90%的時間,算例表明快速K-折交叉驗證具有更高的求解效率。

圖7 時間節(jié)省幅度Fig.7 Graph of time saving percentage

3 數(shù)值算例校驗

選取4個多峰非線性函數(shù)驗證本文近似建模方法的效率、精度和穩(wěn)定性,算例形式如表1所示,對應(yīng)的函數(shù)圖像如圖8～圖11所示。

圖8 測試函數(shù)1圖像Fig.8 Graph of test function 1

圖9 測試函數(shù)2圖像Fig.9 Graph of test function 2

圖10 測試函數(shù)3圖像Fig.10 Graph of test function 3

圖11 測試函數(shù)4圖像Fig.11 Graph of test function 4

為驗證本方法的有效性,將本文方法與Kitayama、Rippa等提出的近似建模方法以及Kriging方法在相同條件下進行性能對比。采用4種近似模型訓(xùn)練方法分別針對4個測試函數(shù)進行訓(xùn)練,選擇樣本預(yù)測輸出與樣本真實輸出的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)來表征近似模型的精度。RMSE指標定義如下：

(35)

表1 數(shù)值測試函數(shù)Table 1 Numerical test function

為避免樣本選取帶來的影響,針對隨機取樣的情況獨立運行30次對方法性能進行測試。基于快速交叉驗證法選取最優(yōu)縮放系數(shù),對于一維函數(shù)在設(shè)計域內(nèi)隨機選取20個樣本點,對于二維函數(shù)在設(shè)計域內(nèi)隨機選取40個樣本點,通過樣本點局部密度計算不同樣本點相對形狀參數(shù)大小,然后采用一維搜索法針對縮放系數(shù)進行尋優(yōu),得到最優(yōu)縮放系數(shù)及其對應(yīng)的預(yù)測模型。之后采用相同的樣本點,用其他3種方法構(gòu)造近似模型并計算對應(yīng)的RMSE,不同算法得到的均方根誤差箱型圖分別如圖12～圖15所示,其中測試函數(shù)3、4由于其誤差較大,將其結(jié)果取對數(shù)處理后,再用于表征其趨勢。結(jié)果表明,基于FK-fold CV法構(gòu)建的近似模型在4個測試函數(shù)中,都展示出比其他3種方法更優(yōu)越的性能。

本文近似模型構(gòu)建算法每一次測試都能達到與已知方法相近甚至更優(yōu)的性能。針對測試函數(shù)1、2,如圖12、圖13所示,本文算法展現(xiàn)出針對復(fù)雜多峰問題近似建模的潛力,可以看出Rippa提出的FLOOCV法在處理多峰值問題時,沒有考慮樣本在設(shè)計空間內(nèi)的分布,僅使用單一的形狀參數(shù)對所有基函數(shù)進行統(tǒng)一處理,其精度不夠理想。對于測試函數(shù)3,在處理角落處有尖峰出現(xiàn)的二維多極值問題時,Kitayama方法和Rippa方法均體現(xiàn)出一定的局限性。當(dāng)測試函數(shù)存在大量極值時,例如測試函數(shù)4,Rippa方法的性能較差。

圖12 測試函數(shù)1均方根誤差箱型圖Fig.12 Boxplot of RMSE of test function 1

圖13 測試函數(shù)2均方根誤差箱型圖Fig.13 Boxplot of RMSE of test function 2

圖14 測試函數(shù)3均方根誤差箱型圖Fig.14 Boxplot of RMSE of test function 3

圖15 測試函數(shù)4均方根誤差箱型圖Fig.15 Boxplot of RMSE of test function 4

4 快速交叉驗證方法工程應(yīng)用

針對工程仿真中常用的計算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics, CFD)和有限元分析模型,以運載火箭減阻特性和和結(jié)構(gòu)承載能力近似建模為例,驗證本文方法預(yù)測精度。

4.1 超聲速減阻桿阻力特性近似建模

針對火箭飛行過程中存在的激波阻力問題,常在火箭頭部安裝減阻桿以進行流場重構(gòu),減小氣動阻力。減阻桿作為被動減阻技術(shù)的一種,具有結(jié)構(gòu)簡單、減阻效果好等優(yōu)點,在實際工程系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用,如圖16、圖17所示的三叉戟潛射洲際彈道導(dǎo)彈及Igla單兵肩扛式防空導(dǎo)彈均采用減阻桿降低飛行器激波阻力。

圖16 三叉戟潛射洲際彈道導(dǎo)彈Fig.16 UGM-133A ballistic missile

圖17 Igla單兵肩扛式防空導(dǎo)彈Fig.17 Igla air defense missile

減阻桿的減阻效果受到包括減阻桿頂端半徑及減阻桿桿長等外形尺寸參數(shù)的影響,本節(jié)將采用FLUENT對圓盤形減阻桿與球形頭部結(jié)合減阻桿的減阻效果受到包括減阻桿頂端半徑及減阻桿桿長等外形尺寸參數(shù)的影響,本節(jié)將采用FLUENT對圓盤形減阻桿與球形頭部結(jié)合后外形的阻力系數(shù)進行數(shù)值計算,幾何外形如圖18 所示。設(shè)計參數(shù)為減阻桿頂端半徑和減阻桿桿長,見圖19。飛行器頭部半徑=100 mm,減阻盤厚度=10 mm。數(shù)值模擬中邊界條件設(shè)置為壓力遠場條件及壁面無滑移絕熱壁條件,來流馬赫數(shù)=2,氣體模型設(shè)置為完全氣體模型,氣流參數(shù)設(shè)置為標準海平面大氣參數(shù),湍流模型選用SST-模型。由于該幾何外形為軸對稱外形,采用軸對稱條件進行計算可提高計算效率,因此選用軸對稱條件進行數(shù)值模擬。

圖18 超聲速飛行器外觀及減阻結(jié)構(gòu)示意圖Fig.18 Diagram of supersonic vehicle appearance and drag reduction structure

圖19 減阻結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)示意圖Fig.19 Diagram of drag reduction structure design parameters

和的取值范圍如表2所示,采用10×10個均勻分布的樣本點作為測試集,進行數(shù)值模擬得到100 組不同頂端半徑及桿長的減阻桿與球形頭部組合外形的阻力系數(shù)。運用本文所提出的方法進行近似建模,實驗設(shè)計方法生成20個點作為快速交叉驗證的數(shù)據(jù)集。選用快速5-折交叉驗證,每折樣本容量為4,在單次驗證過程中,16個為訓(xùn)練數(shù)據(jù),4個為測試數(shù)據(jù)。

表2 減阻結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)Table 2 Drag reduction structure design parameters

4種方法分別計算得出的均方根誤差值如圖20 所示。在樣本點不均勻的2維氣動工程問題中,由于Kitayama法中形狀參數(shù)為一個固定值,不會根據(jù)實際情況進行調(diào)參,其所構(gòu)建近似模型精度缺點明顯,誤差達到了FK-fold CV法的7倍左右。

圖20 工程算例1均方根誤差值Fig.20 RMSE of engineering example 1

4.2 重型運載火箭級間段加筋殼結(jié)構(gòu)承載能力近似建模

采用復(fù)雜加筋殼結(jié)構(gòu)設(shè)計問題對本文方法的有效性進行進一步驗證。運載火箭及導(dǎo)彈艙段等航天結(jié)構(gòu)中常用的薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu),具有較高的軸壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)承載效率的特點。作為運載火箭的主要承力部段,薄壁加筋柱殼的輕量化設(shè)計可以在提高其運載能力的同時降低成本。蒙皮桁條結(jié)構(gòu)是典型框桁加強薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)之一,軸壓承載性能優(yōu)越,廣泛應(yīng)用于運載火箭結(jié)構(gòu)設(shè)計。

圖21 加筋柱殼結(jié)構(gòu)及中間框布局Fig.21 Diagram of cylindrical stiffened shell structure and intermediate frame

上述復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計工程問題具有19維設(shè)計變量,各參數(shù)變化范圍如表3所示,輸出響應(yīng)為結(jié)構(gòu)軸向承載極限能力。采用優(yōu)化拉丁超立方得到設(shè)計空間內(nèi)均勻分布的400個樣本點,作為訓(xùn)練樣本來構(gòu)建近似模型。在選擇縮放系數(shù)時,采用快速10-折交叉驗證,每折中應(yīng)有40個數(shù)據(jù)。在單次交叉驗證過程中,360個樣本點為訓(xùn)練數(shù)據(jù),40個樣本點為測試數(shù)據(jù)。同樣采用優(yōu)化拉丁超立方得到設(shè)計空間內(nèi)均勻分布的5 000個樣本點,仿真得到的極限載荷作為真實輸出,計算出真實輸出與近似模型預(yù)測輸出的RMSE值,再對比本文方法與常用近似建模技術(shù)所得結(jié)果的誤差大小。

表3 蒙皮桁條結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)Table 3 Skinned purlin structure design parameters

4種方法分別計算得出的均方根誤差值如圖22 所示。在高維結(jié)構(gòu)問題中,Kitayama法與Kriging法都有一定的局限性,其誤差分別為FK-fold CV法的194%和158%。

圖22 工程算例2均方根誤差值Fig.22 RMSE of engineering example 2

5 結(jié) 論

1) 提出基于樣本局部密度的形狀參數(shù)表征方法,將多個形狀參數(shù)確定轉(zhuǎn)化為縮放系數(shù)確定的單變量優(yōu)化問題,降低徑向基函數(shù)形狀參數(shù)確定的計算復(fù)雜度,解決現(xiàn)有RBF形狀參數(shù)確定中待求變量多和計算復(fù)雜等問題?；瘮?shù)中形狀參數(shù)的合理確定大幅提升了RBF近似模型預(yù)測精度。采用4種方法分別對運載火箭進行氣動力和結(jié)構(gòu)承載能力近似建模,結(jié)果表明采用本文方法在復(fù)雜工程問題上預(yù)測精度遠高于現(xiàn)有方法且相對穩(wěn)定,通用性強且能滿足工程實際需求。

3) 由于Rippa提出的FLOOCV法是本文所提出的FK-fold CV法的特例,2種方法思路大致相同但本方法普適性更強。在針對上述算例進行對比時發(fā)現(xiàn),這2種方法應(yīng)用于低維測試函數(shù)時差異較為明顯,所以面向不同問題時,應(yīng)對的取值進行討論。對于FK-fold CV算法本身而言,綜合時間與近似模型精度考慮,選取的最優(yōu)值,是下一步值得探索的問題。