基于材料場級數(shù)展開的結構動力學拓撲優(yōu)化

梁寬,付莉莉,張曉鵬,*,羅陽軍

1. 大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室, 大連 116024 2. 西安航天動力研究所,西安 710100

振動在航空航天薄壁結構中十分普遍,然而劇烈的振動將導致結構性能下降并帶來安全隱患。通過優(yōu)化技術對結構中材料與設備的合理布局以改善提高振動系統(tǒng)的動力學性能具有重要的意義。在各類優(yōu)化方法中,結構動力學拓撲優(yōu)化被認為是改善結構動力學設計的最有效途徑,近年來受到學者的廣泛關注。目前主流的結構拓撲優(yōu)化方法,如變密度法、水平集法、漸進結構方法等,均已應用于結構動力學拓撲優(yōu)化問題設計中。

相比于結構靜力學拓撲優(yōu)化問題,結構動力學拓撲優(yōu)化問題面臨著因局部最優(yōu)解陷阱而導致的收斂困難、靈敏度分析復雜、局部模態(tài)等諸多難點,限制了結構動力學拓撲優(yōu)化方法的發(fā)展和應用。針對上述困難,部分學者開展了長期的研究工作。例如,Du和Olhoff提出了廣義增量頻率(GIF)拓撲優(yōu)化方法,從而克服了動力學優(yōu)化中結構高頻振動多峰值帶來的收斂性和局部最優(yōu)解難題。

結構動力學優(yōu)化問題的研究目標主要分為3大類,包括：結構固有頻率優(yōu)化、結構穩(wěn)態(tài)響應優(yōu)化、結構瞬態(tài)動力學優(yōu)化。經過多年的研究,固有頻率的結構優(yōu)化方法獲得了長足的發(fā)展,并在結構重頻率等難題中取得了重要的研究成果。近年來,學者們更為關注結構穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力荷載下結構動力學拓撲優(yōu)化的研究。在結構穩(wěn)態(tài)動力學拓撲優(yōu)化研究中,Rong等研究了能夠有效抑制隨機激勵下動力學局部模態(tài)的結構拓撲優(yōu)化方法；Zhu等研究了受到基礎簡諧振動的結構動力學拓撲優(yōu)化方法,鄭玲等則研究了基于漸進優(yōu)化算法的車身結構減振降噪阻尼材料最優(yōu)拓撲優(yōu)化布局方法。在結構瞬態(tài)動力學優(yōu)化中,Zhang和Kang研究了瞬態(tài)動力載荷下基于主動振動的壓電智能結構拓撲優(yōu)化方法；Yun和Youn研究了瞬態(tài)動力載荷下結構黏彈性阻尼材料最優(yōu)拓撲布局方法。

已有研究雖然解決了部分結構穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學優(yōu)化中的難題,但因結構動力學優(yōu)化問題中的靈敏度分析與局部最優(yōu)解陷阱等困難,使得結構動力學響應能夠處理的目標函數(shù)類型有限,限制了結構動力學拓撲優(yōu)化問題的應用。例如,在穩(wěn)態(tài)工程結構動力學拓撲優(yōu)化中,往往希望結構的動力學響應在整個工作頻率區(qū)間內都具有較小的結構動力學響應。基于梯度的結構動力學拓撲優(yōu)化方法,需要引入頻率區(qū)間積分或者包絡函數(shù)以實現(xiàn)目標函數(shù)的光滑化,從而可采用基于梯度的結構拓撲優(yōu)化方法進行優(yōu)化問題的求解。然而簡諧激勵下結構指定位置在不同頻率下振幅變化往往十分劇烈,并具有“多峰值”特性,使得包絡函數(shù)等呈現(xiàn)病態(tài)特性,導致優(yōu)化效果不理想甚至是不收斂。采用基于非梯度優(yōu)化算法的結構拓撲優(yōu)化方法進行穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學載荷下結構拓撲優(yōu)化是克服這些困難的可能途徑,目前國內外尚未見相關研究。

最近提出的材料場級數(shù)展開(Material-Field Series-Expansion,MFSE)方法通過連續(xù)體拓撲表征和降維映射能夠大幅度減少拓撲優(yōu)化問題中設計變量個數(shù),從而能夠有效解決傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化設計變量過多的難題,并結合序列Kriging代理模型算法,能夠高效實現(xiàn)非梯度拓撲優(yōu)化問題求解。這一優(yōu)化策略具有不需要梯度信息、適合復雜非線性問題、具備一定的全局搜索能力、可充分利用并行計算等優(yōu)勢,十分適合求解復雜的結構穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學拓撲優(yōu)化問題。

本文基于文獻[21]中的結構拓撲表征和非梯度拓撲優(yōu)化方法,給出了穩(wěn)態(tài)載荷下結構指定頻率區(qū)間內響應以及瞬態(tài)載荷下指定關心時間區(qū)間的結構動力學非梯度拓撲優(yōu)化列式。采用有限元方法對結構的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學響應進行求解,并基于材料場級數(shù)展開(MFSE)和序列Kriging代理模型優(yōu)化算法,實現(xiàn)復雜動力學響應目標下結構拓撲優(yōu)化問題的求解。

1 結構動力學響應優(yōu)化問題描述

在外加動力載荷作用下,基于有限元離散的結構振動方程可以表示為

(1)

式中：、和為維矩陣,分別表示結構的總質量陣、總阻尼陣和總剛度陣,為結構總自由度個數(shù);為結構瞬態(tài)位移響應;()為外加動載荷。

若考慮結構承受瞬態(tài)荷載,求解其瞬態(tài)動力學響應的一般方法是,將方程(1)在時間域上進行離散,常見的求解方法為Newmark法、Wilson-法等。通過逐步積分,可計算出任意指定時刻的結構振動響應()。

當結構受到簡諧激勵()=ei(表示載荷向量幅值,為外激勵圓頻率)的作用,其穩(wěn)態(tài)位移響應可表示為()=ei(表示結構振幅向量)。因此,結構穩(wěn)態(tài)動力學方程可由式(1)可得到如下：

(-+iθ+)=

(2)

基于上述方程,提出適當?shù)哪繕撕瘮?shù)和約束函數(shù),選取精確高效的結構拓撲描述模式,即可建立結構動力學拓撲優(yōu)化模型。

對穩(wěn)態(tài)結構動力學響應優(yōu)化問題而言,結構動力學拓撲優(yōu)化常選擇結構動柔度為目標函數(shù),結構動柔度(=||)可以表征結構整體的動響應特征。為了抑制結構穩(wěn)態(tài)動響應多峰值而帶來的數(shù)值困難,本文選擇動柔度對數(shù)為目標函數(shù),其表達如下：

(3)

對結構瞬態(tài)動力響應優(yōu)化而言,其目標函數(shù)往往選取關心位置在指定時間段內的動力學響應的積分作為目標函數(shù),考慮到振動瞬態(tài)響應會隨時間產生正負號交替,常取振幅響應的平方(或絕對值)在時間上的積分。因此,本文選取結構指定位置瞬態(tài)的動力響應為目標函數(shù)：

(4)

結構動力學優(yōu)化設計往往需要在滿足指定體積約束下實現(xiàn)結構動響應最優(yōu)設計?；谏鲜瞿繕撕瘮?shù),結構穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學拓撲優(yōu)化問題列式可以表達為

(5)

式中：和分別表征最優(yōu)設計允許的材料用量和設計域滿布材料時材料用量。需要指出的是,式(5)中表示材料的拓撲布局,利用不同的拓撲描述其表達方式有所不同。例如,變密度法往往選取單元或節(jié)點密度描述材料場拓撲布局,而水平集方法則利用水平集函數(shù)描述材料分布。本文將采用材料場級數(shù)展開策略對材料布局進行表征和降維,并在第2節(jié)中詳述。

2 基于材料場級數(shù)展開策略的結構非梯度拓撲優(yōu)化方法

2.1 基于材料場級數(shù)展開策略的結構拓撲表征與降維映射

基于非梯度優(yōu)化算法的復雜結構拓撲優(yōu)化問題求解的必要前提是用少量獨立的拓撲設計變量實現(xiàn)復雜結構拓撲的描述,本文采用基于材料場級數(shù)展開(MFSE)策略對結構的拓撲布局進行描述,則實相材料和空相材料的分布可以通過設計域內觀察位置的材料場函數(shù)()∈[-1, 1]來表示

(6)

與傳統(tǒng)的基于單元密度的結構拓撲描述不同,在MFSE描述框架下相鄰2點的材料分布一般不是完全獨立的(這也符合結構中材料分布的一般規(guī)律),整個材料場的空間相關性僅依賴于觀察點的空間相對位置。因此,需要引入空間中任意2點和的相關函數(shù)(,)來描述材料場的空間相關性,這一相關函數(shù)可以取為

(7)

在實際模擬分析中,需要將無限維材料場離散為觀察點,通常在結構設計領域內均勻分布在個觀察點上,因此相關矩陣可以構造為

=

(8)

因此材料場可以進一步表示為

(9)

式中：()=[(,)(,)…(,)];和是相關矩陣的第階特征值和特征向量;(=1,2,…,)為其中的待定系數(shù),可以理解為廣義的設計變量,然而對于拓撲優(yōu)化設計問題而言,觀察點常分布于結構單元中心(或節(jié)點)處,其數(shù)量常達到數(shù)千甚至數(shù)萬,這一量級的設計變量對于基于非梯度的優(yōu)化拓撲優(yōu)化設計問題是無法實現(xiàn)的。因此,在實際操作中,可將只截取前階特征向量而忽略小特征對,因此材料場可以重新表示為

(10)

圖1 材料場觀察點分布、有界場拓撲描述與級數(shù)展開和降維表征示意圖Fig.1 Distribution of observation points, topological description of bounded field, series expansion and dimensionality reduction of material field

為了將基于材料場展開系數(shù)描述的有界材料場映射到整個設計域的所有單元上,且防止結構動力學優(yōu)化中的虛假局部模態(tài)問題,本文引入了(RAMP)Rational Approximation of Material Properties插值模型：

(11)

()=+()(-)

(12)

式中:和分別為單元的楊氏模量和密度;、和、分別表示實心和空心單元的楊氏模量和密度;為懲罰因子,單元相對密度變量()可以表示為

(13)

其中：表示第個單元的中心坐標。這里,為了獲得更光滑的材料密度場分布可以使用Heaviside 函數(shù)進行過濾。

基于MFSE方法,式(5)中的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)動力學拓撲優(yōu)化問題,可以進一步寫成

(14)

2.2 基于非梯度序列Kriging優(yōu)化算法的拓撲優(yōu)化問題求解

經過基于材料場級數(shù)展開(MFSE)方法處理,使得拓撲優(yōu)化設計問題中的設計變量個數(shù)大幅度減少,而且單一設計變量的改變不只是改變結構拓撲結構的某一局部,而是發(fā)生整體的改變。這使得傳統(tǒng)結構拓撲優(yōu)化問題中設計變量過多而無法使用非梯度優(yōu)化算法的難題得到顯著的改善。對于絕大多數(shù)的結構拓撲優(yōu)化問題,經過MFSE策略對結構的材料場拓撲表征與降維,可以將結構拓撲優(yōu)化問題的獨立設計變量降到100個以內(部分問題可以降到50以下),然而這一設計變量維度對于現(xiàn)有的非梯度算法來說,依然具有計算量大和難以收斂的問題。

針對結構拓撲優(yōu)化問題的特性,采用了基于自適應策略的序列Kriging算法求解拓撲優(yōu)化問題。首先將優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題

(15)

式中：為障礙乘子。這里障礙乘子并非一個固定值,與自適應障礙因子類似,其取值需要根據(jù)目標函數(shù)的大小而改變,實際算例中這一因子只需要保證約束能夠滿足即可,根據(jù)數(shù)值經驗,障礙因子可以取為=10floor(1+lg|()|),floor(·)表示向下取整。

為了找到無約束優(yōu)化問題的全局解,基于Kriging的算法采用了初始樣本和序列采加點的過程。在代理模型的初始建模中,采用拉丁超立方抽樣,以得樣本在多維設計空間中均勻分布。但是采用標準的拉丁超立方采樣方法的過程,會產生大量無效樣本數(shù)據(jù),這將使基于Kriging的算法很難找到最優(yōu)解。因此,針對結構拓撲優(yōu)化問題的基本性態(tài)相對穩(wěn)定的特性,提出了設計變量采樣范圍的自適應策略,以提高拓撲優(yōu)化問題的搜索效率和求解精度,這一自適應策略可以有效地防止不切實際的采樣點的產生?；谧赃m應策略的序列Kriging算法拓撲優(yōu)化問題求解過程如圖2所示。其自適應流程如下：首先,以=為中心,確定初始子設計空間,在該設計空間中進行拉丁超立方采樣和代理模型加點尋優(yōu)。其次,使用當前最優(yōu)點(即當前代理模型的性能最優(yōu)點)以調整子設計空間的中心位置并逐漸減小其范圍,構建新的子優(yōu)化問題。隨著子優(yōu)化問題的更新和求解,最終得到優(yōu)化解。

圖2 基于自適應策略的序列Kriging算法求解過程示意Fig.2 Solution process diagram of sequential Kriging algorithm based on adaptive strategy

3 算例及結果討論

3.1 指定頻率區(qū)間結構穩(wěn)態(tài)動力學優(yōu)化算例

一四邊固支的夾層方板結構如圖3所示,夾層板的長度為1.2 m,分為3層。基底層的厚度為0.5 mm,其密度為2 700 kg/m,彈性模量=69×10Pa,泊松比為0.3。阻尼材料層的厚度為3.0 mm,密度為980 kg/m,彈性模量=22×10Pa,泊松比為0.49。約束層的厚度及材料屬性與基底層的厚度、材料屬性一致。方形夾層板的中心處受到一個集中簡諧激勵的作用,簡諧激勵()=ei中=200 N,=2π,載荷頻率區(qū)間為[10, 20] Hz。本文假設夾層板結構層與層之間完美連接,另外由于基底層和約束層的剛度效應遠大于阻尼材料層的剛度效應,所以在計算殼單元剛度陣時阻尼材料層的偏心效應被予以忽略。本算例中,優(yōu)化問題的目標函數(shù)為結構加載點動柔度的對數(shù),其表達式如式(3)所示。

首先將結構劃分為100×100共10 000個單元的網格,考慮到該方形夾層板結構為對稱結構,取1/4阻尼材料層結構作為優(yōu)化設計域,觀察點的個數(shù)為50×50,獨立設計變量個數(shù)取=50,體積約束=05。應該指出,觀察點的分布可以與有限元網格劃分相互獨立,通過對有限元網格加密,理論上將使得分析更為精確。在本文方法的具體實施過程中,為了方便,觀察點位于每一個有限單元的中心,即觀察點個數(shù)等于有限元單元個數(shù)。相關長度為0.36 m(設計域邊長的0.3倍),當相鄰2個子優(yōu)化問題目標函數(shù)之間的相對誤差小于0.000 1時,優(yōu)化過程停止。從數(shù)值經驗來看,這一停止準則的選取將一定程度影響優(yōu)化問題最終的子迭代步個數(shù)和有限元分析總次數(shù)。當這一值取值過小時,在優(yōu)化的中后段優(yōu)化結果的變化十分微弱,因此只需選擇合適的收斂準則即能有價值的優(yōu)化解。

圖3 簡諧荷載作用下的固支夾層板Fig.3 A square plate with four edges clamped under a time-harmonic load

圖4為優(yōu)化迭代歷史曲線,從迭代歷史曲線可以看出,在優(yōu)化的每個子迭代步中包含2個階段：① 隨機采樣階段,在此階段通過拉丁超立方采樣構建Kriging代理模型,在此階段迭代歷史出現(xiàn)因隨機采樣而產生的“振蕩”現(xiàn)象,在本例中每個子迭代步進行3×次隨機采樣；② 利用EI(Expectation Improvement)加點準則對于構建的代理模型進行尋優(yōu),在此階段優(yōu)化問題的目標函數(shù)將平穩(wěn)下降,本算例中對每個子迭代步最多進行60次加點。在使用Kriging代理模型優(yōu)化算法求解了大約15個子優(yōu)化問題之后,目標函數(shù)收斂。目標函數(shù)值從初始設計中的365.61 N·m·s穩(wěn)定的下降至優(yōu)化設計中的105.68 N·m·s,降幅比較明顯。結構的最終拓撲優(yōu)化結果如圖5所示,圖6為結構參考設計與優(yōu)化設計在0～40 Hz頻域內的掃頻曲線,與參考設計相比,結構在經過優(yōu)化設計后,共振峰從給定的頻率區(qū)間內(18.6 Hz)移至區(qū)間之外(22.1 Hz),實現(xiàn)了將結構的共振峰避開特殊頻率區(qū)間的優(yōu)化目的。

圖4 目標函數(shù)f1的迭代歷史Fig.4 Iterative history of objective function f1

當選取不同的給定頻域區(qū)間時,阻尼材料層的拓撲優(yōu)化結果會發(fā)生變化,圖7給出了指定頻率區(qū)間為[50, 80] Hz的拓撲優(yōu)化結果,與指定頻率區(qū)間為[10, 20] Hz的拓撲優(yōu)化結果相比,阻尼材料層的拓撲布局變得復雜,這是因為高頻率的激勵荷載激發(fā)了結構更為復雜的局部模態(tài),從而改變了阻尼材料層的拓撲布局。圖8為結構參考設計與優(yōu)化設計在40～100 Hz頻域內的掃頻曲線,可以看出夾層板結構在經過優(yōu)化布局后,其共振峰也從給定的頻率區(qū)間內移至給定區(qū)間之外。表1給出了考慮載荷頻率區(qū)間為[50, 80] Hz時的優(yōu)化結果和參考解的前10階固有頻率對比列表,可以看出相比于僅考慮[10, 20] Hz的動力學優(yōu)化相比,考慮[50, 80] Hz頻率區(qū)間的優(yōu)化問題包含了結構更高階的固有頻率,其頻率區(qū)間內的動力學優(yōu)化減振體現(xiàn)了多個振動模態(tài)下的綜合減振效應。與已有阻尼減振結構拓撲優(yōu)化相比,針對同樣的問題本文的優(yōu)化結果與已有方法十分相似,說明本文方法計算結果具有正確性。

圖5 阻尼材料層優(yōu)化結果(頻率區(qū)間[10, 20] Hz)Fig.5 Optimization result of damping layer (frequency range[10, 20] Hz)

圖6 結構指定位置的掃頻曲線優(yōu)化解(頻率區(qū)間[10, 20] Hz)與參考解(ρe=0.5)的比較Fig.6 Comparison between optimal solution (frequency range[10, 20] Hz) and reference solution (ρe=0.5) of sweep curve at specified position of structure

圖7 阻尼材料層優(yōu)化結果(頻率區(qū)間[50, 80] Hz)Fig.7 Optimization result of damping layer (frequency range[50, 80] Hz)

圖8 結構指定位置的掃頻曲線優(yōu)化解(給定頻率區(qū)間[50, 80] Hz)與參考解(ρe=0.5)的比較Fig.8 Comparison between optimal solution (given frequency range[50, 80] Hz) and reference solution (ρe=0.5) of sweep curve at specified position of structure

表1 優(yōu)化結構與參考結構各階固有頻率比較

在運載航天器系統(tǒng)中,載荷適配器可以為載荷與航天器之間提供一個緩沖截面。通過在載荷適配器表面鋪設阻尼層可以減小航天器與衛(wèi)星之間的振動。本文載荷適配器結構由圓柱段、圓錐臺段與法蘭3部分構成,其上部的直徑為500 mm,底部的直徑為700 mm,如圖9所示。圓柱段的高度和厚度分別為200 mm和1.5 mm,圓錐臺段的高度與厚度分別為200 mm和0.8 mm,法蘭的外直徑為740 mm,厚度為2 mm。結構的圓錐臺段鋪設阻尼層,厚度為1 mm,結構基底與阻尼的材料屬性與算例1一致。

圖9 簡諧激勵下載荷適配器示意圖Fig.9 Payload adapter subjected to four harmonic concentrated forces

結構整體劃分為240×50個有限元單元,對于此周向循環(huán)結構,取阻尼層的周向1/4作為優(yōu)化設計域,觀察點的個數(shù)為60×30,設計變量個數(shù)為50,相關長度取為阻尼層母線長度的0.3。圓柱段的頂部受到固定約束,4個簡諧激勵等距地加載在法蘭底部內側的縱向,其幅值為=10 kN,載荷頻率區(qū)間為[360, 420] Hz, 設計要求在荷載頻域內無共振峰值。設計域體積約束上限為=05,優(yōu)化問題的目標函數(shù)取為4個加載點動柔度之和。優(yōu)化結果如圖10所示,圖11 為參考解(=05)與優(yōu)化解的掃頻曲線比較。

圖10 阻尼材料層拓撲優(yōu)化結果Fig.10 Optimization result of damping layer

圖11 結構指定位置的掃頻曲線優(yōu)化解與參考解(ρe=0.5)比較Fig.11 Comparison between optimal solution and reference solution (ρe=0.5) of sweep curve at specified position of structure

3.2 瞬態(tài)動力載荷結構拓撲優(yōu)化算例

如圖12所示,懸臂矩形夾層板的尺寸為0.6 m×0.4 m,由厚度為1.0 mm的阻尼材料層與厚度均為0.5 mm的基底層和約束層組成。該夾層板結構各層的材料屬性與算例1夾層板結構各層的材料屬性一致。夾層板的自由邊中點受到沖擊荷載()的作用,其時程曲線如圖13 所示。在該算例中目標函數(shù)所考慮的時間段終止時刻為=0.05 s,時域積分方法的時間步長Δ=2×10s。

圖12 沖擊荷載作用下的懸臂夾層板Fig.12 A cantilever plate under impact load

整個結構被劃分為60×40個單元,相關長度為0.12 m(設計域短邊的0.3倍),設計變量個數(shù)取=50,阻尼材料的體積約束分數(shù)取=05。優(yōu)化問題的目標函數(shù)取為自由邊中點振幅的平方在時間段[0,]內的積分。本算例中,目標函數(shù)為結構指定位置瞬態(tài)的動響應,其表達式如式(4)所示。

圖13 懸臂夾層板沖擊荷載時程曲線Fig.13 Impact force applied to cantilever plate

優(yōu)化迭代曲線如圖14所示,優(yōu)化過程在經過15個子迭代步,共2 749步迭代后收斂,目標函數(shù)從初始設計中的10.97 m·s平穩(wěn)的下降至4.78 m·s,下降了56.43%。圖15為最終的阻尼材料層拓撲優(yōu)化布局。初始設計和優(yōu)化設計的目標位置時程位移響應如圖16所示,可以發(fā)現(xiàn)結構在經過優(yōu)化設計后,其振動幅值有明顯的降低,振動頻率也低于結構初始設計的振動頻率,這說明拓撲優(yōu)化解良好地實現(xiàn)了結構振動控制。

圖14 目標函數(shù)f2的迭代歷史Fig.14 Iterative history of objective function f2

圖15 阻尼材料層拓撲優(yōu)化結果(T=0.05 s)Fig.15 Optimization result of damping layer (T=0.05 s)

修改時間段終止時刻為0.2 s,其優(yōu)化結果如圖17所示?？梢钥闯?當改變目標函數(shù)所考慮的時間段終止時刻,拓撲優(yōu)化結果發(fā)生了明顯的變化。圖18為初始設計與優(yōu)化設計的目標位置位移時程響應,可以發(fā)現(xiàn)結構在經過優(yōu)化設計后,在時間歷程前期其振動衰減得更加迅速,在時間歷程后期其振動趨于平穩(wěn)。

圖16 結構指定位置位移時程響應的優(yōu)化解(T=0.05 s)與參考解(ρe=0.5)比較Fig.16 Comparison between optimal solution (T=0.05 s) and reference solution (ρe=0.5) for displacement time history response of structures at specified positions

圖17 阻尼材料層拓撲優(yōu)化結果(T=0.2 s)Fig.17 Optimization result of damping layer (T=0.2 s)

圖18 結構指定位置位移時程響應的優(yōu)化解(T=0.2 s)與參考解(ρe=0.5)比較Fig.18 Comparison between optimal solution (T=0.2 s) and reference solution (ρe=0.5) for displacement time history response of structures at specified positions

4 結 論

本文研究了基于材料場級數(shù)展開策略的結構動力學非梯度拓撲優(yōu)化方法,該方法能夠利用少量拓撲場描述變量實現(xiàn)復雜結構的拓撲表征,從而大幅降低結構拓撲優(yōu)化變量個數(shù),進一步采用自適應序列Kriging代理模型算法求解拓撲優(yōu)化問題,實現(xiàn)了基于非梯度優(yōu)化算法的大規(guī)模結構動力學拓撲優(yōu)化問題的求解。所提方法因不需要靈敏度信息,使得優(yōu)化問題目標函數(shù)和約束函數(shù)的選取與以往動力學優(yōu)化問題相比具有更大的自由度,更適用于復雜動力學優(yōu)化問題的建模與求解。數(shù)值算例表面,所提優(yōu)化問題能很好地處理結構在穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)動力學荷載下的拓撲優(yōu)化問題。

本文所處理的2類優(yōu)化問題設計目標,屬于常規(guī)結構動力學優(yōu)化目標,可以通過靈敏度分析和梯度算法進行求解和設計,但考慮頻率區(qū)間或時間段內的振動優(yōu)化問題中,由于原目標函數(shù)不連續(xù),常常需要引入包絡函數(shù)等技術,使得靈敏度更為復雜,部分優(yōu)化問題采用基于梯度的優(yōu)化算法因多局部解效應導致收斂性較差。同時,該方法因不需要靈敏度信息,易與各種仿真分析軟件結合,未來在復雜物理場和非線性結構拓撲優(yōu)化問題(如多物理場、非線性優(yōu)化、接觸與碰撞)中,具有較大的應用前景,目前已經在聲學與光學超材料設計、大變形結構拓撲優(yōu)化、流固耦合問題優(yōu)化等方面進行了初步嘗試。

值得注意的是,此前已有文獻給出了10萬以上自由度的工程結構算例,本文所提出的基于材料場級數(shù)展開的結構拓撲優(yōu)化方法需要的總計算次數(shù)(有限元分析)與傳統(tǒng)梯度類優(yōu)化算法相比較多。然而,隨著計算機硬件技術和并行計算能力的飛速發(fā)展,本文在未來大規(guī)模動力學優(yōu)化問題仍然有較大的應用潛力。