基于多元Copula函數(shù)的連續(xù)梁橋整體地震易損性分析

何浩祥，程 揚，黃 磊，陳 旺，陳彥江

(北京工業(yè)大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124)

橋梁的關鍵構件及整體在強震作用下易發(fā)生破壞，常見現(xiàn)象包括橋墩支座破壞、橋臺支座破壞以及橋墩發(fā)生塑性鉸破壞或者脆性破壞等.與傳統(tǒng)橋梁抗震研究方法不同，橋梁地震易損性方法是基于性能的抗震設計理念和可靠度理論，通過分析橋梁在不同幅值地震下發(fā)生破壞的超越概率來表征橋梁損傷的部位、特征及程度，從而指導橋梁抗震設計和優(yōu)化.地震易損性研究方法分為理論分析法以及經(jīng)驗分析法[1].由于我國并未收集足夠的地震信息以及結構的損傷數(shù)據(jù)，因此多采用理論分析法對結構有限元模型進行增量動力分析(incremental dynamic analysis，IDA)從而獲得地震易損性曲線[2].目前的橋梁地震易損性研究大多采用單個典型構件的地震易損性曲線來表征橋梁整體的易損性曲線，但橋梁系統(tǒng)實際是復雜的混聯(lián)體系.此外，已有研究表明：作為一個系統(tǒng)整體，橋梁比任何一個典型構件都更容易發(fā)生破壞[3]，因此傳統(tǒng)易損性方法并不準確和全面.近年來，橋梁體系易損性分析的研究逐漸受到重視，Choi等[4]假定各個構件之間具有完全相關性或完全不相關性，在獲得各個構件的易損性曲線之后確定了橋梁體系易損性曲線的上下界.Yang等[5]假定在橋墩、支座等各構件完全相關或不相關的情況下分別得到橋梁體系的易損性曲線.但隨著橋梁關鍵構件數(shù)量以及失效模式的增加，這種假設并不嚴謹，所得的體系易損性曲線與實際易損性曲線相差較大.有鑒于此，Ramanathan等[6]通過構件需求之間的相關系數(shù)矩陣，采用蒙特卡羅抽樣法模擬構件之間的相關性，從而建立結構體系的易損性曲線.鐘劍等[3]利用均勻設計得到結構-地震樣本對，通過協(xié)方差矩陣建立體系聯(lián)合概率密度函數(shù)模型，利用蒙特卡羅抽樣法得到橋梁整體易損性曲線.李立峰等[2]、龐于濤等[7]通過傳統(tǒng)的一次界限法和二次界限法確定結構體系易損性曲線的上下界.然而，采用蒙特卡羅抽樣法的前提是構件地震需求滿足對數(shù)正態(tài)分布要求，且該方法計算量過大，計算效率低.何浩祥等[8]運用模糊數(shù)學中的綜合評判方法，結合基于位移的支座損傷分析、基于能量的橋墩損傷分析和基于周期的整體損傷分析，建立了能夠反映橋梁從細部到整體多層次損傷的多元模糊易損性分析方法，但相關的模糊隸屬度及權重的確定具有主觀性.

Copula函數(shù)是一種處理變量之間相關性的函數(shù)，可作為聯(lián)合概率密度函數(shù)與邊緣函數(shù)的連接函數(shù)，且不限制其邊緣分布函數(shù)的形式[9-10].劉月飛等[11]基于Vine-Copula函數(shù)進行失效非線性相關的橋梁截面可靠性分析.宋帥等[12-13]基于離差平方和準則選擇出最優(yōu)Copula函數(shù)，建立橋墩-支座的橋梁體系易損性曲線，與蒙特卡羅方法進行比較后認為基于Copula函數(shù)的方法不僅可以考慮到不同構件之間的相關性，同時可避免大量抽樣，提高了計算效率.

值得指出的是：以上研究多為基于Copula函數(shù)的考慮二元構件的結構體系易損性構建方法，但橋梁體系并非單純二元構件[14].本文在考慮橋梁結構體系失效構件串、并聯(lián)模式的前提下，對結構模型進行增量動力分析獲得橋墩支座、橋臺支座、橋墩等不同構件的易損性曲線，采用核光滑法建立不同構件的邊緣分布函數(shù)，通過平方歐式距離法選擇模擬效果最優(yōu)的Copula函數(shù)類型并進行參數(shù)估計，描述橋墩支座、橋臺支座、橋墩等不同構件之間的相關性，得到橋梁體系整體的易損性曲線，從而建立了一種基于多元Copula函數(shù)的考慮多元構件的橋梁體系易損性分析方法.

1 橋梁關鍵構件的損傷評估

傳統(tǒng)的橋梁易損性分析通常只將典型橋墩的曲率或位移閾值作為損傷參量，并沒有考慮其他關鍵構件的影響.實際上，橋梁體系包含橋墩、橋墩支座、橋臺支座等不同構件，對于大型復雜橋梁還包括拉索、懸索、主塔等關鍵構件，因此傳統(tǒng)橋梁地震易損性分析是不全面的.有鑒于此，本文建議連續(xù)梁橋整體可等效為由橋墩、橋墩支座和橋臺支座組成的串聯(lián)體系.應充分考慮各組成部分的損傷特征和程度進行初步的地震易損性分析，之后再根據(jù)各組成部分之間的相關性進行綜合易損性分析.下文將對各部分損傷狀態(tài)評估進行探討.

1.1 橋梁支座易損性分析

橋梁支座可以使橋梁結構周期延長，并起到增加阻尼的作用，已有的震害資料表明，在地震作用下，橋梁上部結構主梁部分多處于彈性狀態(tài)，而橋墩部分則易承受較大荷載而發(fā)生塑性鉸破壞，支座作為連接主梁和橋墩的主要傳力構件，經(jīng)常由于主梁與橋墩位移差較大或支座性能老化發(fā)生破壞.聚四氟乙烯滑板橡膠支座可以有效降低橋梁下部結構的地震響應，從而在工程上廣泛應用，本文主要討論聚四氟乙烯滑板橡膠支座的性能.使用板式雙線性模型來模擬滑動支座受力特性，其臨界摩擦力和初始剛度分別為Fmax=μR和K=Fmax/xy，式中，μ代表聚四氟乙烯材料與不銹鋼鋼板接觸面之間的摩擦因數(shù)，取0.06，R為支座承受的壓力，xy為初始滑移位移，一般取0.004 m.本文根據(jù)伸縮縫處碰撞的特點及針對支座破壞的研究，分別選取65、135、265、400 mm代表橋墩或橋臺滑動支座的輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞及完全破壞4種損傷程度，參見表1.

表1 典型橋梁構件損傷狀態(tài)對應的量化指數(shù)

1.2 基于墩端曲率的易損性分析

目前用來評價橋梁結構損傷程度的損傷指標主要有以下幾個類別：基于位移的損傷指標，主要包括墩端曲率、墩頂位移角、延性以及塑性鉸長度；基于剛度的損傷指標，主要包括頻率(周期)變化率以及剛度退化指數(shù)；基于能量的損傷指標，主要有等效滯回阻尼比等；基于位移-能量的損傷指標，主要包括Park-Ang模型[15]和Kratzig模型[16].一般認為地震作用下的橋墩端部曲率最能夠表征橋墩的彎曲破壞情況，可作為量化評價橋墩損傷程度的參數(shù).對于有具體配筋構造的橋墩，可使用XTRACT等軟件對橋墩鋼筋、保護層混凝土、核心混凝土分別進行材料屬性定義，建立橋墩截面模型，并對橋墩進行靜力非線性分析，可得出該橋墩模型的彎矩-曲率曲線.橋墩的破壞等級與橋墩曲率的變化范圍如表1所示.

然而，基于橋墩端部曲率或位移的損傷評估方法也有一些不足，最主要的是采用端部曲率或位移的最大值進行評價不能充分反映結構的滯回耗能特性及損傷演變過程.Park-Ang模型和Kratzig模型可以從能量和變形2個方面表征構件的損傷程度，但該模型一般僅適用于靜力分析，對于結構整體的時程分析應用性較差.針對以上問題，何浩祥等[17]提出基于彈塑性耗能差率的損傷指數(shù)模型.該模型認為損傷指數(shù)為體系彈塑性變形能和理想彈性變形能的差值(彈塑性耗能差)與理想彈性變形能的比率.對于如圖1所示的理想彈塑性單自由度體系，設其彈性階段的剛度為ke，后屈服剛度系數(shù)為α，屈服力和屈服位移分別為Fy和uy.當結構處于彈塑性狀態(tài)時，在位移um處的力和位移分別為Fm和um，此時延性為μm=um/uy，相應的周期為Tm.圖1中，面積SOBCD為結構位移為um時實際產(chǎn)生的彈塑性變形能EF，面積SOAD為相應的結構理想彈性變形能EE，面積SABC為上述二者之差，即彈塑性耗能差.由以上概念提出的基于彈塑性耗能差率的損傷指數(shù)可表示為

(1)

對于在地震作用下已經(jīng)進入彈塑性狀態(tài)的結構動態(tài)損傷指數(shù)可表示為

(2)

式中：p為結構在地震下剛剛進入彈塑性狀態(tài)下的時刻；n為地震結束時的時刻.FFi、FE0i和FEi分別為i時刻彈塑性狀態(tài)、絕對彈性狀態(tài)和理想彈性狀態(tài)下的基底剪力；uFi、uE0i和uEi分別為i時刻彈塑性狀態(tài)、絕對彈性狀態(tài)和理想彈性狀態(tài)下的頂部位移.絕對彈性狀態(tài)是指結構在微幅地震下所處的純彈性狀態(tài)，理想彈性狀態(tài)是指此時的結構最大彈性位移與實際結構最大彈塑性位移相一致，實際計算時需將uE0i和FE0i分別乘以調(diào)幅系數(shù)γ獲得.

圖1 理想彈塑性體系耗能示意圖Fig.1 Energy dissipation of elastic-plastic system

基于彈塑性耗能差率的損傷指數(shù)蘊含結構恢復力特征、彈塑性變形和累積耗能等因素，機理明確，結果嚴格約束在0～1，能夠全面準確地反映結構在地震動激勵下的損傷表征.試驗和數(shù)值模擬分析均表明該模型在時程分析具有較好的準確性.本文建議當采用彈塑性耗能差率進行橋墩損傷評估時，可根據(jù)表1中的損傷指數(shù)范圍確定對應的橋梁損傷狀態(tài).

2 多元串體系Copula模型

連續(xù)梁橋是橋梁中應用最為普遍的橋型之一，一般采用固定墩的損傷來表示橋梁整體損傷，但在實際情況下，連續(xù)梁橋自身易發(fā)生破壞的構件包括橋墩滑動支座、橋臺滑動支座、橋墩墩底等，這3種構件中任一構件發(fā)生破壞均可造成橋梁整體損傷.此外，由于地震的隨機性和結構的復雜性，并不能夠確定在地震作用下哪一類構件最先發(fā)生破壞.此時橋梁可視為串聯(lián)結構體系，即其中任一構件發(fā)生破壞，則橋梁結構整體失效.為了準確描述整體的損傷情況，本文引入Copula函數(shù)方法討論基于三元構件的連續(xù)梁橋整體易損性分析.

由Sklar定理[18]可知，n維隨機變量X=(x1,x2,…,xn)的邊緣分布函數(shù)為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，若F(x1,x2,…,xn)是連續(xù)的，則存在唯一Copula函數(shù)C滿足

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(3)

式中F(x1,x2,…,xn)為隨機變量x的聯(lián)合分布函數(shù).

由式(3)可得隨機向量X=(x1,x2, …,xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(4)

式中pxi(xi)為邊緣概率密度函數(shù).c(u)為Copula函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，且有

(5)

(6)

式中ui=Fi(xi)(i=1,2,…，n).u=(u1,u2,…,un).在求得邊緣分布函數(shù)之后可以構造出相應的聯(lián)合概率密度函數(shù).通過概率積分變換可知隨機變量Ui=Fxi(Xi)，i=1,2,…,n,U=(U1,U2,…,Un).因此，式(6)可以進一步改寫為

(7)

由式(3)～(7)可知，Copula函數(shù)是將多元隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)與各變量間的邊緣概率密度函數(shù)聯(lián)系起來，并考慮各變量之間的相關性，使多元隨機變量建模過程更加簡化.

對于三元串聯(lián)體系，不同單元失效模式的功能函數(shù)為

gi(X)=gi(X1,X2,…,Xn)≤0，i=1,2

(8)

將式(8)代入式(7)，可得在三元串聯(lián)結構體系中，3種失效模式同時發(fā)生的概率為

P(g1(X)≤0,g2(X)≤0,g3(X)≤0)=P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0))+P(Fg2(g2(X))≤Fg2(0))+P(Fg3(g3(X))≤Fg3(0))+P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg2(g2(X))≤Fg2(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))-P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg2(g2(X))≤Fg2(0))-P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))-P(Fg2(g2(X))≤Fg2(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))=Pfg1+Pfg2+Pfg3+C(Pfg1,Pfg2,Pfg3)-C(Pfg1,Pfg2)-C(Pfg1,Pfg3)-C(Pfg2,Pfg3)

(9)

式中：Pfg1、Pfg2、Pfg3表示3種超越概率；C表示三元Copula函數(shù).目前對于二元Copula的求解較為簡便，但對于三元甚至多元Copula函數(shù)的求解并沒有明確的方案，為了方便求解三元Copula函數(shù)值，本文通過條件概率函數(shù)并引入截斷函數(shù)[19]的概念對三元函數(shù)進行構造求解.

由上述多元Copula定義可得，假如n維隨機向量的邊緣分布函數(shù)為連續(xù)的一元分布函數(shù)，那么C(u1,u2,…，un)的邊緣分布是服從[0,1]均勻分布的多元分布函數(shù).根據(jù)條件概率原理可得，一個n維的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)可以用n個條件概率的乘積來表示.可建立

(10)

式中

當變量個數(shù)n>2時，可用2個條件事件的乘積來表示條件概率，即

(11)

一般情況下，條件概率可表示為

(12)

(13)

(14)

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聯(lián)合分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)可表示為

(15)

由式(10)(12)可得多元Copula函數(shù)構造方法

(16)

(17)

這樣，可得出三元Copula函數(shù)C(Pfg1,Pfg2,Pfg3)的值.此外，三元串聯(lián)體系整體超越概率也可代入式(9)進一步求出.

3 算例分析

為了驗證本文提出的基于多元Copula函數(shù)的橋梁整體易損性的有效性，選取如圖2所示的三跨連續(xù)梁橋進行Opensees有限元分析驗證.該橋梁橋跨組合為3×16 m.考慮到在多數(shù)情況下主梁不會進入彈塑性狀態(tài)，選用彈性單元模擬主梁，2個橋墩分別為固定墩與鉸接墩，鉸接墩與主梁通過滑動支座連接，主梁左側與橋臺也通過滑動支座進行連接，在Opensees中，滑動支座通過零長度單元進行模擬，其本構模型為板式雙線性模型.橋墩采用圓形截面，直徑為1.5 m，橋墩高度為8 m，采用C40混凝土，保護層厚度為5 cm，各橋墩縱筋均采用25根直徑為32 mm的HRB400鋼筋，鋼筋布置見圖2，橋墩配筋率為1.138%.橋墩可能會發(fā)生塑性破壞，因此采用非線性纖維單元 Concrete 01來模擬橋墩的保護層混凝土以及核心混凝土，鋼筋采用Steel 02本構模型進行模擬，橋墩基礎通過零長度單元模擬.通過對具有固定支座的橋墩進行截面分析，得到其端部彎矩-曲率曲線，并定義表1中的性能參數(shù)C1～C4分別為3×10-3、8×10-3、0.02和0.075.

圖2 連續(xù)梁橋總體布置Fig.2 General layout of continuous beam bridge

在地震作用下，橋梁橋墩、支座易發(fā)生破壞，為了驗證基于多元Copula函數(shù)橋梁整體易損性的結果，本文選取固定墩、橋墩滑動支座以及橋臺滑動支座3個構件組成串聯(lián)結構模型，每次計算中選取最優(yōu)Copula函數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合，從而得出考慮固定墩墩底曲率、橋墩滑動支座、橋臺滑動支座構件的橋梁整體易損性結果.

考慮到橋梁結構在結構尺寸、質(zhì)量、阻尼混凝土抗壓強度和支座剪切模量等多種因素存在不確定性，且結構的地震需求受這些參數(shù)的影響較大，因此在結構易損性分析中應考慮結構不確定性對于體系、構件超越概率帶來的影響，表2為對結構地震需求影響較大的結構參數(shù)不確定性及其概率分布.

表2 結構參數(shù)不確定性及其分布

橋梁結構在地震作用下會發(fā)生橫橋向以及順橋向的兩向破壞，為了選取損傷較為嚴重的破壞方向，首先分別求出各構件橫橋向和順橋向的易損性曲線，橋墩墩底曲率、橋墩滑動支座以及橋臺滑動支座在不同損傷程度下的易損性結果如圖3所示.經(jīng)分析可知，橋梁結構各構件的橫橋向損傷大于縱橋向損傷，因此選取各構件的橫橋向損傷作為分析對象.此外，圖3結果表明：在小震下，橋墩曲率損傷的概率要大于橋墩支座以及橋臺支座損傷的概率；在大震下，支座破壞的概率大于橋墩墩底曲率的概率.

在得到各構件易損性曲線之后，需要確定構件邊緣分布函數(shù)并實現(xiàn)Copula函數(shù)的擬合.構建單元邊緣分布函數(shù)的方法有參數(shù)法以及非參數(shù)法2種，參數(shù)法對于數(shù)據(jù)要求程度較高，需提前確定數(shù)據(jù)分布類型，適應性較小.非參數(shù)法是基于樣本數(shù)據(jù)經(jīng)驗分布函數(shù)及核密度估計法來實現(xiàn)的，核密度估計法不需提前對樣本分布類型進行假定，依據(jù)觀測樣本數(shù)據(jù)本身分布類型來確定總體的分布類型，適用性廣且較為簡便.通過選擇合適的核函數(shù)及窗寬，即可迅速得到樣本數(shù)據(jù)的邊緣分布函數(shù)，且擬合程度較好.限于篇幅，僅列出各構件在0.6g幅值地震下輕微損傷狀態(tài)的邊緣分布函數(shù)，如圖4所示.

圖3 不同損傷狀態(tài)下各構件橫縱向易損性曲線Fig.3 Comparison of transverse and longitudinal damages with different degrees

圖4 輕微損傷下?lián)p傷響應變量分布函數(shù)值Fig.4 Distribution function values of damage response under minor damage

本文選取分布估計法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)觀測值對Copula函數(shù)中未知參數(shù)進行估計.在確定樣本數(shù)據(jù)邊緣分布函數(shù)以及未知參數(shù)后，選取最小歐氏距離法及最優(yōu)Copula函數(shù)類型對數(shù)據(jù)進行擬合.每次擬合前使用表3中的5種函數(shù)類型對樣本數(shù)據(jù)進行判別，最終選取擬合效果最好的Copula函數(shù)類型.

首先研究考慮雙構件時橋梁整體易損性結果，選取具有代表性的橋墩墩底曲率及橋墩支座位移作為研究對象，認為橋梁是該兩構件組成的二元串聯(lián)結構體系，計算可得兩構件之間的Copula函數(shù)值.輕微損傷狀態(tài)下，當?shù)孛娣逯导铀俣葟?.1g變化至1.0g過程中，各類Copula函數(shù)的平方歐式距離結果參見表3.

表3 輕微損傷下各Copula函數(shù)平方歐式距離

圖5 二元體系易損性曲線Fig.5 Fragility curve of binary system

由表3可得各個PGA下的最優(yōu)Copula函數(shù)，根據(jù)最優(yōu)函數(shù)對損傷數(shù)據(jù)進行分析，將得到的Copula函數(shù)數(shù)值及兩構件在不同工況下?lián)p傷超越概率代入二元Copula函數(shù)計算公式，可得出不同損傷狀態(tài)下的易損性曲線，如圖5所示.

由結果分析可得，對于二元串聯(lián)結構，在損傷程度較低時，以橋墩損傷代表橋梁整體損傷與實際結果相差不大，但隨著損傷程度的增加，考慮橋墩墩底曲率、橋墩滑動支座二元構件的橋梁整體損傷結果要大于橋墩曲率易損性，因此，以單構件易損性來表示整體易損性是不恰當?shù)?，得出的結果與實際結果有較大的誤差.

對于由橋墩、橋墩滑動支座和橋臺滑動支座構成的三元串聯(lián)體系，將橋墩端部曲率、橋墩滑動支座位移以及橋臺滑動支座位移作為損傷響應指標進行易損性分析.選取橋墩滑動支座位移為中間變量，首先求出橋墩曲率、橋墩滑動支座位移之間的二元最優(yōu)Copula函數(shù)值，然后通過式(14)求出橋墩曲率、橋臺滑動支座位移兩個變量與橋墩滑動支座之間截斷函數(shù)的邊緣分布函數(shù)，其次將所求的值代入式(17)中求出考慮三構件的三元最優(yōu)Copula函數(shù)值，然后將三元最優(yōu)Copula函數(shù)值代入式(9)中，可得出三元串聯(lián)體系的超越概率.不同損傷狀態(tài)下，考慮三構件串聯(lián)體系的整體易損性曲線結果如圖6所示.

根據(jù)結果可知，對于考慮三元構件的橋梁整體易損性結果均要大于單獨構件下的易損性結果，這主要是因為考慮整體的易損性能夠協(xié)同考慮各構件的損傷特性并將所有構件的損傷納入到系統(tǒng)分析中，避免了基于單一構件損傷進行評估引發(fā)的片面性及對相關性考慮的不足.

如前文所述，基于彈塑性耗能差的損傷指數(shù)具有更好的精度，將其作為損傷響應指標引入到橋墩的易損性分析中，能夠更準確地評價橋墩的損傷演變和累積損傷特征.因此，本文建立了考慮橋墩滑動支座位移、橋臺支座位移、橋墩墩底損傷指數(shù)三元構件的橋梁整體易損性模型.與前文方法相同，最終獲得三元串聯(lián)體系的超越概率，結果如圖6所示.通過比對分析可知：在傳統(tǒng)認定的罕遇地震(地面峰值加速度小于0.6g)內(nèi)，基于損傷指數(shù)的體系易損性略大于基于橋墩曲率的體系易損性，這是由于在此階段內(nèi)橋梁的滯回耗能顯著，基于彈塑性耗能差的損傷指數(shù)能夠更充分地反映橋墩滯回損傷的特征，而墩底曲率的最值并不能對此進行全面體現(xiàn).當?shù)卣鸱颠^大時，橋墩出現(xiàn)嚴重損傷甚至接近倒塌，這時以位移或曲率為參數(shù)更能直接反映其損傷程度，因此基于墩端曲率的易損性偏大.在地震易損性分析中，對于普通橋梁建議采用基于損傷指數(shù)的體系易損性結果，對于重要橋梁可取2種方法的易損性曲線的包絡作為最終的評估結果.

圖6 三元體系易損性曲線Fig.6 Fragility curve of ternary system

4 結論

1) 地震易損性作為評估結構體系破壞程度的重要方法，目前采用的不考慮構件之間相關性得出的橋梁易損性或使用單構件易損性曲線來表述結構整體易損性的方法與實際損傷相差較大，難以準確體現(xiàn)考慮結構體系的整體易損性.本文將連續(xù)梁橋等效為橋墩、橋臺支座和橋墩滑動支座構成的三元串聯(lián)體系，并進行體系地震易損性分析.建議選取橋墩端部曲率或基于彈塑性耗能差的損傷指數(shù)、橋墩支座位移、橋臺支座位移作為損傷變量.

2) 本文提出的基于多元Copula函數(shù)的橋梁整體易損性研究方法，通過核密度估計法建立構件的邊緣密度函數(shù)，通過最小歐式距離法可找出最優(yōu)Copula函數(shù).針對多元Copula函數(shù)，可通過條件概率函數(shù)和截斷函數(shù)的概念，將多元Copula函數(shù)的求解轉換為多個二元Copula函數(shù)的求解，避免求解復雜的聯(lián)合概率密度函數(shù)，極大提高計算效率.結果表明：基于多元Copula函數(shù)的結構易損性方法可以為考慮多個關鍵構件的整體易損性分析提供良好的理論支持.橋梁整體易損性大于單個構件的易損性，對于大型橋梁進行整體易損性分析是十分必要的.相比墩端曲率，采用基于彈塑性耗能差的損傷指數(shù)可以更全面準確地反映橋墩損傷狀態(tài)，宜將其作為損傷響應指標進行易損性分析.