基于禁帶機(jī)理的加筋板減振設(shè)計(jì)方法

姜周,范雨,李琳,石佳慧

1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076 2. 北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院, 北京 100083 3. 北京航空航天大學(xué) 航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100083

在航空航天、船舶、汽車等領(lǐng)域,為了提高結(jié)構(gòu)的承載能力,通常采用加筋的方式以改善結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。其設(shè)計(jì)理念側(cè)重于在滿足質(zhì)量要求的前提下,使得單位質(zhì)量的承載能力最大,即具有較好的比強(qiáng)度和比剛度。故其設(shè)計(jì)目的一方面是降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量,即結(jié)構(gòu)優(yōu)化；另一方面是考慮不同加載模式下結(jié)構(gòu)的極限承載能力和屈服形式,即穩(wěn)定性分析。

加筋板的結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要體現(xiàn)在筋條的布局、材料和尺寸設(shè)計(jì)。如選用纖維復(fù)合材料替代鋁合金作為加強(qiáng)筋,通過改變筋條的截面形式和所處位置來優(yōu)化布局等。由于工程中加筋板受到的激勵形式多變,當(dāng)內(nèi)部應(yīng)力小于屈服應(yīng)力極限時(shí),也可能由于產(chǎn)生垂直于壓力方向的位移使得結(jié)構(gòu)承載能力降低而發(fā)生屈服,故存在穩(wěn)定性問題。因此在不同加載模式下對加筋板進(jìn)行穩(wěn)定性分析,判斷其失效形式和極限承載能力,是一個(gè)研究的熱點(diǎn)。如在軸壓載荷下,如何改善模型屈服失穩(wěn)或后屈服破壞等問題。

近年來,有研究將結(jié)構(gòu)優(yōu)化和穩(wěn)定性分析綜合起來考慮,如Alinia利用Ritz法研究了加筋板內(nèi)多參數(shù)設(shè)計(jì)的問題,表明可以通過增加筋條的寬度來增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剪切應(yīng)力。Wang等研究了剪切載荷下板內(nèi)筋條的優(yōu)化,通過采用加筋板的柔性夾芯,可以提高其屈服剛度。這些方法大多利用遺傳算法等手段,從靜力學(xué)角度出發(fā),以控制加筋板質(zhì)量為前提,盡量降低結(jié)構(gòu)的重量。

考慮到加筋板作為承力部件,面對復(fù)雜的載荷環(huán)境時(shí),會產(chǎn)生嚴(yán)重的振動問題。故目前也有部分研究利用被動或主動的控制方法對加筋板的噪聲和振動進(jìn)行控制。被動控制方法包括利用鋪設(shè)阻尼層、布置吸振器等對結(jié)構(gòu)振動進(jìn)行控制。主動控制則包括主動吸振器等。這些方法大部分基于等效層理論,用耗能、吸聲等方法對振動和噪聲進(jìn)行控制,而忽略了結(jié)構(gòu)的周期性。

聲子晶體等禁帶周期結(jié)構(gòu)概念的提出,為振動控制提供了新的思路。彈性波在這類周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí),由于結(jié)構(gòu)內(nèi)部幾何形狀、材料參數(shù)或邊界條件等周期性地變化,導(dǎo)致在某一頻帶內(nèi)形成特殊的傳播關(guān)系,從而抑制彈性波的傳播,該頻帶即被稱為禁帶(或帶隙)?，F(xiàn)階段有3種構(gòu)造禁帶的機(jī)理,可以構(gòu)造布拉格禁帶、局域共振禁帶和耦合禁帶,利用周期結(jié)構(gòu)的禁帶特性可以達(dá)到減振降噪的目的。

雖然現(xiàn)有研究早已指出周期結(jié)構(gòu)中彈性波禁帶中結(jié)構(gòu)響應(yīng)明顯降低,但在工程實(shí)踐中仍少見基于此原理,對工程周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)設(shè)計(jì)的案例。目前無法直接利用工程周期結(jié)構(gòu)內(nèi)禁帶特性的原因之一,就在于設(shè)計(jì)時(shí)并未把禁帶作為設(shè)計(jì)指標(biāo),導(dǎo)致其中禁帶的頻率較高,往往超出了其工作頻帶,以致無法直接滿足減振降噪的要求。

另外目前有關(guān)禁帶的研究大多是已知周期結(jié)構(gòu)的元胞(最小可重復(fù)單元),再求解其頻散曲線來獲得禁帶分布；隨后對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動響應(yīng)分析來驗(yàn)證禁帶的減振效果,即已知模型求解其波動特性,可稱為“正問題”。而工程中常常是先確定了需要振動抑制的頻帶,要求設(shè)計(jì)出符合這一需求的結(jié)構(gòu)。如何設(shè)計(jì)既具有良好的比剛度又能在所希望的頻率范圍產(chǎn)生禁帶達(dá)到減振目的結(jié)構(gòu),可稱為禁帶設(shè)計(jì)的“反問題”。由于工程問題以及工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,目前還少有直接基于禁帶理論對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性進(jìn)行設(shè)計(jì)的方法。就作者查閱文獻(xiàn)可知,對加筋板中的工程反問題的研究還較少,波動理論對加筋板等人工周期結(jié)構(gòu)的研究,大多是為了預(yù)報(bào)和分析這類結(jié)構(gòu)的振動與噪聲響應(yīng)特性,從而更側(cè)重于發(fā)展高效快捷的計(jì)算方法,較少考慮禁帶的設(shè)計(jì)和應(yīng)用。

針對這一現(xiàn)狀,同時(shí)并考慮到加筋板這一周期結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用的普遍性,以正交加筋板為對象,研究禁帶反問題設(shè)計(jì)方法以及其中的關(guān)鍵技術(shù),利用結(jié)構(gòu)本身周期性具有的禁帶特性實(shí)現(xiàn)振動控制。通過波有元法來計(jì)算不同模型的禁帶分布。該方法的主要優(yōu)勢在于可以借助商業(yè)有限元軟件建立元胞模型,在模型動力學(xué)矩陣上施加周期性邊界條件后即可進(jìn)行波動特性的求解。通過將元胞內(nèi)部自由度減縮為模態(tài)坐標(biāo),可以進(jìn)一步提高計(jì)算效率。

利用該算法,結(jié)合拉丁超立方采樣,以正交加筋板中的元胞數(shù)、筋條寬度和高度為設(shè)計(jì)指標(biāo),在控制加筋板質(zhì)量的前提下,建立了有限周期結(jié)構(gòu)的禁帶設(shè)計(jì)方法,并通過計(jì)算結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫響應(yīng)對設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了驗(yàn)證?？紤]到實(shí)際中的加筋板由于材料本身以及加工安裝等使其并非完美的周期結(jié)構(gòu),還分析了失諧對加筋板減振效果的影響。最后結(jié)合靜力學(xué)分析,利用結(jié)構(gòu)柔順度校核了設(shè)計(jì)模型的靜剛度,判斷設(shè)計(jì)方案下的加筋板是否具有良好的動、靜力學(xué)性能。

1 基于禁帶減振機(jī)理的加筋板設(shè)計(jì)方法

1.1 加筋板模型

本文以正交加筋板為研究對象(圖1(a)),在保證正方形基板總體尺寸不變的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)筋的結(jié)構(gòu)尺寸(即筋寬和筋高)和間距(即元胞尺寸),使得結(jié)構(gòu)在目標(biāo)頻帶內(nèi)產(chǎn)生禁帶,從而達(dá)到控制振動的目的。

圖1 加筋板及元胞示意圖Fig.1 Illustration of stiffened plate and its unit cell

需要說明的是,雖然現(xiàn)階段存在3種禁帶構(gòu)造機(jī)理,但無論何種類型,禁帶內(nèi)的彈性波都無法遠(yuǎn)距離傳播,能涵蓋目標(biāo)頻帶的禁帶都可用于控制結(jié)構(gòu)振動。因此此處并未限定所用的禁帶類型。

利用有限元軟件ANSYS對加筋板元胞(圖1(b))進(jìn)行建模,并導(dǎo)出其動力學(xué)矩陣,編程實(shí)現(xiàn)周期性邊界條件的施加和波動特性的求解。

建模時(shí),基板由六自由度四節(jié)點(diǎn)的SHELL181單元構(gòu)成,筋條由六自由度兩節(jié)點(diǎn)的BEAM188單元構(gòu)成。單元中六自由度分別為沿3個(gè)方向的平動自由度(,,)和3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動自由度(,,)。2種單元通過耦合方程進(jìn)行結(jié)合,以保證接觸面對應(yīng)筋條節(jié)點(diǎn)和基板節(jié)點(diǎn)位移及轉(zhuǎn)角的連續(xù)性,對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的關(guān)系如下：

(1)

式中：為基板寬度;為筋高；下標(biāo)p代表為基板自由度,下標(biāo)s代表為筋條自由度。如p表示基板節(jié)點(diǎn)沿方向的位移,s為筋條節(jié)點(diǎn)沿方向的轉(zhuǎn)角。

對元胞中各節(jié)點(diǎn)施加約束條件后,即可建立加筋板的元胞模型。當(dāng)結(jié)構(gòu)中不含阻尼時(shí),可以得到元胞動力學(xué)方程：

(-)=

(2)

式中：和分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；表示位移向量；表示力向量；為頻率。

對式(2)施加周期性邊界條件,即得到結(jié)構(gòu)的波動方程,進(jìn)而對其求解后就可以獲得給定尺寸加筋板的波動特性?？紤]到需要反復(fù)計(jì)算不同設(shè)計(jì)尺寸下元胞的頻散曲線,為了提高計(jì)算效率,此處采用了波有限元減縮算法。

1.2 波有限元減縮算法

圖2 元胞節(jié)點(diǎn)分布示意圖Fig.2 Nodes definition of unit cell

對于自由波動,元胞只在邊界處受力,因此元胞內(nèi)力守恒。將式(2)中的矩陣和向量按照節(jié)點(diǎn)位置重新分塊,得動力學(xué)方程為

(3)

為了保證求解的精度,每個(gè)波長內(nèi)的至少需要有6～12個(gè)網(wǎng)格。同時(shí)考慮到需要計(jì)算的模型較多,故在求解式(3)的波動特性前,對內(nèi)部自由度進(jìn)行模態(tài)減縮,可以減小矩陣規(guī)模,節(jié)約計(jì)算時(shí)間。減縮主要基于Craig-Bampton方法。即將邊界自由度固定,將內(nèi)部自由度轉(zhuǎn)到模態(tài)坐標(biāo),其中轉(zhuǎn)換矩陣滿足：

(4)

式中：為固定界面主模態(tài),通過固定邊界自由度=,求解如下特征值方程獲得：

(-)=

(5)

<∈{1,2,…,}

(6)

(7)

故按模態(tài)坐標(biāo)和邊界自由度分塊后的減縮系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(8)

考慮其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)不受外力,因此可進(jìn)一步縮小矩陣規(guī)模：

(9)

由周期邊界理論可知,邊界節(jié)點(diǎn)的自由度應(yīng)當(dāng)滿足如下關(guān)系：

(10)

(11)

其中：=e-j,=e-j。e為自然對數(shù),、分別為沿著和方向的波數(shù),波數(shù)的實(shí)部和虛部分別反映了彈性波在經(jīng)過一個(gè)元胞的傳播后產(chǎn)生的相位變化和幅值衰減,即傳播常數(shù)和衰減常數(shù)。對于傳播波,在傳播過程中幅值并無衰減,故有||=1；對于快衰波,其幅值隨彈性波傳播而衰減,有||≠1。,為元胞沿著和方向的尺寸,在本文中由于選取了正方形元胞,有==。

同樣,根據(jù)邊界處節(jié)點(diǎn)力平衡有

(12)

將式(10)和式(12)代入式(9)可得中：

(13)

(14)

1.3 禁帶設(shè)計(jì)流程

1) 設(shè)計(jì)目標(biāo)

(15)

當(dāng)基板尺寸確定時(shí),該系數(shù)越小則表明結(jié)構(gòu)越輕。

加筋板的靜力學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)一般為在限定結(jié)構(gòu)總質(zhì)量前提下,保證結(jié)構(gòu)的剛度需求并通過強(qiáng)度校核；動力學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)則是在滿足靜力學(xué)指標(biāo)要求的前提下,在給定頻率范圍內(nèi)使板的彎曲振動限制在一定水平之下。設(shè)計(jì)時(shí)可以先根據(jù)給定總質(zhì)量下的振動指標(biāo)設(shè)計(jì)加筋方案,然后完成靜剛度校核。

對于一個(gè)邊長和寬度的方板,給定的動力學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)為在滿足質(zhì)量比的條件下,在板上加設(shè)正交周期分布的筋條。使其具有涵蓋目標(biāo)頻帶的禁帶,從而抑制頻帶內(nèi)激勵產(chǎn)生的振動。因此問題歸結(jié)于如何確定周期加筋板中的元胞數(shù)、筋條寬度和高度。

2) 設(shè)計(jì)方法

基于禁帶機(jī)理的加筋板減振設(shè)計(jì)(禁帶反問題設(shè)計(jì))可分為2大步驟：

第1步,根據(jù)基板尺寸給定一個(gè)元胞數(shù)的取值范圍,每一個(gè)元胞數(shù)對應(yīng)一個(gè)元胞尺寸=。對于每一個(gè)確定的元胞數(shù)(或元胞尺寸),禁帶出現(xiàn)的頻率范圍就取決于元胞內(nèi)的筋條尺寸(寬度和高度)。這一步的主要任務(wù)就是對于一個(gè)確定的元胞數(shù)(或元胞尺寸)計(jì)算所有可能的筋條尺寸下加筋板的禁帶特性,從中選取滿足目標(biāo)禁帶需求的筋條尺寸。

第2步,對比各個(gè)元胞數(shù)的筋條尺寸方案,確定滿足目標(biāo)禁帶需求的元胞數(shù)和筋條尺寸。

具體的設(shè)計(jì)流程如圖3所示。以下詳細(xì)論述基于該流程對禁帶“反問題”設(shè)計(jì)時(shí)需要解決的問題以及本文所采取的解決方案(以“關(guān)鍵技術(shù)”字樣標(biāo)注在設(shè)計(jì)流程中對應(yīng)的環(huán)節(jié))。

圖3 加筋板設(shè)計(jì)流程圖Fig.3 Diagram of stiffened plate and its unit cell

① 關(guān)鍵技術(shù)1(確定采樣空間)

結(jié)構(gòu)中筋條的寬度和高度都是連續(xù)變量,這意味著給定元胞面積(即對應(yīng)給定的元胞數(shù))后,有無窮多組筋條尺寸可以選擇。當(dāng)對筋寬和筋高各取個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),需要對加筋板作次計(jì)算與分析,以獲得對應(yīng)每個(gè)數(shù)據(jù)的彎曲波禁帶。當(dāng)較大時(shí)(比如超過100),即使采用波有限元減縮算法,其計(jì)算量也是十分龐大的。為解決這一問題,本文采用了拉丁超立方采樣(LHS)構(gòu)造一個(gè)離散數(shù)據(jù)的樣本空間。

該方法是Mckay等于1979年提出的一種分層采樣方法。其基本原理是將樣本點(diǎn)分層并均勻覆蓋整個(gè)采樣空間,用較小的采樣規(guī)模即可準(zhǔn)確反映樣本的分布。當(dāng)需要對個(gè)樣本各采樣次時(shí),原有的采樣規(guī)模為,按LHS采樣可以將采樣規(guī)模降為×,極大地降低了需要計(jì)算的采樣組數(shù)。

將其用于筋條寬度和高度的取值時(shí),如果希望獲得每個(gè)維度取100個(gè)值的結(jié)果,只需對加筋板進(jìn)行200次禁帶計(jì)算分析(否則需進(jìn)行100次計(jì)算)。該算法MATLAB已經(jīng)有成熟的函數(shù)(lhsdesign),可以直接利用。

需要注意的是,作為一種通用算法,它給出的是歸一化的參數(shù)分布,即所有值都位于0～1之間,在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行換算,以得到實(shí)際尺寸。利用LHS程序時(shí),只需輸入數(shù)據(jù)維度、每一維度數(shù)據(jù)變化范圍、再設(shè)定總采樣數(shù),程序即可按LHS方法返回在總采樣數(shù)為時(shí),每個(gè)維度的采樣數(shù)據(jù)。顯然,總采樣數(shù)不同時(shí),每個(gè)維度的采樣數(shù)據(jù)也不同。因此會出現(xiàn)取得不合適需要重新采樣、計(jì)算的情況。

② 關(guān)鍵技術(shù)2(禁帶的識別)

考慮到復(fù)雜結(jié)構(gòu)內(nèi)往往存在多種波,彎曲波的禁帶內(nèi)其他波有可能可以傳播。因此在得到加筋板元胞的頻散曲線或能帶圖后,利用單波形占比(RSW)作為指標(biāo)來消除目標(biāo)頻帶內(nèi)其他波的影響,方便選出彎曲波禁帶的分布范圍。

(16)

即除3個(gè)表征彎曲變形的自由度外,其余各自由度均設(shè)為零的模態(tài)。

再計(jì)算參考波模態(tài)與完整波模態(tài)的模態(tài)置信因子(MAC),就得到了單波形占比：

RSW=MAC(,)=

(17)

單波形占比是位于0～1的實(shí)數(shù),0表明參考波模態(tài)對完全波模態(tài)沒有貢獻(xiàn),即不含有該變形；1表明完全波模態(tài)完全由參考波模態(tài)構(gòu)成。本文設(shè)置彎曲波的占比RSW>06,以排除其他波對彎曲波禁帶篩選的干擾。

板的減振一般針對的是彎曲振動,因此只需利用彎曲波占比(RSW)即可識別出彎曲振動主導(dǎo)的彈性波及其禁帶。

同時(shí)為了確定禁帶的邊界頻率,僅畫出彎曲變形主導(dǎo)的傳播波的頻散曲線(對應(yīng)||=1),再利用禁帶內(nèi)不存在傳播波的特性來確定禁帶的邊界頻率。由于這一性質(zhì)與禁帶的種類無關(guān),故用該方法可以識別結(jié)構(gòu)中存在的各類禁帶。

③ 關(guān)鍵技術(shù)3(禁帶的評價(jià))

周期加筋板禁帶“反問題”設(shè)計(jì)的第2個(gè)步驟是比較由第1步得出的對應(yīng)每一個(gè)元胞數(shù)的筋條尺寸方案(筋條寬度和高度),進(jìn)而確定最終的元胞數(shù)及對應(yīng)的筋條尺寸。比較不同元胞數(shù)的筋條尺寸方案,實(shí)際上就是比較各種方案的加筋板禁帶。由第1步給出的每一個(gè)方案,其禁帶帶寬及在頻域上出現(xiàn)的位置都能滿足目標(biāo)頻帶的要求,因此問題歸結(jié)為這些禁帶是否具有等同的減振效果,應(yīng)該如何評價(jià)對應(yīng)不同元胞尺寸產(chǎn)生的相同頻率范圍的禁帶。

根據(jù)波動理論,在禁帶內(nèi),禁帶頻率內(nèi)波數(shù)(=+j)的虛部代表彈性波在無限大介質(zhì)中每傳播一個(gè)元胞產(chǎn)生的衰減程度,即+1=e-p；表示相位的變化;經(jīng)過個(gè)元胞后,彈性波的衰減程度為=e-p(不考慮反射)。推廣到有限大結(jié)構(gòu)可知,不同元胞數(shù)(周期不同)的同一結(jié)構(gòu)中彈性波的衰減程度不同。根據(jù)這一特性,本文提出平均衰減因子的概念來評價(jià)(有限大)結(jié)構(gòu)禁帶對彈性波的衰減能力。其定義式為

(18)

式中：和為目標(biāo)頻帶的起始和終止頻率。該因子越大,表明衰減程度越強(qiáng),禁帶效果越明顯,當(dāng)工作頻帶內(nèi)無禁帶時(shí),有=0,=1,即=1,表明彈性波無衰減。需要強(qiáng)調(diào)的是,該因子是從頻散曲線中提取出的概念,因此僅能用于評價(jià)禁帶對沿某一方向傳播的彈性波的衰減能力。對禁帶的方向性評價(jià)還需要借助能帶圖。

2 加筋板彎曲波禁帶設(shè)計(jì)實(shí)例

如圖1所示的正交加筋板,基板和筋條材料參數(shù)為：彈性模量=2.09×10Pa,泊松比=0.33,密度=7 500 kg/m?；蹇傞L度=1 m,=5×10m。通過模態(tài)分析可知,基板在2 000～2 500 Hz存在模態(tài)密集現(xiàn)象,故選取該頻帶為控制頻帶。通過設(shè)計(jì)筋條尺寸(筋寬和筋高)和間距(元胞尺寸),使結(jié)構(gòu)在2 000～2 500 Hz內(nèi)產(chǎn)生禁帶,達(dá)到控制此頻率范圍內(nèi)彎曲振動的目的；筋板質(zhì)量比的容許變化范圍15%～25%。

2.1 加筋板禁帶設(shè)計(jì)流程

根據(jù)圖3所示設(shè)計(jì)流程,首先根據(jù)基板尺寸大致設(shè)定了一個(gè)合理可行的元胞數(shù)變化范圍：6≤≤20,相應(yīng)的元胞尺寸的范圍為0.05 m≤≤0.166 7 m。然后要遍歷元胞數(shù)(或元胞尺寸),對每個(gè)元胞數(shù),判斷是否符合設(shè)計(jì)要求的尺寸。

以元胞數(shù)=13為例,首先利用拉丁超立方采樣程序獲得總采樣數(shù)=50時(shí)需要計(jì)算的筋寬和筋高數(shù)據(jù)組,這一過程又稱在筋寬和筋高連續(xù)變化的二維空間中采樣。通過式(15)篩選出質(zhì)量比在設(shè)定范圍的每一組筋寬和筋高數(shù)據(jù),計(jì)算對應(yīng)的加筋板的彈性波頻散曲線,利用RSW找到其中的彎曲變形主導(dǎo)波的頻散曲線,看是否存在能涵蓋目標(biāo)頻帶的禁帶。圖4給出的是基于第1輪數(shù)據(jù)組計(jì)算得到的禁帶最寬的加筋板頻散曲線(含RSW),圖中橫坐標(biāo)為頻率,縱坐標(biāo)為彈性波的傳播常數(shù)。對應(yīng)尺寸為筋寬=0.034 536 m,筋高=0.001 248 m。

圖4 含RSWf的頻散曲線(第1次迭代)Fig.4 Dispersion curves with RSWf (first iteration)

圖4中虛線表征了禁帶的起始和終止頻率?？梢娎肦SW可以準(zhǔn)確判斷彎曲波禁帶的位置,此時(shí)禁帶頻率滿足實(shí)部Real()=π,故為布拉格禁帶。很明顯這個(gè)禁帶寬度不符合設(shè)計(jì)要求。這說明元胞數(shù)為13時(shí),在對應(yīng)的元胞面積范圍內(nèi),第1次用拉丁超立方采樣程序給出的50組筋寬和筋高數(shù)據(jù)中,沒有一組能使對應(yīng)的加筋板產(chǎn)生滿足要求的禁帶。如果所有采樣數(shù)據(jù)對應(yīng)的加筋板的彎曲波禁帶帶寬都不滿足要求,則需進(jìn)行第2輪計(jì)算。

在這種情況下需要改善數(shù)據(jù)組,即重構(gòu)拉丁立方采樣空間。有2種重構(gòu)方案：一是不改變筋寬和筋高數(shù)據(jù)的變化范圍、直接增大總采樣數(shù),比如將50變?yōu)?00；另一種方案是利用第1輪的計(jì)算結(jié)果(對應(yīng)最大禁帶寬度的筋寬和筋高),縮小筋寬和筋高數(shù)據(jù)的變化范圍(減小LHS的數(shù)據(jù)空間)；這里采用了第2種方案。實(shí)際上數(shù)據(jù)空間減小之后,總采樣數(shù)也可適當(dāng)減少。一般經(jīng)過2到3次重構(gòu)拉丁立方采樣空間,即可找到滿足要求的筋寬和筋高,或可以確定對應(yīng)的元胞數(shù)下不存在滿足要求的筋寬和筋高數(shù)據(jù)。

對從6～20的每一個(gè)元胞數(shù),實(shí)施上述計(jì)算后,只在元胞數(shù)=8時(shí),得到了一組符合設(shè)計(jì)要求的解：筋寬=0.001 823 m,筋高=0.041 051 m。對應(yīng)該筋條尺寸的加筋板中沿方向傳播的彈性波頻散曲線如圖5所示,其中虛線為禁帶邊界頻率。

圖5 設(shè)計(jì)尺寸的頻散曲線Fig.5 Dispersion curves of design size

利用RSW容易識別出圖5中布拉格禁帶對應(yīng)的是彎曲變形主導(dǎo)波的傳播禁帶,可見該設(shè)計(jì)尺寸下,彎曲波禁帶涵蓋了目標(biāo)頻段,滿足設(shè)計(jì)需求。

利用能帶圖判斷這一禁帶的方向性分布見圖6,其中、、、、表示波傳播的不同方向。該圖也用RSW區(qū)分不同種彈性波,其中灰色陰影表示禁帶的分布。由于陰影部分不存在對應(yīng)彎曲變形的傳播波波數(shù)分布,可見該設(shè)計(jì)下的禁帶為完全禁帶,即可以抑制各個(gè)方向傳播的彈性波。

圖6 設(shè)計(jì)尺寸的能帶圖Fig.6 Band structure of design size

2.2 最終方案確定

在遍歷元胞數(shù)尋求滿足要求的筋條尺寸的過程中,按設(shè)計(jì)流程找到滿足要求的筋條尺寸即停止對該元胞數(shù)的計(jì)算,轉(zhuǎn)入對下一元胞數(shù)的計(jì)算；只有在對應(yīng)該元胞數(shù)不存在滿足要求的筋條尺寸時(shí)才會把LHS空間中的所有數(shù)據(jù)遍歷。這一過程沒有考慮可能存在的多解問題,即LHS空間的數(shù)據(jù)中可能不只一組數(shù)據(jù)滿足設(shè)計(jì)要求。更合理的方法是即使找到滿足設(shè)計(jì)要求的筋條尺寸也應(yīng)完成對LHS空間中所有數(shù)據(jù)的遍歷。

本例中,元胞數(shù)=8(對應(yīng)的元胞尺寸=0125 m)時(shí),在得到滿足設(shè)計(jì)要求的筋條尺寸后,繼續(xù)計(jì)算,完成對LHS空間中所有數(shù)據(jù)的遍歷,一共可得3組滿足設(shè)計(jì)需求的方案,如表1 所示。其中方案1為2.1節(jié)確定的設(shè)計(jì)尺寸。

采用表1中的筋條尺寸構(gòu)造出的加筋板都滿足彎曲波禁帶要求,對其取舍的問題涉及的就是如何對禁帶減振效果的評價(jià)?？梢娫撛O(shè)計(jì)下的布拉格禁帶為完全禁帶,可以抑制各個(gè)方向傳播的彈性波。另外表1中方案2的禁帶也涵蓋了目標(biāo)頻帶,但其質(zhì)量比=0.261 0,不滿足輕質(zhì)化的要求。同時(shí)可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,元胞尺寸最終收斂到同一個(gè)值。

表1 加筋板不同設(shè)計(jì)尺寸Table 1 Different design sizes of stiffened plate

注意到同一元胞數(shù)的不同方案是不同元胞數(shù)方案的特例,故也能用2.1節(jié)中的平均衰減因子對不同方案進(jìn)行評價(jià)。為此按式(18)計(jì)算表1中不同方案的衰減因子如表2所示,可見在設(shè)定質(zhì)量比內(nèi),方案1具有最高的有限衰減因子。

值得注意的是,只是由于設(shè)計(jì)的初衷為獲得能涵蓋目標(biāo)頻段的禁帶,并不涉及優(yōu)化設(shè)計(jì),因此最終方案對應(yīng)的設(shè)計(jì)尺寸不一定為最佳尺寸。而有限衰減因子可以作為后續(xù)優(yōu)化的指標(biāo)。

表2 有限衰減因子Table 2 Finite attenuation factor

2.3 強(qiáng)迫響應(yīng)驗(yàn)證

基于彈性波傳播的禁帶理論按圖3示設(shè)計(jì)流程設(shè)計(jì)加筋板的筋條尺寸時(shí),不需要考慮板的邊界條件,即該設(shè)計(jì)方法與邊界條件無關(guān),對不同邊界條件下的結(jié)構(gòu)都應(yīng)當(dāng)有較好的減振效果。因此本節(jié)通過計(jì)算基于該理論所設(shè)計(jì)的加筋板在不同邊界條件下的位移響應(yīng)傳遞函數(shù)對此作進(jìn)一步驗(yàn)證。驗(yàn)證模型為2.2節(jié)基于傳播波禁帶理論設(shè)計(jì)的正交加筋板,元胞及筋條尺寸取方案1的結(jié)果；其動力學(xué)特性為：在2 000～2 500 Hz之間存在彎曲變形主導(dǎo)的彈性波絕對禁帶。

當(dāng)元胞尺寸為0.125 m時(shí),沿方向和方向的元胞數(shù)=8,按方案1的尺寸建立元胞后,延拓即可得到設(shè)計(jì)的加筋板(如圖7所示)。

圖7 加筋板及監(jiān)測點(diǎn)分布示意圖Fig.7 Distribution of stiffened plate and monitoring points

在不同邊界下,在加筋板左端邊界中間節(jié)點(diǎn)上施加幅值為1 000 N,沿向的激振力,以激發(fā)出結(jié)構(gòu)的彎曲波。利用有限元軟件ANSYS在1 500～3 000 Hz內(nèi)做諧響應(yīng)分析,通過對比不同監(jiān)測點(diǎn)在禁帶和通帶內(nèi)的傳遞函數(shù),來驗(yàn)證禁帶的減振效果。

(19)

式中：()為板中(某點(diǎn))自由度的位移頻率響應(yīng)；()為作用在(某點(diǎn))自由度的激振力。通過對比禁帶和通帶內(nèi)結(jié)構(gòu)傳輸特性的差異,來驗(yàn)證禁帶對彈性波的控制效果。

1) 邊界條件影響

在自由邊界下,計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)的傳遞特性如圖8所示。圖中藍(lán)色曲線為點(diǎn)的傳遞函數(shù),紅色為點(diǎn)的傳遞函數(shù),虛線為不同頻段傳遞函數(shù)的平均值。可見目標(biāo)頻帶內(nèi)的響應(yīng)明顯低于2段參考頻帶(1 500～2 000 Hz和2 500～3 000 Hz)的響應(yīng)。

圖8 水平方向位移傳輸特性(自由邊界)Fig.8 Transmission characteristics in horizontal direction (free boundary condition)

值得注意的是,禁帶內(nèi)點(diǎn)的響應(yīng)大于點(diǎn)的響應(yīng),出現(xiàn)了與彈性波隨元胞數(shù)增加呈指數(shù)衰減特性相反的現(xiàn)象,這就是邊界的反射作用。同時(shí)可見,禁帶內(nèi)出現(xiàn)了一些共振峰(共7階模態(tài)),這些峰值的量級幾乎與禁帶外的響應(yīng)量級等同。實(shí)際上Mead推導(dǎo)一維有限周期結(jié)構(gòu)內(nèi)固有頻率和禁帶邊界頻率的關(guān)系,在特定邊界條件下,固有頻率才可能位于禁帶邊緣。雖然單個(gè)衰減波不會傳遞能量,但Bobrovnitskii和Kurze指出,衰減波之間是存在能量流動的。因此在某些情況下禁帶內(nèi)是存在共振的。

選取均質(zhì)板和加筋板位于同一位置的右側(cè)節(jié)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。圖9中陰影部分為目標(biāo)頻帶,虛線為不同頻段的平均響應(yīng)?？梢娫谀繕?biāo)頻帶內(nèi),無論是加筋板的強(qiáng)迫響應(yīng)還是平均響應(yīng)都較均質(zhì)板的低,表明該設(shè)計(jì)下,系統(tǒng)的振動得到了有效控制。對比2段參考頻帶(1 500～2 000 Hz 和2 500～3 000 Hz),發(fā)現(xiàn)均質(zhì)板響應(yīng)并無明顯區(qū)別,而加筋板的頻響函數(shù)明顯較低,進(jìn)一步突出了禁帶的減振效果。另外可見該設(shè)計(jì)也能降低均質(zhì)板中的模態(tài)密度。

圖9 加筋板/基板的傳輸特性Fig.9 Transmission characteristics for stiffened and uniform plate

為了進(jìn)一步驗(yàn)證禁帶的方向性分布,在相對激勵點(diǎn)的30°、60°、90°方向各取了一個(gè)距激勵點(diǎn)0.5 m的點(diǎn)計(jì)算對激勵的位移響應(yīng)傳遞函數(shù)。計(jì)算結(jié)果如圖10所示,圖中虛線為該頻段位移響應(yīng)傳函的平均值?？梢娫?0°和60°方向目標(biāo)頻帶內(nèi)的響應(yīng)得到了控制。90°方向正好是沿邊界方向,由于邊界的反射作用十分顯著,因此振動抑制效果不明顯。如果激勵點(diǎn)位于板內(nèi),則90°方向也會具有較好的振動抑制效果。

圖10 不同角度的傳遞特性對比Fig.10 Transmission characteristics at different propagation angles

圖11分別給出在一個(gè)禁帶頻率(2 020 Hz)激勵下和一個(gè)通帶頻率(2 550 Hz)激勵下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)云圖,以更直觀地對比禁帶和通帶頻率激勵下加筋板的振動響應(yīng)?？紤]到結(jié)構(gòu)的對稱性,只給出了加筋板上半部分的位移云圖,其中白色虛線為加強(qiáng)筋所在位置。

圖11 單點(diǎn)激勵下位移場對比Fig.11 Comparison of displacement field under single-support excitation

對比圖11(a)和圖11(b)可知,禁帶頻率激勵下的位移響應(yīng)遠(yuǎn)低于通帶頻率激勵下的位移響應(yīng),且禁帶頻率的激勵效果僅出現(xiàn)在力的作用點(diǎn)附近,這說明禁帶頻率激起的振動在各個(gè)方向傳遞時(shí)都受到了限制?？梢娫谠摻麕橥耆麕?即對沿各個(gè)方向傳播的彈性波都存在抑制效果。

考慮到工程中加筋板的實(shí)際邊界條件很難簡單用“自由”、“固支”或“簡支”等模擬,這里采用可變剛度的彈性支承模擬一般的邊界條件,示意圖見圖12。激勵點(diǎn)和位移響應(yīng)采集點(diǎn)以及他們的方向均同自由邊界情況。

圖12 邊界為彈性支承的加筋板示意圖Fig.12 Illustration of stiffened plate with elastic supports on the boundary

圖13給出了不同邊界條件下,、這2個(gè)點(diǎn)的位移響應(yīng)傳遞函數(shù),其中支撐剛度越大,越接近固支邊界。由圖13可見,不論哪種支撐剛度,目標(biāo)頻帶內(nèi)的位移響應(yīng)都能得到不同程度的抑制。隨著支撐剛度的增加,禁帶內(nèi)的共振峰也隨之降低。支撐剛度較小時(shí),其效果等同于自由邊界的情況。

圖13 傳遞特性隨支撐剛度變化Fig.13 Different transmission characteristics with support stiffness

由禁帶減振原理可知,禁帶主要通過降低模態(tài)密度來達(dá)到控制其中平均響應(yīng)的目的,因此禁帶減振對邊界條件不敏感。根據(jù)這一特點(diǎn),基于自由邊界出的該絕對禁帶能抑制沿各個(gè)方向的振動的結(jié)論也能推廣到任意邊界條件,故不再計(jì)算其他方向的位移響應(yīng)傳遞函數(shù)。

實(shí)際上文獻(xiàn)[48]也指出,在邊界出引入阻尼后,可以有效緩解禁帶共振的負(fù)面影響。這也為禁帶內(nèi)響應(yīng)控制提供了一種設(shè)計(jì)思路。即不用在整個(gè)周期結(jié)構(gòu)內(nèi)鋪設(shè)阻尼,僅在邊界處設(shè)置阻尼后,就可以進(jìn)一步抑制或者消耗振動能量,從而進(jìn)一步降低目標(biāo)帶內(nèi)的響應(yīng)。

2) 材料失諧影響

由于加工工藝和材料本身的缺陷,實(shí)際的筋條尺寸或形狀一般存在微小差異,這種現(xiàn)象被稱為周期結(jié)構(gòu)的失諧。由失諧的原因不難理解失諧廣泛存在于實(shí)際工程中,而以往的周期結(jié)構(gòu)理論對這一現(xiàn)象缺少關(guān)注。失諧現(xiàn)象是否會通過改變結(jié)構(gòu)的周期性影響禁帶的減振效果是一個(gè)值得研究的實(shí)際問題。因此本節(jié)以設(shè)計(jì)的加筋板為例,研究材料失諧對禁帶性能的影響。

研究主要通過設(shè)置筋條材料彈性模量的微小差異來模擬材料失諧。設(shè)失諧強(qiáng)度為5%,即每根筋條材料的實(shí)際彈性模量是名義彈性模量2.09×10N/m的±5%；用計(jì)算機(jī)生成均值等于名義彈性模量、方差為5%的滿足正態(tài)分布的16個(gè)隨機(jī)數(shù),與名義彈性模量相加即得到了16根筋條材料彈性模量分布的一個(gè)樣本,一共計(jì)算了10個(gè)樣本。

4邊自由工況下,模型最右端所有節(jié)點(diǎn)的平均響應(yīng)(對應(yīng)10組失諧筋條尺寸樣本數(shù)據(jù))如圖14 所示,圖中橫坐標(biāo)為節(jié)點(diǎn)方向的坐標(biāo),縱坐標(biāo)為目標(biāo)頻帶(2 000～2 500 Hz)的平均響應(yīng)。為了便于比較,圖中同時(shí)給出筋條材料用名義彈性模量時(shí)的結(jié)果(諧調(diào)情況)。其中黑色虛線為諧調(diào)情況,藍(lán)色實(shí)線為材料失諧情況。

圖14 失諧情況平均響應(yīng)Fig.14 Average response with mistuning cases

由圖14可知,對于諧調(diào)情況,響應(yīng)沿=0.5 m 對稱分布,當(dāng)引入失諧時(shí),破壞了結(jié)構(gòu)的對稱性,使得對稱位置的平均響應(yīng)出現(xiàn)差異。而對比不同失諧情況的平均響應(yīng)分布可知,失諧響應(yīng)總是圍繞諧調(diào)情況的響應(yīng)上下波動,即采用隨機(jī)失諧模式難以降低所有節(jié)點(diǎn)的平均響應(yīng)。

同樣對3邊彈支工況實(shí)施同樣的計(jì)算與分析,以研究不同邊界條件下失諧的影響。分別考慮了4種支撐剛度：10N/m、10N/m、10N/m和10N/m。從結(jié)構(gòu)最右側(cè)所有節(jié)點(diǎn)中,選取距底邊分別為0.2 m,0.3 m,0.8 m和0.9 m處(圖14 中紅色虛線)的4個(gè)節(jié)點(diǎn),分別計(jì)算各節(jié)點(diǎn)對應(yīng)10組失諧筋條尺寸樣本的最大響應(yīng)相對差隨支撐剛度的變化,可得表3。

由表3可見,不同支撐剛度下,最大響應(yīng)相對差都較小,表明不同邊界條件下,失諧對響應(yīng)結(jié)果影響有限。

表3 不同邊界條件下最大響應(yīng)差分布

3 靜力學(xué)設(shè)計(jì)與校核

在完成加筋板動力學(xué)設(shè)計(jì)和減振效果驗(yàn)證后,考慮到其設(shè)計(jì)初衷是為了具有較好的比強(qiáng)度和比剛度等靜力學(xué)性能,基于禁帶機(jī)理設(shè)計(jì)出的加筋板是否違背了靜力學(xué)設(shè)計(jì)初衷,是一個(gè)必須回答的問題?；诖?對加筋板還進(jìn)行了靜力學(xué)設(shè)計(jì)與校核。

靜力學(xué)設(shè)計(jì)主要是針對結(jié)構(gòu)柔順度展開的。結(jié)構(gòu)柔順度表征結(jié)構(gòu)在靜力作用下抗變形的能力,該值越低表明施加載荷下結(jié)構(gòu)變形越小,靜剛度越強(qiáng)。其定義為

()=

(20)

式中：()為結(jié)構(gòu)柔順度;為結(jié)構(gòu)位移向量。這一參數(shù)常用作結(jié)構(gòu)靜力學(xué)設(shè)計(jì)的指標(biāo),以進(jìn)行結(jié)構(gòu)的尺寸和形狀優(yōu)化。在本文中,由于選用了矩形截面的加筋板,因此只針對其尺寸進(jìn)行靜力學(xué)設(shè)計(jì)。

同時(shí)為了校核表1中方案1的靜力學(xué)性能,故選取方案1的質(zhì)量比進(jìn)行靜力學(xué)設(shè)計(jì)。即必須滿足=0237 7。從而根據(jù)式(15),就可以求解出給定筋高下的筋厚,其分布如圖15所示。因此可以得到100組相同質(zhì)量比下的筋厚/筋高分布。固定加筋板的一段,在另一端中間節(jié)點(diǎn)施加沿方向,大小為1 000 N的靜載荷。導(dǎo)出其位移場和剛度陣后,根據(jù)式(20)計(jì)算結(jié)構(gòu)的柔順度。同時(shí)為了方便展示不同組筋厚/筋高下結(jié)構(gòu)的柔順度分布。根據(jù)二者的比例關(guān)系設(shè)定筋條的厚高比為=()(),計(jì)算結(jié)果見圖16。

圖15 筋厚/筋高分布Fig.15 Distribution of thickness and height of rib

由圖16可見,隨著厚高比的增加,不同加載方式下結(jié)構(gòu)柔順度都是先增大后減小,即結(jié)構(gòu)剛度性能先變差后變好。而筋厚高比增加則表明加筋板中筋條的寬度增加,高度降低。因此在同一質(zhì)量比下,筋條高度的增加能有效提高結(jié)構(gòu)的剛度性能。而方案1的厚高比為=0034 7,表明在該設(shè)計(jì)尺寸下,結(jié)構(gòu)不僅具有寬頻禁帶,還具有良好的靜力學(xué)剛度。

圖16 加筋板結(jié)構(gòu)柔順度Fig.16 Structural compliance of stiffened plate

4 結(jié) 論

本文提出了加筋板設(shè)計(jì)方法,在控制加筋板質(zhì)量比的前提下,設(shè)計(jì)了正交加筋板的筋條間距、筋厚和筋高的尺寸,使得其中的布拉格禁帶能涵蓋設(shè)計(jì)頻帶?；趶?qiáng)迫響應(yīng)分析,討論了邊界條件和和失諧對禁帶減振效果的影響,最后對設(shè)計(jì)的加筋板進(jìn)行了靜力學(xué)校核。得到如下結(jié)論：

1) 解決了禁帶設(shè)計(jì)流程中的關(guān)鍵技術(shù)：利用拉丁超立方采樣方法構(gòu)造了筋條尺寸的采樣規(guī)模(關(guān)鍵技術(shù)1)；通過單波形占比可以識別加筋板各類彈性波頻散曲線中對應(yīng)彎曲變形的頻散曲線(關(guān)鍵技術(shù)2)；提出的平均衰減因子,可以作為不同周期(即元胞數(shù))和筋條尺寸方案下,頻率位置及帶寬近似相同的禁帶的評價(jià)指標(biāo)(關(guān)鍵技術(shù)3)。實(shí)際上也可以對于其他設(shè)計(jì)參數(shù)(如筋條的形狀或材料參數(shù)等),該設(shè)計(jì)流程依然適用,即具有較好的普適性。

2) 強(qiáng)迫響應(yīng)結(jié)果驗(yàn)證了在不同邊界條件下禁帶內(nèi)的平均響應(yīng)都較低的結(jié)論,論證了加筋板的減振設(shè)計(jì)的有效性。且材料失諧下的強(qiáng)迫響應(yīng)結(jié)果表明在不同邊界條件下,加筋板的禁帶減振特性對筋條材料彈性模量的少量失諧不敏感。

3) 利用結(jié)構(gòu)柔順度校核了基于禁帶設(shè)計(jì)的加筋板方案,發(fā)現(xiàn)除了減振特性外,結(jié)構(gòu)還具有良好的靜力學(xué)剛度。

4) 雖然本文未能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,但已有大量文獻(xiàn)驗(yàn)證了不同禁帶的減振效果。另外本文通過保證波有限元算法和仿真驗(yàn)證的可靠性已足以證明設(shè)計(jì)方法的有效性。后續(xù)將開展禁帶減振效果的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。