轉(zhuǎn)頻調(diào)制下齒輪泵壓力脈動(dòng)機(jī)理

許文綱,王志穎,孫闖,嚴(yán)如強(qiáng),陳雪峰

西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,西安 710049

航空發(fā)動(dòng)機(jī)作為飛機(jī)的“心臟”、動(dòng)力之源,是一種集結(jié)構(gòu)、材料、制造、液壓、氣壓、熱工、電子、控制等眾多尖端技術(shù)于一身并運(yùn)行于高轉(zhuǎn)速、高溫、重載、強(qiáng)擾動(dòng)等極端服役環(huán)境下的高科技、高附加值的高精密復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品,被譽(yù)為現(xiàn)代工業(yè)“皇冠上的鉆石”,是中國航空工業(yè)的瓶頸,嚴(yán)重制約著中國軍用、民用先進(jìn)飛機(jī)的發(fā)展。燃油控制系統(tǒng)被譽(yù)為發(fā)動(dòng)機(jī)的“心臟”,其中主燃油泵是燃油控制系統(tǒng)的核心元件,重要性不言而喻。據(jù)統(tǒng)計(jì)1986—2004年間發(fā)生的387起燃油控制系統(tǒng)故障中,主燃油泵發(fā)生故障高達(dá)66起,其中54起液壓管路故障也是由主燃油泵故障引起的,因此對主燃油泵性能進(jìn)行研究具有重要意義。齒輪泵作為主燃油泵的重要組成部分,因其結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、重量輕、價(jià)格低廉,對油液污染敏感度低,自吸性能好而廣泛應(yīng)用于電力、汽車、冶金、軍工、航空、航天和化工等各個(gè)機(jī)械行業(yè),同時(shí)也有自身的缺點(diǎn)比如：齒輪所受的徑向壓力不平衡、軸承容易磨損、流量均勻性差、壓力脈動(dòng)大、振動(dòng)大、噪聲大等。國內(nèi)外學(xué)者針對齒輪泵壓力脈動(dòng)從機(jī)理、齒輪泵結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化、軟件仿真、實(shí)驗(yàn)等方面進(jìn)行了大量的研究。柏宇星等采用流場分析軟件CFX對齒輪油泵內(nèi)部流場進(jìn)行三維非定常計(jì)算,通過設(shè)置監(jiān)測點(diǎn),得到不同位置的壓力脈動(dòng)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)表明主動(dòng)齒輪齒腔壓力脈動(dòng)要高于從動(dòng)齒輪,齒頻是影響壓力脈動(dòng)的主要因素。張鑫用AMESim軟件建立了齒輪泵的功能模型,并仿真得到壓力脈動(dòng)數(shù)據(jù),然后用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算得到的脈動(dòng)數(shù)據(jù)與仿真得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。陳中華等利用平穩(wěn)小波分解與重構(gòu)將壓力信號(hào)的低頻波動(dòng)項(xiàng)與高頻脈動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行了分離, 并對低頻波動(dòng)和高頻脈動(dòng)部分的功率譜進(jìn)行了分析,得到工頻可作為齒輪磨損故障的特征頻率,對輪齒磨損做出診斷。阿巴沙分析了壓力脈動(dòng)機(jī)理,運(yùn)用外嚙合齒輪泵錯(cuò)相位并聯(lián)方法和外嚙合齒輪泵閉環(huán)伺服控制方法來減小脈動(dòng)。喻開清通過研究齒輪泵流量脈動(dòng)機(jī)理的數(shù)學(xué)模型,得到了齒輪各參數(shù)對流量脈動(dòng)的影響,并通過遺傳算法優(yōu)化齒輪泵參數(shù)以達(dá)到減小流量脈動(dòng)的目的。Mancò和Nervegna建立了齒輪泵準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型的微分方程。該模型在預(yù)測出口壓力脈動(dòng)方面取得了良好的效果。Mucchi和Dalpiaz提出通過比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果來研究齒輪泵的振動(dòng)特性,其中對原有模型的進(jìn)、出口控制體進(jìn)行修正,得到了齒輪泵進(jìn)、出口壓力的脈動(dòng)。隨后,Mucchi等在考慮齒輪泵進(jìn)口、出口壓力脈動(dòng)的基礎(chǔ)上,建立了嚙合區(qū)域非牛頓流體的湍流模型,得到了更加精確的壓力脈動(dòng)模型。Tian設(shè)計(jì)了一個(gè)與密閉死腔容積相連的減壓室來吸收壓力脈動(dòng),以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的卸荷槽,表明減壓室能夠衰減95%的壓力脈動(dòng)峰值。Rituraj等研究了齒輪泵加工制造過程中錐度和同心度對齒輪泵容積效率和出口流量脈動(dòng)的影響。Mhana和Popov研究表明非對稱齒輪泵的壓力脈動(dòng)變化相比對稱齒輪泵更加平穩(wěn),壓力突變最大發(fā)生在進(jìn)油口第1個(gè)密閉齒腔。Frosina等用PumpLinx建立了齒輪泵的三維流體動(dòng)力學(xué)模型,考慮了所有的泄漏。仿真和實(shí)驗(yàn)在壓力脈動(dòng)幅值和周期上都得到了較好的一致性,同時(shí)表明出口壓力越大,壓力脈動(dòng)幅值越大。Rituraj等針對齒輪泵葉尖泄漏提出了一種適合大范圍工況的快速集中參數(shù)方法,模型中考慮了進(jìn)口壓降和湍流影響,通過HYGESim軟件仿真得到壓力脈動(dòng)的變化。Mancò和Nervegna提出一種新型的測量技術(shù),通過安裝在驅(qū)動(dòng)齒輪上的壓力傳感器來檢測外部齒輪泵齒間壓力隨時(shí)間的變化。實(shí)驗(yàn)中首次證實(shí)了在進(jìn)口側(cè)嚙合葉片內(nèi)壓力峰值的出現(xiàn),在進(jìn)口側(cè)齒輪脫離時(shí)齒腔內(nèi)存在空化現(xiàn)象。Cinar等采用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與理論分析相結(jié)合的方法研究齒輪泵密閉腔中壓力大小的分布,從泵的進(jìn)口到出口分別在殼體等間隔布置了4個(gè)傳感器來測量每個(gè)腔中壓力的變化,比較精確地預(yù)測了齒輪泵轉(zhuǎn)動(dòng)過程中壓力的變化情況。

流體的脈動(dòng)流動(dòng)主要分為2種類型：① 流道幾何形狀呈周期性變化；② 流體的速度或流動(dòng)方向呈周期性變化。齒輪泵出口脈動(dòng)的產(chǎn)生既有出口控制體形狀的周期性變化,又有流體速度方向的周期性變化。旋轉(zhuǎn)過程中輪齒對出口流場產(chǎn)生擾動(dòng),最終形成湍流流動(dòng)。本文第1節(jié)給出了齒輪泵產(chǎn)生壓力脈動(dòng)的機(jī)理,轉(zhuǎn)頻、齒頻及齒頻的倍頻分量是壓力脈動(dòng)主要組成部分；第2節(jié)采用譜方法給出了齒輪泵出口測點(diǎn)處壓力脈動(dòng)的表達(dá)式,研究了齒輪泵轉(zhuǎn)頻對齒頻及倍頻的調(diào)制作用；第3節(jié)分析了齒輪泵壓力脈動(dòng)的影響因素及工程應(yīng)用展望；第4節(jié)給出結(jié)論。

1 齒輪泵壓力脈動(dòng)模型

采用歐拉法建立齒輪泵每轉(zhuǎn)過一個(gè)齒時(shí)產(chǎn)生的壓力脈動(dòng)方程,首先選擇控制體,如圖1所示將齒輪泵流體域分成4類控制體,分別是等體積控制體Ⅰ(即由輪齒、軸承座、殼體組成)、進(jìn)口控制體Ⅱ、出口控制體Ⅲ和密閉死腔控制體Ⅳ,齒輪旋轉(zhuǎn)過程中控制體個(gè)數(shù)是周期性變化的。根據(jù)連續(xù)性方程,假設(shè)液體在控制體中的流動(dòng)是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)、且絕熱等熵,得到每個(gè)控制體中的壓力與轉(zhuǎn)角的關(guān)系為

(1)

式中：為油液的體積模量；為控制體體積；為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；Δ為控制體中油液流量的變化量。

圖1 齒輪泵流體域中不同的控制體Fig.1 Fluid domain in gear pump segregated into different control volumes

1.1 控制體中的連續(xù)方程

1.1.1 等體積控制體

規(guī)定控制體中流量的變化量為流入和流出控制體的流量之差,流量在控制體中的傳遞如圖2所示。

Δ=-

(2)

式中：為流入控制體的流量；為流出控制體的流量。

圖2 第i個(gè)密閉齒腔體積流量Fig.2 Volumetric flow rates for isolated tooth space i

齒輪泵齒頂間隙、齒側(cè)間隙處液體的流動(dòng)為平板間的庫埃特-泊肅葉流動(dòng)。

(3)

(4)

式中：h,為通過齒頂間隙從第個(gè)控制體流入到第-1個(gè)控制體的流量；f,為通過齒側(cè)間隙從第個(gè)控制體流入第-1個(gè)控制體的流量；為第個(gè)控制體的壓力；、分別為第個(gè)控制體齒頂間隙和齒側(cè)間隙；、分別為齒輪的齒寬和齒高(=1,2分別表示主、從動(dòng)齒輪)；、分別為齒頂圓半徑和齒高一半處對應(yīng)的半徑；、分別為齒輪齒頂厚度和齒輪節(jié)圓處的厚度；為油液黏度；為齒輪的角速度。

控制體與軸承座孔通過側(cè)向間隙相連,為平面泊肅葉流動(dòng)。

(5)

式中：d,為通過齒側(cè)間隙從第個(gè)控制體流入軸承座孔的流量；為0.5倍的齒根圓齒距；為齒根圓到軸承座孔的徑向距離；為軸承座孔中油液壓力。

聯(lián)立式(1)～式(5)可得等體積控制體的連續(xù)方程：

(6)

式中：為第個(gè)控制體的體積。

在等體積控制體中壓力可表示為

(),())

(7)

式中：主動(dòng)齒輪側(cè)=1,=1,2,…,;從動(dòng)齒輪側(cè)=2,=1,2,…,;、表示主、從動(dòng)齒輪等體積控制體最大個(gè)數(shù)；,為等體積控制體壓力脈動(dòng)的隱函數(shù)表達(dá)式；()、()分別表示進(jìn)口、出口控制體壓力。

1.1.2 進(jìn)口和出口控制體

齒輪泵進(jìn)口分別跟液壓油箱、主從動(dòng)齒輪形成的第1個(gè)密閉腔、軸承座孔、雙齒嚙合區(qū)形成的密閉死腔、卸荷槽相連；齒輪泵出口分別與工作負(fù)載、主從動(dòng)齒輪形成的最后1個(gè)密閉腔、雙齒嚙合區(qū)形成的密閉死腔、卸荷槽相連。

齒輪泵進(jìn)口通過端面間隙分別與密閉死腔(壓力)和軸承座孔相連,液體傳輸近似為平面流動(dòng),密閉死腔只存在于雙齒嚙合區(qū)；與油箱(壓力)和卸荷槽相連的部分,因形狀和尺寸的變化,液體輸送等效為湍流模型。

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：為齒輪泵進(jìn)口與密閉死腔的體積流量；為密閉死腔與軸承座孔的體積流量；為齒輪泵進(jìn)口與卸荷槽相連時(shí)的體積流量；為齒輪泵進(jìn)口與油箱的體積流量；為卸荷槽與泵進(jìn)口連接時(shí)的流道截面積；為泵進(jìn)口與油箱連接的流道截面積；=065為湍流系數(shù)；Δ=-,Δ=-,為進(jìn)口控制體壓力；為油液密度。

聯(lián)立式(1)、式(3)～式(5)、式(8)～式(11)可得進(jìn)口控制體的連續(xù)方程：

(12)

式中：為齒輪泵進(jìn)口控制體體積；、分別為主、從動(dòng)齒輪第1個(gè)控制體通過側(cè)隙流入進(jìn)口的流量；、分別為主、從動(dòng)齒輪第1個(gè)控制體通過徑向間隙流入進(jìn)口的流量；d1,、d2,分別為主、從動(dòng)齒輪軸承座流入進(jìn)口控制體的體積流量；表示密閉死腔控制體流入進(jìn)口控制體的體積流量。

齒輪泵出口壓力由負(fù)載大小決定,流體傳遞過程按湍流處理；齒輪泵出口通過齒側(cè)間隙與主、從動(dòng)齒輪密閉腔和密閉死腔相連,流體傳遞設(shè)定為平面流動(dòng)。

(13)

(14)

=(2π)

(15)

式中：為齒輪泵出口與密閉死腔之間的體積流量；為齒輪泵出口與卸荷槽之間的體積流量；為齒輪泵出口與負(fù)載之間的體積流量；為體積容量；為卸荷槽與泵出口連接時(shí)的流道截面積；Δ=-,為出口控制體壓力信號(hào)的高頻成分。

聯(lián)立式(1)、式(3)、式(4)、式(13)～式(15)可得出口控制體的連續(xù)方程：

(16)

式中：為齒輪泵出口控制體體積；f1,、f2,分別為主、從動(dòng)齒輪第、個(gè)控制體通過側(cè)隙流入進(jìn)口的流量；h1,、h2,分別為主、從動(dòng)齒輪第、個(gè)控制體通過徑向間隙流向進(jìn)口的流量。

進(jìn)、出口控制體體積隨齒輪轉(zhuǎn)角而變化,與齒輪單雙齒嚙合有關(guān),實(shí)驗(yàn)中齒輪泵進(jìn)、出口控制體的體積和變化率如圖3所示,齒輪泵有12個(gè)齒,以30°為一個(gè)周期進(jìn)行變化,其中體積的突變點(diǎn)表示有齒腔突然與進(jìn)出口控制體連通或斷開,進(jìn)、出口控制體中壓力變化可表示為

(17)

(18)

式中：和分別為進(jìn)口、出口壓力脈動(dòng)的隱函數(shù)表達(dá)式；()、()分別為主、從動(dòng)齒輪第、個(gè)控制體的壓力。

1.1.3 密閉死腔控制體

齒輪泵密閉死腔只在雙齒嚙合時(shí)存在,防止密閉死腔產(chǎn)生過高的壓力,在齒輪兩側(cè)擋板上開了對稱的卸荷槽；當(dāng)密閉死腔減小,壓力增高時(shí)高壓側(cè)的卸荷槽接通,當(dāng)密閉死腔增大,壓力減小時(shí),低壓側(cè)的卸荷槽接通,卸荷槽接通和斷開的時(shí)間與齒輪泵本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)。

聯(lián)立式(1)、式(8)～式(10)、式(13)、式(14)可得密閉死腔控制體的連續(xù)方程：

(19)

式中：為密閉死腔控制體體積。

密閉死腔控制體體積的變化與兩對齒輪嚙合點(diǎn)的位置有關(guān),實(shí)驗(yàn)中齒輪泵密閉死腔控制體的體積和變化率如圖4所示,表明每30°周期內(nèi)只有雙齒嚙合段0～10.73°內(nèi)存在密閉腔,密閉死腔控制體壓力可表示為

(20)

式中：為密閉死腔壓力脈動(dòng)的隱函數(shù)表達(dá)式。

圖4 齒輪泵密閉死腔控制體的體積和變化率Fig.4 Volume and rate of change of gear pump trapped control volume

1.2 齒輪泵壓力脈動(dòng)方程

式(7)給出了任意一個(gè)密閉齒腔的壓力隨轉(zhuǎn)角的變化,將式(7)應(yīng)用于主動(dòng)齒輪側(cè)的個(gè)密封腔和從動(dòng)齒輪側(cè)的個(gè)密封腔得到等體積控制體的方程組,再聯(lián)合式(17)、式(18)、式(20)得到齒輪泵轉(zhuǎn)過一個(gè)齒時(shí)各控制體的壓力脈動(dòng)微分方程組。

(21)

求解式(21)的初值由實(shí)驗(yàn)確定,齒輪轉(zhuǎn)過一個(gè)齒的時(shí)間段內(nèi),根據(jù)齒輪的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)確定方程組的個(gè)數(shù)和每個(gè)方程組內(nèi)方程的個(gè)數(shù),往往無法用一個(gè)方程組來完整表達(dá)一個(gè)周期。以2 500 r/min,負(fù)載壓力5 MPa為例,得到齒輪泵出口的壓力脈動(dòng)如圖5所示。由圖可知齒輪泵出口壓力脈動(dòng)是周期信號(hào),主要頻率為500 Hz(齒頻),記單齒嚙合產(chǎn)生的壓力脈動(dòng)信號(hào)為()。該模型主要揭示了齒輪泵產(chǎn)生壓力脈動(dòng)的機(jī)理,即主要因?yàn)辇X輪泵周期性運(yùn)動(dòng),導(dǎo)致各控制體體積呈周期性變化,假設(shè)各控制體為剛性體,液壓油不可壓縮,則齒輪泵內(nèi)部流場呈周期性變化,因而出口壓力呈周期性脈動(dòng)。雖然該模型揭示了壓力脈動(dòng)信號(hào)主要組成分量(轉(zhuǎn)頻、齒頻及倍頻)之間的線性疊加作用,但是沒考慮分量間的非線性作用(即轉(zhuǎn)頻對齒頻及倍頻的調(diào)制作用),因而,不能全面地展示壓力脈動(dòng)包含的信息,第2節(jié)在第1節(jié)的基礎(chǔ)上從湍流結(jié)構(gòu)組成和能量傳遞角度研究轉(zhuǎn)頻分量對其他分量的調(diào)制作用。

2 齒輪泵出口測點(diǎn)處壓力脈動(dòng)模型

齒輪泵依靠輪齒嚙合產(chǎn)生的體積變化來吸入和排出流體,傳動(dòng)過程中有雙齒嚙合區(qū)域會(huì)形成密閉腔,隨著密閉腔體積減小壓力逐漸增大,當(dāng)壓力大于出口壓力時(shí),密閉腔中的流體通過間隙流向出口管路,伴隨著漩渦流的產(chǎn)生,因而流場由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。Antoniak和Stryczek對齒輪泵流場進(jìn)行可視化研究,設(shè)定了2種不同的操作參數(shù)進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn),均發(fā)現(xiàn)齒輪泵出口流場有湍流出現(xiàn),在非標(biāo)準(zhǔn)條件(即較高轉(zhuǎn)速(1000±10) r/min、進(jìn)口負(fù)壓(-0.05±0.005) MPa、較高溫度(50±2) ℃、出口高壓(3±0.01) MPa)下出現(xiàn)了明顯的空化泡沫和氣泡群,同時(shí)加劇了湍流強(qiáng)度。因此,齒輪泵出口流場中不可避免地會(huì)出現(xiàn)湍流現(xiàn)象,屬于壁湍流,但是湍流強(qiáng)度受外界操作參數(shù)和齒輪泵自身結(jié)構(gòu)的影響,如齒輪泵內(nèi)部開設(shè)對稱的卸荷槽,一定程度上減少了射流的產(chǎn)生,降低了湍流強(qiáng)度。

湍流流動(dòng)是一種高度非線性的復(fù)雜流動(dòng),迄今為止,仍然沒有一個(gè)可以完整解釋并描述湍流的定義。人們對湍流的“定義”也只是通過對湍流運(yùn)動(dòng)的特征進(jìn)行綜合列舉。其中,湍流的特征主要包括：不規(guī)則性、擴(kuò)散性、耗散性、連續(xù)性、間歇性、記憶特性等。因此無論是提出新理論還是建立工程計(jì)算模型都需要用實(shí)驗(yàn)加以確證；另一方面,實(shí)驗(yàn)本身能發(fā)現(xiàn)湍流的新現(xiàn)象,進(jìn)而提出新理論和模型。

湍流實(shí)驗(yàn)是人們最先認(rèn)識(shí)湍流的工具。1883年雷諾通過有色流體流動(dòng)實(shí)驗(yàn)觀察到層流到湍流的整個(gè)流動(dòng)變化過程,這一方法成為最早研究湍流的流動(dòng)顯示法,該方法能直觀得到流體運(yùn)動(dòng)情況,但不能對流體流動(dòng)進(jìn)行定量分析。20世紀(jì)30年代,熱線風(fēng)速儀(HWA)應(yīng)用到湍流測量中,得到流動(dòng)的脈動(dòng)速度,進(jìn)一步發(fā)展了湍流理論,為湍流實(shí)驗(yàn)研究提供了有效的手段。20世紀(jì)80年代初,粒子圖像測速儀(PIV)通過粒子成像測量流體速度,可以得到流體流動(dòng)的速度場和溫度場。到20世紀(jì)90年代,人們發(fā)明了多普勒全場測速技術(shù)(DGV),該方法改進(jìn)了激光多普勒測速儀(LDV)只能單點(diǎn)測量的缺點(diǎn),可以測量空間的三維速度,適用于測量高速大流場流體流動(dòng)。簡單的湍流問題通?？梢岳碚摲治鼋魄蠼?而實(shí)際存在的復(fù)雜湍流流動(dòng)主要通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,人們通過某些數(shù)值方法對湍流進(jìn)行模擬,取得與實(shí)際比較吻合的結(jié)果,常用的數(shù)值模擬方法有直接數(shù)值模擬、大渦模擬、統(tǒng)計(jì)平均法和Reynolds平均法等。其中Reynolds平均法是目前使用最為廣泛的湍流數(shù)值模擬方法。根據(jù)對Reynolds應(yīng)力作出的假定或處理方式不同,常用的湍流模型有兩大類：Reynolds應(yīng)力模型和渦黏模型。其中Reynolds應(yīng)力模型分為Reynolds應(yīng)力方程模型和代數(shù)應(yīng)力方程模型；渦黏模型分為零方程模型、一方程模型和兩方程模型。工程中使用最為廣泛的是兩方程模型,最基本的兩方程模型是標(biāo)準(zhǔn)-模型,即分別引入關(guān)于湍動(dòng)能和耗散率的方程。本文采用理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證來研究齒輪泵出口測點(diǎn)處的壓力脈動(dòng)。實(shí)驗(yàn)中測量壓力脈動(dòng)的高頻壓力傳感器安裝在齒輪泵出口的圓管上,如圖6所示。

圖6 高頻壓力傳感器安裝位置Fig.6 Installation location of high frequency pressure sensor

2.1 不可壓縮均勻各向同性湍流的動(dòng)力學(xué)模型

2.1.1 基本方程

齒輪泵出口湍流結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,但是向下游運(yùn)動(dòng)過程中,由于沒有外界干擾,逐漸演化成各向同性湍流。假設(shè)油液是不可壓縮的,則在測量點(diǎn)附近形成不可壓縮的均勻湍流,對于不可壓縮流體的均勻湍流場,它的平均速度是常向量,可以令平均速度為0。均勻湍流的脈動(dòng)場滿足Navier-Stokes方程。

運(yùn)動(dòng)方程：

(22)

連續(xù)方程：

(23)

式中：為方向上的速度；為流體密度；為流體的運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)。

齒輪泵出口測點(diǎn)處的脈動(dòng)壓力滿足Poisson方程,在無界的均勻湍流場中,Poisson方程的Green函數(shù)為1,于是脈動(dòng)壓強(qiáng)的解析積分表達(dá)式為

(24)

式中：(,)為空間處時(shí)刻的壓力；、、為3個(gè)坐標(biāo)軸方向的相對位移；、、為壓力作用點(diǎn)在3個(gè)坐標(biāo)軸方向的坐標(biāo)。

理論上,給定脈動(dòng)方程速度場的初始條件,根據(jù)均勻湍流的基本方程可以解出均勻湍流場的一個(gè)樣本流動(dòng)。然而,湍流場是隨機(jī)過程,要獲得湍流的全部信息,必須給出足夠多的獨(dú)立初始場,然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

不可壓縮均勻湍流場中的湍動(dòng)能和雷諾應(yīng)力分別為

(25)

(26)

由式(25)可知,均勻湍流場中湍動(dòng)能總是衰減的,因此在均勻湍流流動(dòng)過程中,湍流可能近似的演化為各向同性。

2.1.2 譜分析

均勻湍流是空間上的平穩(wěn)過程,并且在相關(guān)距離很大時(shí),各階相關(guān)函數(shù)都等于零。這種平穩(wěn)隨機(jī)過程,隨機(jī)脈動(dòng)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開。根據(jù)均勻湍流的譜理論,將均勻湍流在足夠大的三維空間上作傅里葉級(jí)數(shù)展開,復(fù)數(shù)形式表示為

(27)

(28)

(29)

(30)

一旦得到湍流脈動(dòng)的壓力譜在譜空間上的分布,將其代入式(27)就可以得到物理空間的湍流脈動(dòng)。研究表明“壁湍流”中無論是近壁緩沖區(qū)小尺度結(jié)構(gòu)還是對數(shù)區(qū)的大尺度結(jié)構(gòu),動(dòng)力學(xué)上均能不相互依賴、自維持地演化,然而實(shí)際的湍流場中存在強(qiáng)烈的尺度間的非線性相互作用,特別是當(dāng)雷諾數(shù)升高時(shí),不同區(qū)域、不同尺度相干結(jié)構(gòu)之間的相互作用也會(huì)增強(qiáng)。Hutchins和Marusic利用湍流邊界層實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用傅里葉分解的方法分離出對數(shù)區(qū)流向尺度大于邊界層厚度的大尺度運(yùn)動(dòng)信號(hào),他們發(fā)現(xiàn),這些外區(qū)大尺度運(yùn)動(dòng)可以深入到近壁區(qū),使得近壁平行于壁面的流向脈動(dòng)速度分量也包含大尺度的能量,并且這部分來自大尺度的能量隨著雷諾數(shù)的升高而增大,而小尺度的速度脈動(dòng)能量幾乎不變。這一效應(yīng)也被稱為外區(qū)大尺度運(yùn)動(dòng)對近壁湍流的疊加效應(yīng)。同時(shí),Mathis等發(fā)現(xiàn)在外區(qū)大尺度低速條帶對應(yīng)區(qū)域內(nèi),近壁小尺度速度脈動(dòng)較弱,而在大尺度高速條帶對應(yīng)區(qū)域,近壁小尺度速度脈動(dòng)較強(qiáng),這一效應(yīng)被稱為幅值調(diào)制效應(yīng)。因此,湍流的各尺度分量之間存在線性疊加和非線性的調(diào)制作用。

實(shí)驗(yàn)中齒輪泵出口高頻壓力傳感器是基于壓電效應(yīng)的點(diǎn)測量,得到的脈動(dòng)信號(hào)是一維標(biāo)量,因此采用周期信號(hào)來代替這種平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。齒輪泵旋轉(zhuǎn)過程中相對于齒輪的嚙合頻率,齒輪的轉(zhuǎn)頻則要低得多。由于質(zhì)量偏心、安裝不對中、軸彎曲等原因?qū)?dǎo)致出現(xiàn)轉(zhuǎn)頻的低次諧波,如轉(zhuǎn)頻的1倍頻、2倍頻、3倍頻等,因此轉(zhuǎn)頻產(chǎn)生的壓力脈動(dòng)信號(hào)傅里葉展開式為

=1,2,…,6

(31)

式中：為直流分量；cos(+)為轉(zhuǎn)頻的基波分量,為轉(zhuǎn)頻,為相位角；≥2時(shí),Lcos(+)為轉(zhuǎn)頻的諧波分量,為相位角。

由于齒輪泵齒腔壓力從進(jìn)油口到出油口依次增大,主、從動(dòng)齒輪都會(huì)向進(jìn)油口方向偏斜,這使得轉(zhuǎn)頻產(chǎn)生的低次諧波分量非常微弱,可忽略,因此式(31)可近似寫為

()=+cos(+)

(32)

式中：、為傅里葉系數(shù)。

齒輪泵中每對齒輪的嚙合為一個(gè)小周期(即齒頻),而在齒輪泵轉(zhuǎn)一周過程中有12對齒輪交替進(jìn)行嚙合形成一個(gè)大周期(即轉(zhuǎn)頻),在一個(gè)嚙合周期內(nèi),嚙合的齒輪發(fā)生了進(jìn)入嚙合、脫離嚙合、單雙齒嚙合等多次剛度和控制體體積突變的過程,因此在齒輪泵的壓力脈動(dòng)信號(hào)中必然還包含了齒頻的高次諧波成分。齒輪泵轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,齒輪泵的負(fù)載和轉(zhuǎn)速變化會(huì)引起頻譜的諧波分量的調(diào)制,負(fù)載的變化會(huì)引起壓力脈動(dòng)信號(hào)的幅值調(diào)制,而轉(zhuǎn)速的變化會(huì)引起相位調(diào)制,幅值和相位調(diào)制同時(shí)進(jìn)行。調(diào)制導(dǎo)致與齒頻相關(guān)的邊頻分量增加,因此,在以齒頻為載波頻率的兩側(cè)包含了以2個(gè)轉(zhuǎn)頻為調(diào)制頻率的邊頻帶。

假設(shè)轉(zhuǎn)頻引起的幅值調(diào)制信號(hào)為

′()=′cos()

(33)

轉(zhuǎn)頻引起的相位調(diào)制信號(hào)為

″()=″sin()

(34)

式中：′為調(diào)幅信號(hào)幅值；″為調(diào)頻信號(hào)幅值。

聯(lián)立式(21)、式(33)、式(34)得到的脈動(dòng)信號(hào)()的傅里葉展開可表示為

=1,2,…,6

(35)

式中：為常量；H為齒頻產(chǎn)生壓力脈動(dòng)信號(hào)幅值；a為調(diào)幅系數(shù)；f為調(diào)頻系數(shù)；為相位角；為齒頻。

聯(lián)立式(31)和式(35)可得到齒輪泵出口測點(diǎn)處的壓力脈動(dòng)傅里葉展開式：

(36)

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.2.1 實(shí)驗(yàn)介紹

通過比較完整的轉(zhuǎn)頻周期內(nèi)齒輪泵出口壓力脈動(dòng)的仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性,齒輪泵的參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪泵參數(shù)Table 1 Parameters of gear pump

根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)(JB/T7041—2006)要求的閉式實(shí)驗(yàn)回路搭建液壓齒輪泵出口壓力脈動(dòng)測試實(shí)驗(yàn)臺(tái)。實(shí)驗(yàn)中分別測試了轉(zhuǎn)速為2 466.6 r/min、工作負(fù)載為10 MPa,轉(zhuǎn)速為1 453.2 r/min、工作負(fù)載為15 MPa,轉(zhuǎn)速為773.4 r/min、工作負(fù)載為10 MPa這3種工況下齒輪泵出口測點(diǎn)處壓力脈動(dòng)信號(hào),數(shù)據(jù)采集時(shí)的采樣頻率分別為10 240、10 240、5 120 Hz。分別得到不同工況下的時(shí)域圖和頻域圖,如圖7所示。從圖7(a)、圖7(c)、圖7(e) 時(shí)域圖中看到考慮了轉(zhuǎn)頻的脈動(dòng)模型(改進(jìn)模型)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合度更高,而沒有考慮轉(zhuǎn)頻的脈動(dòng)模型(原來模型)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差較大,尤其在轉(zhuǎn)速較低時(shí)更加明顯,實(shí)驗(yàn)表明轉(zhuǎn)速對壓力脈動(dòng)信號(hào)影響較大,隨著轉(zhuǎn)速提高,壓力脈動(dòng)信號(hào)變化趨勢更加平緩,形狀更加接近于標(biāo)準(zhǔn)的正弦信號(hào)。從圖7(b)、圖7(d)、圖7(f)頻域圖中可以看到壓力脈動(dòng)的主要頻率由齒輪泵的轉(zhuǎn)頻、輪齒嚙合產(chǎn)生的齒頻及齒頻的倍頻組成,轉(zhuǎn)頻對齒頻及齒頻的倍頻存在明顯的調(diào)制作用,證明了壓力脈動(dòng)信號(hào)存在不同尺度信號(hào)的線性疊加和非線性的調(diào)制,并且轉(zhuǎn)頻分量隨著轉(zhuǎn)速的提高而減小,齒頻分量隨轉(zhuǎn)速提高而增加。因此,式(36)中由齒輪泵轉(zhuǎn)頻引起的基波分量傅里葉系數(shù)、和頻率如表2所示。

表2 不同工況下基波分量的傅里葉系數(shù)和頻率

2.2.2 結(jié)果分析

從圖7(a)、圖7(c)、圖7(e)可知改進(jìn)模型仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在變化趨勢上有較好的一致性,說明在研究齒輪泵壓力脈動(dòng)時(shí),采用周期信號(hào)代替平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)具有一定的合理性,但也存在一些誤差。誤差的主要來源有：① 齒頂間隙由齒輪偏心位置和泵殼磨損兩部分組成,建模中假設(shè)齒輪靜止在靜平衡位置,考慮轉(zhuǎn)頻的影響本質(zhì)上是對齒輪實(shí)際中心的修正,但跟真實(shí)的回轉(zhuǎn)中心還存在誤差,齒頂磨損是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的,與實(shí)際有偏差；② 端面間隙也是根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的,與齒輪泵真實(shí)運(yùn)行有偏差；③ 齒輪泵出口到高頻壓力傳感器測量點(diǎn)之間并不是等直徑圓管,管路有變徑,造成能量損失,對壓力脈動(dòng)的幅值產(chǎn)生影響；④ 采用周期信號(hào)近似代替平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行處理,二者存在一定誤差；⑤ 忽略了轉(zhuǎn)頻產(chǎn)生的壓力脈動(dòng)信號(hào)低次諧波的影響,也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。

3 壓力脈動(dòng)的影響因素分析及工程應(yīng)用展望

3.1 轉(zhuǎn)速對壓力脈動(dòng)的影響

實(shí)驗(yàn)中比較了轉(zhuǎn)速分別為600、800、1 000、1 500、2 000、2 500 r/min,工作負(fù)載為5 MPa這6種工況(實(shí)際轉(zhuǎn)速有波動(dòng))下壓力脈動(dòng)的變化趨勢,并定義峰值指標(biāo)和脈沖指標(biāo)分別如式(37)和式(38)所示。如表3所示,通過峰值指標(biāo)和脈沖指標(biāo)可以看出:隨著轉(zhuǎn)速增大,壓力脈動(dòng)更加平緩,即大周期壓力脈動(dòng)函數(shù)的幅值隨著轉(zhuǎn)速增大而減小,主要因?yàn)檗D(zhuǎn)速越高,相鄰輪齒嚙合的時(shí)間越短,流體流動(dòng)的連續(xù)性更好,傳遞時(shí)相互之間的壓差變化更小。

峰值指標(biāo)

(37)

脈沖指標(biāo)

(38)

表3 不同轉(zhuǎn)速下壓力脈動(dòng)指標(biāo)

3.2 工作負(fù)載對壓力脈動(dòng)的影響

實(shí)驗(yàn)中比較了工作負(fù)載分別為5、10、15 MPa,轉(zhuǎn)速分別為1 500、2 000、2 500 r/min幾種工況(實(shí)際轉(zhuǎn)速有波動(dòng))下壓力脈動(dòng)的變化趨勢,結(jié)果如表4所示?？梢婋S著工作負(fù)載增大壓力脈動(dòng)的幅值增大,即單齒嚙合壓力脈動(dòng)幅值和大周期壓力脈動(dòng)的幅值隨著工作負(fù)載增大而增大,并且工作負(fù)載對壓力脈動(dòng)的影響要大于速度對壓力脈動(dòng)的影響。主要因?yàn)楣ぷ髫?fù)載越高,流體元受到的剪切力越大,由于流體的易變性,流體質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)增大,流體流動(dòng)的連續(xù)性減弱,傳遞時(shí)相互之間的壓差變化增大。

表4 不同工作負(fù)載下壓力脈動(dòng)指標(biāo)Table 4 Pressure pulsation index at different workloads

3.3 工程應(yīng)用展望

在外嚙合齒輪泵的實(shí)際使用過程中,齒輪泵出現(xiàn)致命失效、完全失效等失效形式的幾率較小,最常見的失效形式為退化失效,具體表現(xiàn)為輸出流量或壓力不足。造成這種失效形式的主要原因是齒輪泵在運(yùn)行過程中內(nèi)部摩擦副不停接觸磨損導(dǎo)致的。磨損失效主要有3種形式,分別為端面磨損、齒面磨損和齒頂磨損,其中端面磨損導(dǎo)致的泄漏占總泄漏量的80%左右,是影響泄漏的最主要因素。行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定實(shí)際使用中容積效率低于85%為失效,但是流量的測量存在測量誤差大、準(zhǔn)確率低、信號(hào)變化不明顯等問題。因此,研究壓力脈動(dòng)信號(hào)與齒輪泵故障之間的內(nèi)在關(guān)系具有重要的意義。

齒輪泵中流量的傳遞如圖8所示,假設(shè)在端面磨損前后輸入的流量恒定,且不考慮外泄漏,則輸出流量分成兩部分：一部分由泵的出口管路輸出用于執(zhí)行機(jī)構(gòu)做功,即,另一部分由泵的內(nèi)泄漏做無用功,即Δ。泄漏量與間隙之間的關(guān)系為

(39)

式中：Δ為間隙兩端壓差；為液壓油動(dòng)力黏度；為間隙長度；為間隙寬度。

齒輪泵出口管路為圓管,則輸出流量與流速之間的關(guān)系為

=·

(40)

式中：為平均流速；為管路截面積。

圖8 齒輪泵的流量輸運(yùn)Fig.8 Flow transport of gear pump

由式(39)可知,間隙增大,齒輪泵泄漏量增大,則齒輪泵出口流量減小。磨損前后齒輪泵出口管路直徑大小不變,由式(40)可知平均流速減小。平均流速與脈動(dòng)速度′之間的關(guān)系為

(41)

式中：為雷諾數(shù)。

由式(41)可知,主流速度減小,則脈動(dòng)速度′也相應(yīng)減小,脈動(dòng)的速度場發(fā)生變化,式(24) 表明,一點(diǎn)的脈動(dòng)壓力是該點(diǎn)領(lǐng)域中脈動(dòng)速度場的泛函,脈動(dòng)速度場的變化會(huì)導(dǎo)致脈動(dòng)壓力的變化。因此,壓力脈動(dòng)信號(hào)作為齒輪泵磨損故障的特征信號(hào)具有一定的合理性。

齒輪泵通過出口控制體體積變化實(shí)現(xiàn)流體的排出,因此出口壓力脈動(dòng)是齒輪泵的固有特性。從優(yōu)化齒輪泵壓力脈動(dòng)減少故障的角度分析,提出以下幾點(diǎn)工程建議：① 在設(shè)計(jì)齒輪泵時(shí)要將固有頻率和壓力脈動(dòng)頻率錯(cuò)開,以免發(fā)生共振；② 合 理設(shè)計(jì)齒輪泵浮動(dòng)軸套背面的密封圈形狀及安裝位置,盡量減少浮動(dòng)軸套的偏斜,保證合理的端面間隙；③ 改變主、從動(dòng)齒輪的齒數(shù)、外形尺寸來減少出口流量脈動(dòng),從而達(dá)到減少壓力脈動(dòng)的目的。

4 結(jié) 論

1) 齒輪泵出口流體的流動(dòng)近似為不可壓縮的均質(zhì)湍流流動(dòng),壓力脈動(dòng)的頻率主要由齒輪泵的轉(zhuǎn)頻、齒頻和齒頻的倍頻組成,轉(zhuǎn)頻對齒頻和齒頻的倍頻產(chǎn)生調(diào)制,并且既有調(diào)幅調(diào)制又有調(diào)頻調(diào)制。

2) 齒輪泵壓力脈動(dòng)受轉(zhuǎn)速和工作負(fù)載的影響,隨著轉(zhuǎn)速提高,壓力脈動(dòng)減小,隨著工作負(fù)載增大,壓力脈動(dòng)增大,且工作負(fù)載對壓力脈動(dòng)的影響大于轉(zhuǎn)速對壓力脈動(dòng)的影響。