基于球頭刀具的螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規(guī)劃＊

胡 敏 洪榮晶 孫小敏 張建坤 林曉川

（①南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京 211816；②南京工大數(shù)控科技有限公司，江蘇南京 211899）

與其他普通的齒輪相比，螺旋錐齒輪承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高且噪聲小，這些優(yōu)點(diǎn)使得螺旋錐齒輪被廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域。但是，在加工過程中，加工刀具對(duì)螺旋錐齒輪毛坯的切齒，會(huì)在其兩端的齒廓處留下殘刺，這些殘刺大大增加了齒輪嚙合時(shí)的磨損，造成傳動(dòng)不穩(wěn)定，并降低齒輪的使用壽命，因此在完成齒輪的加工后需要進(jìn)行齒廓倒棱[1]。由于螺旋錐齒輪齒廓倒棱多為自由曲面，現(xiàn)有的倒棱方式多以手工倒棱為主，國(guó)內(nèi)外未見公開的螺旋錐齒輪齒廓倒棱的技術(shù)文獻(xiàn)報(bào)道。然而，手工倒棱會(huì)帶來很多明顯的問題：加工效率低下、工件的表面難以保證以及工人的工作環(huán)境惡劣等。隨著五軸加工機(jī)床的誕生，在解決自由曲面加工問題上起到了很大的作用。但是，額外的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸在軌跡規(guī)劃上也產(chǎn)生了很多問題。為了實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪在五軸機(jī)床上進(jìn)行倒棱加工，有必要針對(duì)倒棱軌跡規(guī)劃上深入研究。

在倒棱研究方面，公開的技術(shù)文獻(xiàn)對(duì)螺旋錐齒輪齒廓倒棱研究少之又少。翟明偉[2]設(shè)計(jì)的端面齒廓旋分倒棱刀具實(shí)現(xiàn)漸開線圓柱齒輪齒廓倒棱的連續(xù)分度加工，極大地提高了加工效率；張亞斌[3]針對(duì)齒輪齒廓倒角加工過程的研究，以漸開線圓柱齒輪為對(duì)象，開發(fā)出直齒圓柱齒輪數(shù)控齒輪倒角加工軟件；李佳等[4]為解決螺旋錐齒輪在實(shí)際生產(chǎn)中依靠人工實(shí)現(xiàn)齒頂?shù)估獾膯栴}，建立出砂輪中心的中心軌跡和理論軌跡逼近模型，研究各參數(shù)對(duì)逼近誤差的影響從而實(shí)現(xiàn)砂輪軌跡的優(yōu)化，最后實(shí)現(xiàn)可行的齒頂?shù)估猓还鶗詵|等[5]提出一種螺旋錐齒輪端銑加工刀位的計(jì)算方法，通過調(diào)整盤銑刀與加工面間的相對(duì)位置，以及刀軸矢量的控制，從而實(shí)現(xiàn)高效率的齒頂?shù)估?；魏巍等[6]提出實(shí)現(xiàn)高效加工的倒棱方法，該方法基于錐形砂輪，遵循砂輪垂直于弧齒錐齒輪齒面的原則，最終實(shí)現(xiàn)端銑加工；卞博等[7]基于建立的齒頂棱線方程推導(dǎo)出刀具軌跡，并經(jīng)過幾何變化計(jì)算出刀位點(diǎn)以及刀軸矢量，最后實(shí)現(xiàn)精確控制螺旋錐齒輪齒頂?shù)估狻?/p>

在軌跡規(guī)劃方面，Toumier C等[8]基于等殘留高度法進(jìn)行五軸加工刀具的軌跡規(guī)劃研究，使加工后的零件表面獲得基本一致的殘留高度；吳寶海等[9]提出自由曲面五軸數(shù)控加工的刀具軌跡規(guī)劃需要從三維的角度出發(fā)，研究出刀具與自由曲面治安的幾何嚙合關(guān)系；樊文剛等[10]指出五軸端銑加工中，刀具軌跡的規(guī)劃應(yīng)該盡可能從整體出發(fā)，要充分考慮機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)等研究；黃曼曼等[11]提出一種對(duì)斜齒輪齒頂線同時(shí)進(jìn)行倒棱的方法，通過計(jì)算刀具參數(shù)來規(guī)劃刀具的軌跡；崔雪瑩等[12]僅對(duì)用于齒廓弧面倒棱的擠棱刀廓形進(jìn)行了設(shè)計(jì)，張飛等[13]僅提出了一種基于CAD圖形的齒輪齒廓倒棱方法，均未對(duì)螺旋錐齒輪的齒廓倒棱進(jìn)行研究。

結(jié)合以上相關(guān)的齒頂?shù)估庋芯浚疚奶岢鲆环N適合螺旋錐齒輪小輪的齒廓倒棱加工技術(shù)：從螺旋錐齒輪的齒廓線入手，根據(jù)球面漸開線的原理獲得完整齒廓曲線方程；基于空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理獲得刀位點(diǎn)和刀軸矢量，并規(guī)劃出倒棱加工的軌跡；最后通過實(shí)例來驗(yàn)證該軌跡的可行性，達(dá)到替代傳統(tǒng)的人工倒棱、提高加工效率的目的，實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪齒廓在中低端數(shù)控機(jī)床上的倒棱。

1 齒廓線方程

1.1 建立齒廓線方程

根據(jù)球面漸開線齒面相形成理論[14]，建立如圖1所示的球面漸開線數(shù)學(xué)模型。以基圓錐頂點(diǎn)O作為新建坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以頂點(diǎn)O與 圓心O1之間的連線作為直角坐標(biāo)系的Z軸，且由O到O1的指向?yàn)閆軸的正方向，以圓心O1與 基圓上點(diǎn)K之間的連線作為坐標(biāo)系的X軸，且方向由圓心O1指 向點(diǎn)K，并根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)系確定坐標(biāo)系的Y軸。

圖1 球面漸開線數(shù)學(xué)模型

由圖1可知，球面漸開線位于以點(diǎn)O為圓心、半徑為R的球面上，因此可知其參數(shù)方程為

根據(jù)球面漸開線數(shù)學(xué)模型中的幾何關(guān)系整理出式（2），δb為基錐角，θ為發(fā)生面與基錐底圓切點(diǎn)間的展開角，α為壓力角，δ為節(jié)錐角。

螺旋錐齒輪的一個(gè)完整齒廓線包括：齒頂圓弧曲線、工作齒廓曲線、過渡圓弧曲線以及齒根圓弧曲線，且工作齒廓曲線和過渡圓弧曲線均有兩條。齒根圓弧曲線和齒頂圓弧曲線分別是上述半徑為R球面上齒根圓和齒頂圓的一段圓弧，因此可得

當(dāng)βa換 為βf、δas換 為δf s、δa換為δf，式（3）即可變成齒根圓弧曲線的參數(shù)方程。

過渡圓弧沒有具體的參數(shù)方程，可以近似為一段平面的圓弧，其圓弧半徑rc選取為式（4），rb為基圓半徑，r f為齒根圓半徑，rm為加工螺旋錐齒輪刀具的最大半徑，mn為法面模數(shù)。

以上為螺旋錐齒輪小輪大端的完整齒廓方程。

1.2 齒廓線方程的驗(yàn)證

以螺旋錐齒輪小輪大端為例以此驗(yàn)證方程，主要參數(shù)為：小輪齒數(shù)為15，內(nèi)錐距為30 mm，外錐距為95.295 mm，節(jié)錐角為28.18°，齒形角為20°，螺旋角為39°，齒頂高系數(shù)為0.7，頂隙系數(shù)為0.2。將參數(shù)代入1.1節(jié)中的小輪大端的齒廓線方程以及王占福[15]構(gòu)建的球面漸開線模型中推導(dǎo)出的圓錐齒輪球面漸開線方程，繪制的兩組齒廓線如圖2所示。式（1）～（3）繪制的曲線為圖2中實(shí)線即理論齒廓曲線，雙劃線為對(duì)比齒廓曲線；由圖2c的工作齒廓z軸差值折線可知，在相同的x、y坐標(biāo)值下，兩齒廓線方程上對(duì)應(yīng)z軸的差值在0.063～0.066 mm，可知差值波動(dòng)范圍為0～0.003 mm。這些點(diǎn)分布在整個(gè)齒廓線上，由于存在球面半徑R以及其他角度參數(shù)位數(shù)取舍時(shí)帶來的誤差問題，因而對(duì)比齒廓曲線和理論齒廓曲線呈現(xiàn)近似平行的狀態(tài)，可以證明該理論齒廓曲線方程是準(zhǔn)確的。

圖2 螺旋錐齒輪齒廓線

2 齒廓線目標(biāo)離散點(diǎn)的獲取

根據(jù)式（1）～（3）的理論方程，按照等弧長(zhǎng)的原則對(duì)其進(jìn)行處理，獲得齒頂線、工作廓線以及齒根線上的離散點(diǎn)，過渡圓弧曲線需要近似處理，基圓半徑小于齒根圓半徑，因此過渡圓弧處的圓弧半徑可由式（4）計(jì)算得到。

由圖2中繪制的齒廓線可知，過渡圓弧處Z軸變化最小，因此等分Z軸，作為過渡圓弧處離散點(diǎn)的Z軸坐標(biāo)。假設(shè)過渡圓弧為平面XOY上的一段圓弧，根據(jù)等弧長(zhǎng)的原則計(jì)算出數(shù)據(jù)點(diǎn)的X軸和Y軸坐標(biāo)，最后繪制出所有的離散點(diǎn)，并與理論齒廓線方程對(duì)比，如圖3所示，圖中齒頂線、齒廓線以及齒根線離散點(diǎn)與齒廓線方程基本重合，保證了后續(xù)對(duì)倒棱軌跡的研究。

圖3 目標(biāo)離散點(diǎn)與齒廓線方程對(duì)比圖

3 刀位點(diǎn)和刀軸矢量的計(jì)算

3.1 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

建立圖4中工件坐標(biāo)系和刀具坐標(biāo)系的關(guān)系[16]，坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)為工件坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S3(O3-X3,Y3,Z3)為 刀具坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)與圖1球面漸開線數(shù)學(xué)模型的坐標(biāo)系一致，建立的坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)是為了方便目標(biāo)離散點(diǎn)從坐標(biāo) 系S(O-X,Y,Z)到 工 件 坐 標(biāo) 系S2(O2-X2,Y2,Z2)之間的轉(zhuǎn)換，L為坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)與 坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)之間的距離。

圖4 工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系關(guān)系

設(shè)坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)下 某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),轉(zhuǎn)為坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)后 該點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1,z1)，由圖4關(guān)系可知：

根據(jù)圖4，假設(shè)坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)與工件坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)之 間的Z1軸 與Z2軸的夾角為β，因此X1軸 與X2軸 所夾的銳角為β，設(shè)轉(zhuǎn)為工件坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)后 的坐標(biāo)為(x2,y2,z2)，則由空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理可得：

其中，M21為 坐標(biāo)系S1(O1-X1,Y1,Z1)向工件坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)轉(zhuǎn)換的變化矩陣，且變換矩陣如下。

3.2 計(jì)算刀位點(diǎn)和刀軸矢量

對(duì)于五軸數(shù)控機(jī)床，工件的端面齒廓一般采用端銑刀和球頭銑刀加工，其中，螺旋錐齒輪倒棱加工大多采用錐形銑刀。相較于錐形銑刀，球頭銑刀可以降低實(shí)際切削半徑，適當(dāng)減小切削加工時(shí)的切削功率和切削扭矩；另外，在球頭銑刀加工時(shí)切入角是連續(xù)變化的，不存在突變的現(xiàn)象，此情況下的切削力是一個(gè)連續(xù)變化的過程，這樣可以保證切削狀態(tài)更加穩(wěn)定，加工表面光潔度更高，因此選擇球頭銑刀對(duì)齒廓進(jìn)行倒棱加工[17-18]，并對(duì)倒棱的軌跡進(jìn)行規(guī)劃[19-20]。

對(duì)獲取的目標(biāo)離散點(diǎn)進(jìn)行空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，設(shè)坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)下齒廓線上的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，由式（5）～（7）可以計(jì)算出工件坐標(biāo)系S2(O2-X2,Y2,Z2)下 的 坐 標(biāo)(x2,y2,z2)，并 以 轉(zhuǎn) 換 后 的一些列數(shù)據(jù)點(diǎn)作為刀具軌跡的刀位點(diǎn)。

球頭銑刀對(duì)齒廓的倒棱位姿如圖5所示，點(diǎn)O表示球頭銑刀的刀心點(diǎn)，R表示刀具半徑，r表示刀具刃口的半徑，且刀具半徑與刀具刃口半徑相等。L表示螺旋錐齒輪小輪大端處的某一齒廓線，L1表示刀具對(duì)齒廓加工時(shí)在齒廓上端面的交線，L2表示刀具與齒廓下端面的交線，點(diǎn)P1表示刀具與齒廓線L的交點(diǎn)，點(diǎn)P2表 示刀具與交線L2的交點(diǎn)，點(diǎn)P3表示刀具與交線L1的 交點(diǎn)，點(diǎn)P為齒廓線上的目標(biāo)離散點(diǎn)。向量n表示球頭銑刀的刀軸矢量，起點(diǎn)在刀心點(diǎn)O上 ，且過齒廓線上的目標(biāo)離散點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)P2沿刀軸矢量間的距離表示刀具切削的深度。

圖5 刀具倒棱位姿

由圖1中建立的數(shù)學(xué)模型可知，螺旋錐齒輪齒廓線分布在半徑為R的球面上，且球面上任一點(diǎn)的法向量是唯一的，因此不會(huì)出現(xiàn)球頭刀具與工件的干涉問題。設(shè)齒廓線所在的球面方程為

則齒廓線方程在點(diǎn)(x,y,z)的單位方向矢量可以表示為

故單位方向矢量中各個(gè)分量nx、ny、n z表示為

工件坐標(biāo)系下的刀軸矢量可由向量n來表示，且刀軸矢量與Z軸的夾角如圖6所示，銳角?即為刀軸矢量與坐標(biāo)系Z軸之間的夾角，點(diǎn)p為齒廓線上的目標(biāo)離散點(diǎn)，由圖6的關(guān)系可以計(jì)算出式（11），即圖4中刀具坐標(biāo)系下Y3軸與工件坐標(biāo)系下Y2軸之間所夾的銳角。

圖6 刀軸矢量的夾角

4 倒棱軌跡的仿真

為了驗(yàn)證本文中螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規(guī)劃的有效性，現(xiàn)以驗(yàn)證齒廓線方程的小輪大端參數(shù)為例進(jìn)行球頭銑刀倒棱軌跡的仿真。

4.1 MATLAB軟件中倒棱軌跡的仿真

首先對(duì)獲取的目標(biāo)離散點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，由式（5）～（7）可以計(jì)算出工件坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)點(diǎn)，獲得刀具軌跡。由式（8）～（10）計(jì)算球頭刀具的刀軸矢量，并經(jīng)式（5）～（7）轉(zhuǎn)換為工件坐標(biāo)系下的刀軸矢量，如圖7所示。

圖7中采用基于積累弦長(zhǎng)法的NURBS曲線插補(bǔ)對(duì)刀具的倒棱軌跡進(jìn)行仿真，根據(jù)目標(biāo)離散點(diǎn)計(jì)算出控制頂點(diǎn)，選取權(quán)重因子后最后實(shí)線繪制出齒廓線軌跡，基于該插補(bǔ)算法可以最大限度地繪制出齒廓線過渡圓弧處的軌跡，圖中軌跡線上各離散點(diǎn)的箭頭即為球頭刀具的刀軸矢量，保證每一點(diǎn)處的方向唯一。

圖7 刀具倒棱仿真

4.2 VERICUT軟件中倒棱軌跡的仿真

在VERICUT軟件中進(jìn)行螺旋錐齒輪模型小輪大端的倒棱仿真，模型參數(shù)與前面一致。首先添加SINUMERIK 840D作為數(shù)控控制系統(tǒng)，根據(jù)五軸數(shù)控機(jī)床各軸的實(shí)際關(guān)系定義X、Y、Z等軸，設(shè)置工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系之間的位置，在“Stock”中導(dǎo)入工件模型文件，在加工刀具處添加球頭刀具，并設(shè)置刀具必要的參數(shù)，最后添加已經(jīng)編寫好的數(shù)控程序，模型倒棱仿真如圖8所示。

圖8 模型倒棱仿真

圖8中球頭刀具的刀軸矢量可由公式（10）計(jì)算出各值的大小，方向設(shè)置表示為數(shù)控程序中的A軸，且由圖4中刀具坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系之間的關(guān)系可知A=-φ。

圖9為模型在不同深度下切削后的對(duì)比圖，刀具在模型上加工出一個(gè)內(nèi)凹槽；切削深度為0.1 mm和0.2 mm時(shí)，球頭刀具加工過的齒廓線處明顯不平整，加工效果差；切削深度為0.3 mm和0.4 mm時(shí)，加工留下的曲面相對(duì)均勻，加工效果明顯更好，但當(dāng)加工深度不斷增大時(shí)會(huì)導(dǎo)致齒廓處切削過大，給工件的嚙合產(chǎn)生不好的影響，降低使用壽命。

圖9 模型切削對(duì)比

5 結(jié)語

本文研究了基于球頭刀的螺旋錐齒輪齒廓倒棱軌跡規(guī)劃，基于空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換以及球頭刀倒棱時(shí)與工件的位姿關(guān)系，計(jì)算出了齒廓倒棱軌跡，最后在MATLAB和VERICUT軟件上進(jìn)行倒棱仿真，得出以下結(jié)論：

（1）根據(jù)球面漸開線模型計(jì)算出的完整齒廓線方程，經(jīng)對(duì)比分析驗(yàn)證了方程的準(zhǔn)確性。

（2）獲得的齒廓線目標(biāo)離散點(diǎn)，根據(jù)空間變換矩陣及設(shè)計(jì)的刀具倒棱位姿關(guān)系，成功計(jì)算出倒棱軌跡的刀位點(diǎn)和刀軸矢量。

（3）倒棱加工可以按照計(jì)算出的齒廓倒棱軌跡進(jìn)行，且加工表面相對(duì)均勻。

（4）利用該方法可以對(duì)螺旋錐齒輪小輪大端和小端進(jìn)行倒棱，補(bǔ)足了國(guó)內(nèi)螺旋錐齒輪在中低端數(shù)控機(jī)床上的倒棱，可以替代人工倒棱從而提高加工效率。