基于高分辨率格式的高超聲速氣動熱數(shù)值模擬研究

孫振生，王江彬, 胡 宇，毛 凱

(火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

0 引 言

當(dāng)飛行器在高空以超聲速或高超聲速飛行時，會產(chǎn)生嚴(yán)重的氣動加熱現(xiàn)象。為解決高超聲速飛行器研發(fā)設(shè)計中熱防護(hù)等問題，迫切需要發(fā)展能夠準(zhǔn)確預(yù)測氣動熱環(huán)境的工具。近年來，針對高超聲速氣動熱環(huán)境預(yù)測的CFD數(shù)值模擬方法得到了迅速的發(fā)展，但也存在很多尚未解決的問題。

對于氣動力中升力的計算，目前的大部分CFD方法均可以得到相當(dāng)精確的結(jié)果，但是針對氣動熱的計算，不同的CFD方法得到的結(jié)果可能會有較大的偏差。網(wǎng)格的劃分、 計算格式的精度及耗散、 湍流模型的選擇等諸多因素都會對氣動熱的數(shù)值模擬結(jié)果造成影響，甚至?xí)辛考壣系牟顒e。目前為止，用數(shù)值方法求解氣動熱問題一直是CFD研究中非常困難的一個問題。隨著國內(nèi)航空航天領(lǐng)域技術(shù)的發(fā)展，針對高超聲速氣動熱的數(shù)值模擬方法必然會得到更為廣泛的應(yīng)用，解決數(shù)值計算中的氣動熱問題對于高超聲速飛行器的研發(fā)和設(shè)計具有很強(qiáng)的現(xiàn)實意義。

20世紀(jì)初，普朗特邊界層理論的提出為氣動熱的數(shù)值計算提供了非?？煽康睦碚摴ぞ?。文獻(xiàn)[1]通過求解邊界層方程得到了攻角在25°～40°之間的熱流分布。文獻(xiàn)[2]采用粘性激波層數(shù)值計算方法計算了STS-2E航天飛機(jī)在某些飛行狀態(tài)下的氣動熱流分布，與試驗數(shù)據(jù)吻合效果良好。隨著一系列差分格式的提出，針對氣動加熱問題的數(shù)值計算方法研究得到迅速的發(fā)展。

國內(nèi)對于高超聲速氣動加熱數(shù)值計算的研究起步相對較晚，主要是通過求解N-S方程來求解高超聲速氣動加熱問題，有力地推動了高超聲速數(shù)值計算方法的發(fā)展。文獻(xiàn)[3]基于黎曼問題解析解構(gòu)造了低耗散NNLD格式，通過計算氣動力熱問題驗證了該格式的可靠性。文獻(xiàn)[4-5]采用有限體積法，無粘通量采用三階MUSCL格式以及AUSMPW+格式進(jìn)行計算，時間離散采用LU-SGS方法，在湍流計算中添加了先進(jìn)壁面函數(shù)邊界條件，該壁面條件考慮了熱傳導(dǎo)效應(yīng)，最后對高超聲速飛行器進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到較為可靠的氣動熱數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[6]在WCNS格式的基礎(chǔ)上，發(fā)展了高精度算法WCNS-E-5，并對鈍錐以及雙橢球進(jìn)行了熱流計算，通過與二階MUSCL格式對比，證明了WCNS-E-5具有更高的流線分辨率，得到的熱流密度更加準(zhǔn)確。也有一些學(xué)者將有限元積分方法應(yīng)用到高超聲速流場問題中，文獻(xiàn)[7]給出一種有限元-有限差分混合算法，針對高超聲速鈍頭體求解N-S方程，得到比較滿意的結(jié)果。

為了抑制在間斷附近由于梯度過大引起的非物理振蕩，許多格式會使用限制器以限制插值梯度。文獻(xiàn)[8]采用minmod, Van leer和Osher-C三種不同的限制器對典型的高超聲速飛行器外型雙錐模型進(jìn)行了氣動熱數(shù)值模擬，得出minmod限制器對于熱流的計算在三種限制器中性能最優(yōu)。文獻(xiàn)[9]分析對比了傳統(tǒng)的MUSCL限制器以及多維限制器的計算性能，發(fā)現(xiàn)多維限制器的魯棒性和準(zhǔn)確性要更優(yōu)。文獻(xiàn)[10]提出了一種新型三階TVD限制器，并將其應(yīng)用于復(fù)雜外形氣動熱計算，表現(xiàn)出良好的計算精度以及間斷分辨率。

除數(shù)值格式以外，高超聲速氣動熱數(shù)值模擬若想得到精確度較高的熱流結(jié)果，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計合理以及間距尺度控制良好是計算網(wǎng)格必不可少的條件。關(guān)于網(wǎng)格尺度對氣動熱數(shù)值模擬的影響，國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛研究。文獻(xiàn)[11]在計算二維圓柱問題時發(fā)現(xiàn)，根據(jù)網(wǎng)格雷諾數(shù)原則確定的第一層網(wǎng)格尺寸會偏大，需要減小一個數(shù)量級才能夠滿足計算精度要求。文獻(xiàn)[12]對二維圓柱模型進(jìn)行了氣動熱數(shù)值模擬，研究了網(wǎng)格雷諾數(shù)對熱流沿壁面分布的影響，認(rèn)為熱流的準(zhǔn)確計算需要滿足網(wǎng)格雷諾數(shù)小于10，而過小并不會明顯改善計算結(jié)果。

在計算網(wǎng)格生成方面，許多學(xué)者提出了值得借鑒的準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[13]將壁面熱流與氣體分子平均自由程聯(lián)系起來，針對近壁面網(wǎng)格提出了基于分子平均自由程的尺度準(zhǔn)則，網(wǎng)格的生成只依賴于壁面局部參數(shù)，通過計算鈍錐算例驗證了該準(zhǔn)則的可靠性。然而其局限性在于壁面局部參數(shù)是未知的，需采用粗網(wǎng)格試算獲得。針對該問題，文獻(xiàn)[14]提出了壁面參數(shù)預(yù)估方法，無需為獲得壁面參數(shù)而進(jìn)行提前試算，提高了該準(zhǔn)則的實用性。同時計算了完全氣體以及真實氣體下的高超聲速流動問題，驗證了該方法的可靠性。文獻(xiàn)[15]認(rèn)為壁面法向網(wǎng)格尺度應(yīng)該與當(dāng)?shù)販囟忍荻扔嘘P(guān)，因此可以預(yù)先應(yīng)用工程算法估算出壁面溫度梯度，之后根據(jù)估算值確定壁面法向網(wǎng)格尺度，從而生成計算網(wǎng)格。此種方法不僅能夠提高計算精度，而且具有加速收斂的效果。

目前對于氣動熱的數(shù)值模擬，采用不同數(shù)值方法的精度、 耗散特性等對熱流的影響機(jī)理并不十分清楚，尤其對于格式的耗散特性在氣動熱方面的研究非常少。本文采用最新提出的高分辨率格式MDADF-HY對熱流的網(wǎng)格尺度效應(yīng)進(jìn)行研究，并結(jié)合傳統(tǒng)的數(shù)值格式分析了格式精度對熱流的影響，最后采用一類在不影響色散情況下單獨控制耗散的格式來研究耗散對熱流的影響。

1 數(shù)值方法與計算模型

1.1 量熱完全氣體控制方程

本文的熱流是通過求解可壓Navier-Stokes方程來進(jìn)行計算。在不計質(zhì)量力和源項的情況下，Navier-Stokes方程在直角坐標(biāo)系中可以寫為下列向量形式：

(1)

具體參數(shù)表示可以參考文獻(xiàn)[16]，壁面熱流為

(2)

數(shù)值離散方法采用有限體積方法，對于粘性項的離散采用中心格式； 對于無粘項的離散，采用4種不同的數(shù)值格式，分別是二階MUSCL格式、 五階WENO格式、 MDCD格式以及MDADF-HY格式。在獲得單元界面兩側(cè)變量的基礎(chǔ)上，通過Roe格式近似求解黎曼問題得到單元界面處變量值。文獻(xiàn)[20]指出該算例在此流動條件下為層流，因此無需考慮湍流模型對計算帶來的影響。時間推進(jìn)采用三級三階Runge-Kutta方法。

作為中國生產(chǎn)整體硬質(zhì)合金刀具的專業(yè)制造廠家，喜威一（北京）刀具有限公司擁有自己的品牌“CVE”，產(chǎn)品有硬質(zhì)合金標(biāo)準(zhǔn)刀具（銑刀、鉆頭及鉸刀）和非標(biāo)準(zhǔn)刀具（鉆鉸刀、內(nèi)冷鉆、階梯鉆、階梯鉸、復(fù)合刀具及成型刀具），并提供修磨、涂層服務(wù)；而刀具產(chǎn)品原材料均采用歐洲進(jìn)口合金棒料，擁有世界一級的生產(chǎn)設(shè)備。另外，該公司還是意大利UFS絲錐的中國總代理。

1.2 模型選取及計算條件

三維球頭鈍錐是十分典型的高超聲速飛行器再入體模型，本文的三維鈍錐算例選自NASA TN D-5450報告，采用熱電偶對不同鈍度的鈍錐模型測試了多種來流雷諾數(shù)及攻角情況下的熱流值，試驗數(shù)據(jù)豐富。其中駐點熱流與理論相比測量誤差小于±5%； 對于0°攻角，錐面上的三條母線上的熱流測量重復(fù)性誤差小于±6%； 由于精度是相對于熱流測量水平來說的，因此對于低熱流的測量誤差估計在±20%以內(nèi)。本文選擇其中一種幾何外形，如圖1所示，鈍錐半錐角=15°，球頭曲率半徑=0.009 5 m，錐尖到錐底的總長度=0.568 7 m。

圖1 鈍錐幾何外形

計算狀態(tài)： 來流馬赫數(shù)為10.6，來流雷諾數(shù)=3.937×10，溫度=47.34 K，壁面溫度=294 K。選取攻角為10°以對比分析迎風(fēng)面以及背風(fēng)面流場信息。由于熱流穩(wěn)定要比壓力緩慢得多，因此按照文獻(xiàn)[22]給出的熱流穩(wěn)定步數(shù)在壓力穩(wěn)定步數(shù)的10倍以上作為收斂準(zhǔn)則。

2 網(wǎng)格雷諾數(shù)對熱流的影響分析

圖2 整體計算網(wǎng)格

采用MDADF-HY格式計算無粘通量，壁面熱流計算結(jié)果按無量綱形式給出，其中為計算得到的熱流值，為文獻(xiàn)[21]給出的駐點熱流值，對統(tǒng)一作歸一化處理。橫坐標(biāo)為至尖錐(非鈍體頭部)距離與鈍錐總長度之比。取0.1，1，10，100，1 000五種不同網(wǎng)格雷諾數(shù)計算結(jié)果進(jìn)行分析。圖3分別給出了攻角為0°以及10°時五種不同網(wǎng)格雷諾數(shù)情況下鈍錐表面熱流沿軸向的分布，并且與試驗值做出了對比。從圖中可以得出，五種網(wǎng)格雷諾數(shù)計算得到的壁面熱流大致有相同的趨勢，頭部駐點區(qū)由于受到氣流滯止的作用以及正激波的影響，氣動加熱效果非常嚴(yán)重，導(dǎo)致熱流密度非常高。離開駐點區(qū)域后，熱流密度迅速下降，在相對位置大概為0.2之后，熱流密度下降的趨勢逐漸變緩，到達(dá)鈍錐尾部時基本保持穩(wěn)定。

圖3 鈍錐軸向熱流分布曲線

隨著網(wǎng)格雷諾數(shù)的不斷增加，熱流計算值呈現(xiàn)不斷減小的趨勢。對于10°攻角背風(fēng)面，氣動加熱現(xiàn)象不明顯，五種網(wǎng)格雷諾數(shù)對應(yīng)的網(wǎng)格得到的熱流計算值均能與試驗值較好的吻合。但對于迎風(fēng)面，網(wǎng)格雷諾數(shù)為1 000時得到的熱流計算值與試驗值差距比較大，尤其是在頭部附近，最大誤差已經(jīng)超過了50%。可見網(wǎng)格尺度過大時，計算的熱流值難以升上去，在鈍錐大部分區(qū)域維持在較低的范圍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到對氣動熱數(shù)值模擬的要求。

對比0°攻角以及10°攻角下的壁面熱流值，在一定的攻角下，鈍錐迎風(fēng)面的熱流密度更高，并且要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于背風(fēng)面熱流值，因此在熱防護(hù)設(shè)計中，飛行器迎風(fēng)面是需要重點考慮的部位。

3 格式精度對熱流的影響分析

CFD計算中，數(shù)值格式是關(guān)系到數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確與否最主要的因素。對于高超聲速氣動熱來說，熱流值是與溫度梯度相關(guān)的物理量，不同精度插值用到的模板點數(shù)量也不同，這就會導(dǎo)致計算得到的溫度值及溫度梯度值的精確度不同。本文選擇三種不同精度的格式： 二階MUSCL格式、 四階MDADF-HY格式及五階WENO格式，來研究格式精度對壁面熱流計算的影響。

圖4 不同精度格式駐點熱流相對誤差隨網(wǎng)格雷諾數(shù)變化曲線

可以看出，當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)足夠低時，在0.1～10范圍內(nèi)，三種格式得到的壁面熱流相對誤差都能夠收斂到某個確定值，精度越低得到的壁面熱流相對誤差越大，并且高階格式計算出的熱流值要低于低階格式。比較四階MDADF-HY格式和五階WENO格式，當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)較低時，WENO格式得到的熱流值要比MDADF-HY格式得到的熱流值更接近試驗值。但是隨著網(wǎng)格雷諾數(shù)的逐漸增大，到10的量級之后，MDADF-HY格式的計算值反而更接近試驗值，分析認(rèn)為MDADF-HY格式的分辨率比WENO格式更好，當(dāng)網(wǎng)格比較稀時，MDADF-HY格式對于粘性邊界層的模擬以及激波等間斷結(jié)構(gòu)的捕捉效果要更好。

同時，隨著網(wǎng)格雷諾數(shù)由高到低，相比于四階MDADF-HY格式，五階WENO格式雖然收斂到最小相對誤差時所需的網(wǎng)格雷諾數(shù)更小，但是達(dá)到收斂時計算結(jié)果更準(zhǔn)確。分析認(rèn)為，高階插值求解壁面熱流，在計算無粘通量時需要在控制體單元兩側(cè)采用更多的模板點，利用了更多的流場信息來插值計算界面處通量，因此得到的結(jié)果更加準(zhǔn)確，對于壁面熱流的模擬更逼近試驗值。除此之外，二階MUSCL格式由于精度比較低，對于熱流計算的相對誤差一直大于另外兩種格式，并且MUSCL格式采用的單元兩側(cè)的模板點比較少，導(dǎo)致其對于網(wǎng)格雷諾數(shù)更加敏感，需要更密的網(wǎng)格才能收斂到相對誤差最小值。

4 格式耗散對熱流的影響分析

格式耗散的大小，可以通過分析數(shù)值解與解析解的振幅之比來定性說明。以前文提到的一維線性波動方程為例，線性波動方程的解析解與時間無關(guān)，不會隨著時間的變化而變化，而數(shù)值解的幅值則會隨時間變化。當(dāng)數(shù)值解與解析解的振幅之比小于1時，數(shù)值解的振幅是隨時間不斷衰減的，則認(rèn)為格式具有正的耗散，穩(wěn)定性比較好； 當(dāng)振幅之比為1時，數(shù)值解的幅值保持不變，則認(rèn)為格式具有零耗散； 當(dāng)振幅之比大于1時，數(shù)值解的振幅隨時間不斷增大，則認(rèn)為格式具有負(fù)的耗散，穩(wěn)定性比較差。

而數(shù)值格式的色散特性，則表征數(shù)值解與解析解之間相位的差別。對于色散誤差的優(yōu)化，需要用到目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最小值時格式的色散特性達(dá)到最優(yōu)。MDCD格式的優(yōu)勢在于調(diào)節(jié)耗散參數(shù)不會影響已經(jīng)優(yōu)化的色散特性，因此采用MDCD格式，通過選取不同的耗散參數(shù)得到一組精度、 色散相同，而耗散不同的通量計算方法，針對本文的高超聲速氣動熱問題來研究耗散對熱流計算的影響。文獻(xiàn)[17]對色散誤差進(jìn)行了優(yōu)化，色散參數(shù)與低波數(shù)誤差占總誤差的比重相關(guān)，本文取色散參數(shù)=0.04，對于耗散參數(shù)的選取，文獻(xiàn)[17]提出為保證線性權(quán)重，需要滿足≤的條件，因此取0.004, 0.012, 0.020, 0.028, 0.036五種不同工況進(jìn)行數(shù)值計算。考慮到計算效率以及熱流對于網(wǎng)格雷諾數(shù)和法向網(wǎng)格增長比的要求，計算網(wǎng)格的網(wǎng)格雷諾數(shù)取為10，法向網(wǎng)格增長比取為1.1。

圖5為選取耗散參數(shù)為0.004, 0.012, 0.020, 0.028, 0.036五種情況下鈍錐壁面熱流分布曲線。對于攻角為0°以及攻角為10°背風(fēng)面，不同耗散參數(shù)計算所得壁面熱流結(jié)果大致相當(dāng)，均能與試驗值較好地吻合。在駐點附近，熱流有一個急劇下降的過程，從駐點值過渡到下游的穩(wěn)定值這一過程中，可以看出，耗散參數(shù)越大，壁面流計算值就會越大。

對于10°攻角下鈍錐迎風(fēng)面的數(shù)值模擬，隨著耗散參數(shù)的增加，熱流計算值大體也呈現(xiàn)出增加的趨勢，尤其在過渡段更為明顯。在鈍錐后半部分，除=0.004，其余四種參數(shù)計算的壁面熱流值幾乎重合，與試驗值的誤差非常小。對于=0.004的情況，熱流分布曲線比較曲折，熱流值偏差也比較大，分析認(rèn)為是迎風(fēng)面氣動加熱現(xiàn)象比較嚴(yán)重，尤其是駐點附近溫度梯度變化劇烈，過低的耗散會導(dǎo)致計算的穩(wěn)定性變差，難以收斂到準(zhǔn)確值。

在氣動熱計算過程中，數(shù)值格式的耗散也是十分重要的因素。對于離散求解N-S方程，過低的耗散會導(dǎo)致計算穩(wěn)定性變差，使得計算難以收斂到穩(wěn)定值。由于氣動熱的計算比氣動力的計算更加困難，耗散比較低的情況下很多時候即使氣動力已經(jīng)收斂，氣動熱還未達(dá)到穩(wěn)定值。當(dāng)耗散過高時，熱流計算值與試驗值的誤差也會隨之增加，雖然此時的計算穩(wěn)定性比較好，但是對于流場中微小尺度結(jié)構(gòu)的分辨率會變得很差，同時會存在“抹平”間斷的現(xiàn)象，這對于準(zhǔn)確捕捉高超聲速激波結(jié)構(gòu)非常不利。所以合適的數(shù)值耗散對于熱流密度的準(zhǔn)確模擬是十分必要的。

圖5 不同耗散參數(shù)情況下鈍錐熱流分布曲線

5 結(jié) 論

本文選取典型的高超聲速飛行器再入體三維鈍錐模型，按照不同網(wǎng)格雷諾數(shù)生成多組計算網(wǎng)格，計算了0°攻角以及10°攻角兩種工況，通過分析迎風(fēng)面、 背風(fēng)面的壁面熱流，研究了網(wǎng)格尺度、 格式精度、 格式耗散三種因素對熱流計算的影響。

分析了網(wǎng)格雷諾數(shù)對熱流計算的影響規(guī)律，由于10°攻角迎風(fēng)面氣動加熱現(xiàn)象更為嚴(yán)重，因此五組網(wǎng)格雷諾數(shù)在此工況下對熱流的計算值相差比較大，對于較大的網(wǎng)格雷諾數(shù)，熱流計算誤差更明顯。從上文可以看出，當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)小于等于1后，鈍錐身部計算的壁面熱流差別很小。當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)小于等于10后，駐點計算的壁面熱流差別很小。綜合來看，當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)小于等于1后，計算的熱流才能達(dá)到網(wǎng)格無關(guān)性。

比較了MUSCL, MDADF-HY, WENO三種格式計算得到的熱流計算結(jié)果，在網(wǎng)格雷諾數(shù)較低時，MUSCL誤差大于10%，MDADF-HY與WENO維持在較低的誤差水平，同時WENO計算更精確。當(dāng)網(wǎng)格雷諾數(shù)增加到一定值時，MDADF-HY的熱流計算反而比WENO更精確。

采用耗散可控格式進(jìn)行了格式耗散對熱流計算的研究，0°攻角以及10°攻角背風(fēng)面的熱流計算值相差比較小，與試驗值均能達(dá)到較好的吻合。而對于10°攻角的迎風(fēng)面，當(dāng)耗散比較小時，頭部區(qū)域熱流值出現(xiàn)了波動，說明對于氣動加熱現(xiàn)象嚴(yán)重的部位，需要數(shù)值格式具有一定的耗散以維持計算的穩(wěn)定，減少非物理振蕩。