對(duì)一道圓錐曲線模考題的多角度探究

江蘇省南通市海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (226100) 嚴(yán)敏娟

對(duì)典型考題從不同角度進(jìn)行探究，就是透過(guò)考題表象，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次思考，從考題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的視角來(lái)審視，唯有如此，才能合理開發(fā)考題的價(jià)值，揭示一類問(wèn)題的規(guī)律，這對(duì)于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高都有著重要的意義.本文對(duì)福建省漳州市2022屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第21題的解法、縱向推廣及橫向類比拓展進(jìn)行探究.

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探究

對(duì)于第(1)小題，先利用三角形面積公式變形已知面積等式，再利用雙曲線定義和性質(zhì)求得a2，從而得到Γ的方程.

對(duì)于第(2)小題，解答的關(guān)鍵是求切線l的方程.按常規(guī)解法，首先設(shè)出切線l的方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立、變形整理，利用判別式為零和點(diǎn)P在雙曲線上得到的坐標(biāo)間的整體關(guān)系，將l的斜率表示為點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而變形l的方程，最后表示出兩個(gè)交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)P在雙曲線上得到的坐標(biāo)間的整體關(guān)系求得等式.

從求切線l方程的角度有下面兩種解法.

點(diǎn)評(píng)：解法1思路常規(guī)、清晰、明確，容易入手，但其中求切線的方程的步驟，整理、變形強(qiáng)度大，運(yùn)算繁雜，面對(duì)這樣一個(gè)含有多個(gè)參量的關(guān)系，許多考生往往會(huì)因運(yùn)算受阻而就此擱置.

點(diǎn)評(píng)：解法2從“點(diǎn)P(x0,y0)是Γ右支上一點(diǎn)”和“在點(diǎn)P處的切線l”這兩點(diǎn)切入來(lái)考慮，將Γ右支分上半支和下半支來(lái)討論的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答，該題的優(yōu)選解法.

3.縱向推廣

對(duì)于第(2)小題的結(jié)論可思考下列兩個(gè)問(wèn)題：

①結(jié)論與點(diǎn)P在Γ的右支還是左支上有無(wú)關(guān)系？

②結(jié)論與點(diǎn)A是否在Γ的漸近線上有無(wú)關(guān)系？

證明過(guò)程同命題1.

4.橫向類比

圓錐曲線有許多相似的性質(zhì)或結(jié)論，將結(jié)論1和結(jié)論2分別類比到橢圓和拋物線，也可以得到同樣的結(jié)論：

按命題4的證明過(guò)程同理可證得.

5.結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)研究的過(guò)程主要就是解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題.對(duì)典型問(wèn)題的一題多解、同型歸類則是不錯(cuò)的選擇.與此同時(shí)，要從已經(jīng)解決的問(wèn)題入手，對(duì)問(wèn)題向縱深延伸、挖掘，進(jìn)行變式探究，尋找到處理此類問(wèn)題有效的規(guī)律和方法，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和解題能力.總之，對(duì)典型試題適宜地進(jìn)行對(duì)解法及推廣等方面的訓(xùn)練，既能梳理和優(yōu)化解決這類問(wèn)題的方法，尋求解答此類問(wèn)題的通性通法，揭示問(wèn)題的本質(zhì)和一般規(guī)律，又能拓寬知識(shí)面，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率.