二階電報(bào)方程的一個(gè)新緊差分格式

李福樂(lè)，秦墩旺，劉振斌，徐英

(青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東青島 266109)

考慮下列方程組：

(1)

(2)

u(0,t)=h1(t)，u(1,t)=h2(t)，0

(3)

式(1)稱為電報(bào)方程或傳輸線方程，可用來(lái)描述輸電線路中的電信號(hào)、色散波傳播、動(dòng)脈內(nèi)的脈動(dòng)血流和樹(shù)籬上蟲(chóng)子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)等一系列物理和生物現(xiàn)象[1]；式(2)、式(3)分別為初始條件和邊值條件，其中u表示電壓，x、t分別為距離和時(shí)間，β1、β2為正常數(shù)，f、g1、g2、h1、h2為已知函數(shù)。對(duì)于上述電報(bào)方程，學(xué)者使用多種方法進(jìn)行了研究，其中有限差分法[1-3]、DGJ方法[4]、有限元法[5]、樣條方法[6-9]、再生核方法[10]等被廣泛應(yīng)用于數(shù)值解求解。文獻(xiàn)[10]給出了變系數(shù)電報(bào)方程的一個(gè)緊差分格式，但未給出其理論分析結(jié)果。本文對(duì)(1)～(3)建立了一個(gè)線性三層緊差分格式，緊差分格式的收斂階可以達(dá)到O(τ2+h4)。

1 緊差分格式的建立及截?cái)嗾`差表達(dá)式

(4)

由帶積分余項(xiàng)的泰勒公式得

(5)

(6)

(7)

(8)

其中

將(5)～(8)代入(4)，得

(9)

在(9)式兩邊作用算子A，得

又

其中

由此得到

(10)

對(duì)于初始條件，通過(guò)類似的推導(dǎo)可以得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

雖然式(11)的局部截?cái)嗾`差僅為O(τ+h4)，但可以證明差分格式(12)～(15)整體的收斂階能達(dá)到O(τ2+h4)。

2 緊差分格式的理論分析

用能量分析法可得到如下先驗(yàn)估計(jì)[11]。

1≤i≤m-1，1≤k≤n-1

進(jìn)一步還可以得到

由引理1容易得到關(guān)于差分格式解的可解性、穩(wěn)定性和收斂性結(jié)論。

定理1緊差分格式(12)～(15)是唯一可解的。

定理2緊差分格式(12)～(15)的解關(guān)于初值和非齊次項(xiàng)在L∞范數(shù)下是無(wú)條件穩(wěn)定的。

則有‖ek‖∞=O(τ2+h4)。

3 數(shù)值模擬

下面給出具體算例來(lái)驗(yàn)證緊差分格式(12)～(15)的有效性。取T=1，β1=20，β2=25，精確解u=e2tsin(πx)。相應(yīng)的非齊次項(xiàng)f及初邊值條件由(1)～(3)給出。分別取m=10、20、40、80、160,n=m2/20。定義最大誤差

所得結(jié)果見(jiàn)表1至表3。圖1給出了u(x,t)的數(shù)值解曲面，圖2給出了t=1時(shí)不同步長(zhǎng)數(shù)值解的誤差曲線。

圖1 數(shù)值解曲面Fig.1 Surface of the numerical solutions

圖2 不同步長(zhǎng)數(shù)值解的誤差曲線Fig.2 Error curves of the numerical solutions with different step size

表1 不同網(wǎng)格數(shù)部分點(diǎn)處的數(shù)值解Table 1 Numerical solutions at partial points for different grid number

由表2可以看出，當(dāng)h縮小至原來(lái)的1/2時(shí)，誤差約縮小至原來(lái)的1/16。利用表3中的數(shù)據(jù)可以得到如下線性擬合函數(shù)：

-lnE∞(h,τ)≈-8.149 8+3.991 4(-lnh)

表2 不同網(wǎng)格數(shù)部分點(diǎn)處的絕對(duì)誤差Table 2 Absolute errors at partial points for different grid number

表3 不同網(wǎng)格數(shù)數(shù)值解的收斂階和最大誤差Table 3 Convergence orders and maximum errors of the numerical solutions for different grid number

由此看出，緊差分格式(12)～(15)的收斂階可以達(dá)到O(τ2+h4)，與理論結(jié)果相符。