考慮樓層剛度的伸臂結構力學性能

陳林，譚平，趙嘯峰，徐亞飛，周福霖，2，3

（1.湖南大學土木工程學院，湖南長沙 410082；2.廣州大學工程抗震研究中心，廣東廣州 510405；3.廣東省地震工程與應用技術重點實驗室，廣東廣州 510405）

帶伸臂的超高層結構由于其良好的抗側性能，是近年來應用較多的超高層結構體系，這種體系通過在設備層或避難層設置巨形梁或桁架（外伸臂）將核心筒與外框柱進行連接，使外框柱參與整體抗彎作用，從而提高結構的抗側能力，減小水平位移，同時也相應地減少核心筒承擔的底部傾覆力矩.

目前國內外學者對此種結構體系研究較多，并對其計算模型進行了平面簡化以探究其受力性能.1975年Taranath［1］將帶伸臂的框架-核心筒結構簡化成一平面模型并忽略普通樓蓋作用，經分析得出在風荷載作用下最優(yōu)伸臂位置接近結構中部的結論.在此基礎上，Mcnabb 和Muydi［2］驗證了Taranath 的分析并進一步得出了帶兩道伸臂加強層結構的最優(yōu)位置.1983年Boggs和Gasparini［3］研究了帶一道伸臂層的變截面伸臂體系的內力和位移，進而分析了伸臂的最優(yōu)位置.由于伸臂截面高度較大，即高跨比較大，為使其與實際受力情況一致，Hoenderkamp［4］在分析伸臂結構時考慮了伸臂桁架剪切變形的影響.Rahgozar等［5］采用最小勢能原理推導出帶伸臂筒中筒結構的簡化頂點位移計算方法并考慮剪力滯后效應的影響.

張正國等［6］以深圳126層中華大廈為研究對象，采用力法推導出帶多道伸臂的框架-核心筒結構頂點位移公式，并分析了影響其抗側剛度的主要參數.黃世敏等［7］通過建立協調變形方程研究伸臂層的最優(yōu)位置，同時分析了不同數量以及加強層剛度對結構的影響，從而給加強層設計提供建議.沈蒲生等［8］對設有兩道加強層的變截面框架-核心筒結構的動力特性進行了分析，對加強層的最優(yōu)位置、自由振動頻率等各方面進行了詳盡的分析.Chen 等［9］提出了消能伸臂結構的簡化計算分析模型，并對影響參數如最佳伸臂位置、最優(yōu)阻尼比等進行了分析，但忽略了外框架柱軸向剛度的影響.鄧仲良等［10］分析了含單伸臂的框架-核心筒簡化模型的力學性能并利用有限元法進行驗證.方娥［11］將多道伸臂結構簡化為平面模型，考慮伸臂剛度影響并將普通樓層梁簡化為均布在整個樓層高度的連續(xù)桿，按最小勢能原理推導出多道伸臂結構的側移計算公式，得出不同剛度加強層受力性能差異，但未討論普通樓層剛度及數量對整體剛度的影響.Tan等［12-13］采用等效扭轉剛度模擬外框柱、伸臂以及阻尼器連接的剛度并提出了消能伸臂結構的簡化動力計算方法.汪夢甫等［14］運用數值模擬方法研究了帶伸臂減震層的超高層結構的抗風性能.周穎等［15］通過振型反應譜法分析了伸臂結構的最優(yōu)伸臂位置并與靜力分析結果進行對比.

上述研究基本都將帶伸臂的框架-核心筒結構簡化為一平面模型并忽略普通樓層梁板對結構的影響，將核心筒簡化為一歐拉梁，此簡化模型受力清晰，計算簡單，但忽略了普通樓層梁板對整體剛度貢獻大小.由于伸臂結構普通樓層數量多，考慮樓板對梁剛度貢獻后，其連接外框架柱與核心筒的梁抗彎剛度不容忽視，其對結構整體抗側剛度有較大影響進而影響結構動力特性.因此，有必要考慮普通樓層梁板剛度對其結構力學性能的影響規(guī)律進行研究，提高結構方案設計精度.在前人研究的基礎上，本文考慮普通樓層剛度后對帶伸臂的框架-核心筒結構進行分析，研究各參數對整體抗側剛度影響規(guī)律，提出考慮普通樓層剛度等效核心筒附加剛度比計算公式.結合工程實例，對比分析簡化計算模型與有限元模型的靜力、動力計算結果.

1 基本假定

前述文獻中對帶伸臂的框架-核心筒進行分析時，假定核心筒與外框柱截面沿樓高保持不變，將核心筒簡化為歐拉梁即僅考慮其彎曲變形，核心筒與外框架僅由伸臂連接，忽略樓蓋與樓層梁作用，并將外框柱簡化為軸心受力構件.本文在已有研究基礎上，以單道伸臂位于結構頂部（可視為多道伸臂子結構）為例著重研究伸臂結構的力學性能及動力特性，基本假定如下：

1）結構處于線彈性狀態(tài)，不考慮結構P-Δ效應；

2）核心筒簡化為歐拉梁，不考慮其剪切變形及扭轉變形；

3）因外框柱抗彎剛度遠小于核心筒抗彎剛度，外框柱假定為軸心受力構件；

4）考慮伸臂的彎曲變形及剪切變形；

5）外框柱及核心筒剪力墻截面沿建筑高度不變；

6）考慮普通樓層梁板的影響，樓層梁與核心筒剛接，與外框柱近似鉸接但提高其線剛度.

2 伸臂結構力學性能

2.1 未考慮樓層剛度計算模型

未考慮普通樓層的單伸臂結構簡化模型如圖1（a）所示，核心筒抗彎剛度為EI，伸臂抗彎剛度為EaIa，剪切模量Ga=0.42Ea［6］，外框架柱軸向剛度為EcAc，伸臂梁或桁架高度為h，外框柱與核心筒中心間距為r，核心筒邊緣距外框柱中心為b，a=r-b，結構總高度為L，沿建筑高度承受倒三角荷載qT、均布荷載qD、集中荷載Fp，Ma為伸臂對結構產生的反向彎矩，X軸為樓層方向，Y軸為水平位移方向.

圖1 伸臂結構簡化模型Fig.1 Simplified model of outrigger structure

2.1.1 外伸臂的轉角計算

外伸臂處的轉角θ0等于外框柱軸向變形引起的轉角θc、剪切變形產生的轉角θg以及伸臂彎曲產生的轉角θb之和［4］，如圖2所示.

圖2 伸臂變形示意圖Fig.2 Schematic diagram of outrigger deformation

式（1）定義跨度比ξ=b/r，Ma為伸臂提供的反向彎矩.令無量綱參數外框柱剛度比Pc=EI/（2EcAcr2），伸臂剛度比Pa=2EIr/(EaIaL)，伸臂高跨比γ=h/r，則式（1）可簡化為：

2.1.2 核心筒在伸臂位置轉角計算

1）倒三角荷載作用下核心筒轉角計算

2）均布荷載作用下核心筒轉角計算

3）集中荷載用下核心筒轉角計算

因伸臂的轉角等于相應位置核心筒處的轉角，即θ0=α，故

2.1.3 頂點位移計算

1）倒三角荷載作用下頂點位移計算

式中：M(x)為未加伸臂時核心筒作為懸臂歐拉梁沿X軸承受的彎矩.

2）均布荷載作用下頂點位移計算

3）集中荷載作用下頂點位移計算

2.2 考慮樓層剛度計算模型

普通樓層假設為n層（即結構總共n+1層），各層層高相等，普通樓層梁抗彎剛度均為EbIb（考慮樓板對梁剛度貢獻）.普通樓層梁截面高度較小，忽略其剪切變形.與伸臂梁位置不同的是外框柱連接位置不能完全視為鉸接，因為外框柱對普通樓層梁有較大約束，為減小計算工作量，將普通梁剛度進行簡化：忽略外框柱抗彎剛度，普通梁與外框柱近似鉸接，但提高其線剛度，為(4EbIb/b+2EbIb/b)，普通樓層梁對結構的反向彎矩為Mn，如圖1（b）所示.

2.2.1 樓層位置梁及伸臂轉角計算

類似2.1 節(jié)，第n層梁對核心筒提供的抵抗力矩為

式中：Fcn為第n層梁對外框柱作用力.

第n層梁與第n-1層梁間外框架柱軸向變形為

普通樓層梁與核心筒剛接，與框架柱近似鉸接，普通樓層梁彎曲變形產生的轉角

在普通樓層位置，由變形協調條件

式中：ΔUj表示第j層梁與第j-1層梁間外框架柱軸向變形.

改寫成矩陣形式如下：

其中，

式中：Pb=2EIr/(EbIbL)，定義為普通樓層梁剛度比.

2.2.2 核心筒在普通樓層梁及伸臂位置轉角計算

將上述公式進行整理得：

其中，

式中：FT、FD、FC分別對應在倒三角荷載、均布荷載以及集中荷載作用下的荷載矩陣；F，D為與普通樓層數n相關的常數矩陣.因θ0=α，可求出Mn.

式中：B=S+D.

2.2.3 頂點位移計算

1）倒三角荷載作用下頂點位移計算

2）均布荷載作用下頂點位移計算

3）集中荷載作用下頂點位移計算

2.3 本文提出模型與未考慮樓層剛度模型對比

以一實際超高層結構簡化模型為例進行分析，對比考慮普通樓層剛度后結構頂點位移大小及樓層水平位移曲線形態(tài)變化.建筑所在地區(qū)抗震設防烈度為7 度，場地類別為Ⅱ類，基本風壓為0.35 kN/m2，高度L=200 m，層數總共為50 層，r=19 m，b/r=0.526，假定風荷載沿建筑高度為倒三角荷載模式且qT=30 kN/m，核心筒墻厚為800 mm，EI=1.4×1013N·m2；外框架柱截面尺寸為1 800 mm ×1 800 mm，EcAc=1.2 × 1011N；伸臂梁位于結構頂部，h/r=0.21，EaIa=1.3 × 1011N ?m2.

圖3 所示為本文計算方法與未考慮普通樓層簡化計算方法對比圖，橫坐標為樓層水平位移δ，縱坐標為對應樓層位置.分別取普通樓層梁剛度比Pb=10 000 及Pb=100 000 進行計算，可以看出當普通樓層梁剛度比Pb增大，即普通樓層梁剛度減小時，結構樓層水平位移δ曲線更接近未考慮普通樓層計算結果.當Pb=10 000 時，相對未考慮樓層剛度時頂點位移小10%；當Pb=100 000，即普通樓層梁剛度趨向0時，相對未考慮樓層剛度時頂點位移小1.1%，其變形曲線基本與未考慮普通樓層計算曲線重合，說明本文提出的考慮普通樓層計算方法能退化至未考慮普通樓層剛度情況，故本文所提出的計算方法更具普適性.

圖3 本文計算方法與未考慮普通樓層計算方法對比Fig.3 Results of the paper compared without considering ordinary floors

3 有限元驗證

以某實際超高層結構為例建立平面有限元模型，考察其頂點位移大小及樓層水平位移曲線形態(tài)，并與本文提出方法計算值進行比較，以驗證本文假定及提出方法的有效性.本節(jié)有限元算例參數同2.3節(jié).

3.1 伸臂結構有限元計算模型

平面有限元計算模型如圖4 所示，普通層樓梁截面尺寸為350 mm×700 mm，考慮樓板對梁剛度影響后EbIb=4.3 × 108N·m2；其余構件信息及荷載信息同2.3 節(jié).外框柱及梁采用ETABS 中的框架單元，剪力墻采用殼單元，建立平面模型，采用ETABS軟件分別計算未考慮普通樓層、普通樓層梁與外框柱鉸接及普通樓層梁與外框柱剛接3種工況.

1.1 材料 MDA-MB-231細胞系購自上海細胞研究所細胞庫。B7-H3真核表達載體pcDNA3-B7-H3由東北師范大學藥物基因和蛋白篩選國家工程實驗室構建。p27、cyclinA和cyclinE抗體均購自Santa 公司，抗B7-H3抗體購自RB公司,抗GAPDH抗體購自上?？党缮镉邢薰?，HRP標記的第二抗體購自北京鼎國昌盛生物技術有限公司。ECL發(fā)光試劑盒購于全式金公司。BrdU試劑盒購自Roche公司。細胞周期與細胞凋亡檢測試劑盒購于碧云天生物技術研究所。

圖4 有限元模型Fig.4 The FEM of the structure

3.2 有限元計算結果對比

圖5 所示為本文計算方法與有限元方法計算的結構樓層水平位移δ曲線對比結果，可以看出，未考慮普通樓層梁剛度時頂點位移最大，采用2.1節(jié)方法計算時頂點位移為246.14 mm，相對樓層梁兩端剛接有限元模型（實際結構模型，頂點位移為182.50 mm）誤差率為34.9%，對整體抗側剛度影響較大，在具體方案設計時不能忽視.本文提出的計算方法頂點位移為209.70 mm，相對梁兩端剛接有限元模型誤差率為14.9%，誤差率相對未考慮普通樓層梁剛度情況減小20%.

圖5 本文計算方法與有限元結果對比Fig.5 Results of FEM compared with the method in the paper ordinary floors

本文提出的計算方法假定外框架柱為軸心受力構件，忽略外框架柱抗彎剛度的影響，雖外框架柱抗彎剛度相對核心筒抗彎剛度可忽略不計，但對整體結構抗側剛度有一定的貢獻；同時結構簡化模型中雖對樓層梁與外框架柱連接方式做了近似等效處理，但與實際樓層梁和外框架柱剛接連接方式有一定差別且等效樓層梁線剛度小于實際剛接連接方式.基于以上兩點，頂點位移略大于有限元分析結果但小于樓層梁與外框柱鉸接計算結果，即介于樓層梁與外框柱剛接與鉸接之間，誤差率已大大優(yōu)于未考慮普通樓層情況，其有效性優(yōu)于2.1節(jié)計算方法并能滿足方案設計要求.

4 伸臂結構參數分析

4.1 伸臂與樓層梁剛度比的影響

為探究伸臂剛度與普通樓層梁剛度比對整體抗側剛度的影響，以倒三角荷載模式為例，令普通樓層剛度比μ=EaIa/(EbIb)=Pb/Pa，假定Pc=0.1，普通樓層數量n=19～49，頂點位移Δ的單位為qTL4/EI.由圖6 可看出，結構頂點位移Δ隨μ增大而增大，伸臂剛度相對普通樓層梁剛度越大，結構整體抗側剛度越小，即μ增大時，伸臂提供的整體結構抗側剛度占比越大，普通樓層梁對整體剛度的貢獻越小.當μ為0～200時，整體剛度變化較明顯，當μ增大到300以上時，整體抗側剛度變化趨于穩(wěn)定，即普通樓層梁對整體剛度的貢獻趨于穩(wěn)定.從圖6 中也可以看出，當普通樓層數量增加時，頂點位移Δ減小，即結構整體剛度增加.

圖6 普通樓層數量n及伸臂與樓層剛度比μ的影響Fig.6 Influence of n and μ

4.2 伸臂間樓層數及樓層剛度比影響

假定結構處于合理設計范疇，令外框柱剛度比Pc=0.1，伸臂剛度比Pa=10，跨度比ξ=0.4，伸臂高跨比γ=0.2，頂點位移單位為qTL4/EI.圖7所示為普通樓層剛度比Pb及普通樓層數量對整體抗側剛度影響，從圖中可看出，頂點位移隨伸臂間普通樓層數量n增加而減小，即整體抗側剛度隨n增加而增大.普通樓層剛度比Pb對頂點位移有顯著影響，整體抗側剛度隨Pb增大（普通樓層梁剛度減小）而減小，當Pb增大到一定程度時，整體抗側剛度隨樓層數量的增加由非線性下降變?yōu)橹本€下降，即當普通樓層梁剛度減小到一定程度時，樓層數量對整體抗側剛度的影響降低.

圖7 普通樓層梁剛度比Pb及普通樓層數量n的影響Fig.7 Influence of Pb and n

4.3 外框柱剛度比及伸臂剛度比的影響

令Pa=10，Pb=2 000，ξ=0.4，γ=0.2.從圖8可看出，頂點位移隨伸臂間普通樓層數量增加而減少，即剛度增大，兩者近似呈線性關系.整體抗側剛度隨Pc增加而減?。S外框柱軸向剛度減小而減?。擯c增加到5 時，伸臂間樓層數量對抗側剛度影響較小，即主要由核心筒提供抗側剛度.

圖8 外框柱剛度比Pc及普通樓層數量n的影響Fig.8 Influence of Pc and n

當Pc=0.1，Pb=2 000，ξ=0.4，γ=0.2 時，從圖9 可看出，隨著伸臂剛度比Pa增加（伸臂抗彎剛度減?。?，結構整體抗側剛度減小，當Pa＞20 時，Pa對整體抗側剛度影響顯著降低.當伸臂剛度增加到一定程度時（Pa接近0），普通樓層數量對整體抗側剛度幾乎無影響，水平構件主要由伸臂提供剛度.

圖9 伸臂剛度比Pa及普通樓層數量n的影響Fig.9 Influence of Pa and n

4.4 伸臂跨度比與高跨比的影響

圖10 所示為伸臂跨度比對整體抗側剛度的影響，從圖中可看出，ξ的變化對結構頂點位移影響較大，整體抗側剛度隨ξ的增大而減小.在具體結構設計中，ξ一般為0.4～0.6，可根據建筑功能布置綜合考慮.從圖11可以看出，高跨比γ對結構整體剛度影響不明顯，反映出剪切變形在結構整體變形中所占比例不大，但考慮剪切變形的影響降低了結構整體抗側剛度.

圖10 普通樓層數量n及伸臂跨度比ξ的影響Fig.10 The influence of n and ξ

圖11 普通樓層數量n及伸臂高跨比γ的影響Fig.11 The influence of n and γ

5 考慮樓層剛度簡化分析方法

5.1 等效核心筒剛度比

從第3、第4 節(jié)分析中可看出，考慮普通樓層剛度的影響后伸臂結構整體剛度的模型計算結果較為準確，且普通樓層剛度比Pb、普通樓層數量n、伸臂剛度比Pa、外框柱剛度比Pc、跨度比ξ以及伸臂高跨比γ均對整體結構抗側剛度有不同程度的影響.但考慮普通樓層剛度后增加了大量自由度，提高了在結構方案設計中的計算工作量，為簡化計算，遂以等效核心筒剛度比β來估算普通樓層對整體的抗側剛度的影響.實際進行方案設計時，簡化模型可僅考慮伸臂梁或桁架剛度，通過β值將核心筒剛度等效提高.即：模型計算時，去掉普通樓層后伸臂結構的頂點位移應與考慮普通樓層剛度影響相等，并將此影響提高的抗側剛度等效附加于核心筒，即β=(EI)eq/EI，在倒三角荷載用下公式可表達如下：

同理可求出在均布荷載及集中荷載下等效核心筒剛度比分別為：

圖12所示為3種荷載模式下等效核心筒剛度比數值.從圖中可看出，隨著各影響參數變化，3 種荷載模式下等效核心筒剛度比數值基本一致，倒三角荷載模式與均布荷載模式變化曲線基本重合，頂部集中荷載作用下等效核心筒剛度比數值與前兩者最大相差1.1%，由此可知，荷載模式對等效核心筒剛度比影響甚微，可忽略.

圖12 荷載模式對等效核心筒剛度比的影響Fig.12 The influence of load mode on equivalentcore tube stiffness ratio

5.2 等效核心筒剛度比擬合公式

為分析各參數變化對等效核心筒剛度比的影響，以倒三角荷載模式為例，選取各參數變化區(qū)間：1 ≤Pa≤50，1 000 ≤Pb≤6 000，0.1 ≤Pc≤5，0.4 ≤ξ≤0.6，0.1 ≤γ≤1，20 ≤n≤60，采用斯皮爾曼等級相關系數ρ表示參數相關性的強弱.斯皮爾曼等級相關系數取正值時，參數和等效核心筒剛度比或伸臂結構抗側剛度成正相關，反之則為負相關，計算公式如下：

式中：Φ=［Pa，Pb，Pc，ξ，γ，n］；j為參數數量；i為各參數的變化數量，計算時分別取參數各變化區(qū)間的10 等分點進行計算，參數變化的組合數量為116.

從圖13 中可知，外框柱剛度比Pc和β或Δ的斯皮爾曼等級相關系數取值分別為0.91、-0.82，Pc和β或Δ的相關性最為顯著，分別成負相關或正相關；普通樓層數n、普通樓層梁剛度比Pb和伸臂剛度比Pa和β或Δ的斯皮爾曼等級相關系數絕對值（|ρ|）取值范圍為0.3～0.4，相關性一般；此外，ξ和γ對等效核心筒剛度比或伸臂結構抗側剛度的影響較小.在各參數取值區(qū)間內，對取值為1.0～1.35 的等效核心筒剛度比和各參數進行多項式非線性最小二乘法的函數擬合，擬合函數詳見公式（25）及表1.

圖13 各參數對β及Δ的相關性圖Fig.13 Correlation of each parameter to β and Δ

表1 公式（25）的各參數數值Tab.1 The parameter values of formula（25）

圖14中橫坐標為文中簡化計算方法計算值，縱坐標為公式（25）計算值，擬合方程決定系數R2接近0.92，均方根誤差（RMSE）約為0.02，公式（25）基本能反映出實際簡化計算方法值.以第3 節(jié)算例為例，公式（25）計算值與采用本文提出方法計算值吻合較好.

圖14 計算值與公式（25）對比圖Fig.14 Comfarison chart between calculated value and formula（25）

從表2可看出，第3節(jié)算例中公式值與計算值吻合較好，誤差率為1.7%，說明公式（25）計算β值準確率較高.

表2 計算值與公式（25）對比表Tab.2 Comparison table between calculated value and formula（25）

6 簡化前后動力特性對比

伸臂結構考慮普通樓層剛度后整體剛度有所增加，故采用未考慮普通樓層簡化模型對其動力特性進行分析時，會低估結構整體剛度，周期增大，地震力減小，偏不安全.但實際方案設計時，僅考慮伸臂結構剛度進行結構分析時能大大減少計算工作量，采用本文所提出的等效核心筒剛度比方法能在簡化計算的同時提高方案設計精度.

文獻［16］給出了帶單道伸臂的框架-核心筒結構的基頻估算公式，但未考慮普通樓層對整體剛度的影響.

式中：EI為核心筒抗彎剛度；m為結構總質量；ω為基頻估算值；H為結構總高度.

根據前文等效核心筒剛度比概念，將提高的抗側剛度等效附加在核心筒上，即用（βEI）替代公式（26）中核心筒抗彎剛度可求出考慮普通樓層后的結構基頻.

以第3 節(jié)算例為例，對比結構動力特性計算結果.由表3 可看出，未考慮普通樓層剛度自振周期明顯偏大，經本文方法修正后，能大大減少僅考慮伸臂層剛度進行動力分析時的誤差.在實際結構方案設計時，經本文等效核心筒剛度修正后，能采用僅考慮伸臂剛度簡化模型進行動力分析.

表3 動力特性對比Tab.3 Comparison of the dynamic properties

7 結論

本文對考慮普通樓層剛度的伸臂結構力學性能進行了研究，并結合工程算例對比分析了有限元模型的靜力、動力計算結果，主要結論如下：

1）針對帶伸臂的框架-核心筒結構提出考慮普通樓層剛度的簡化計算模型，推導出頂點水平位移計算方法，其與有限元計算結果吻合較好，相對未考慮普通樓層剛度情況誤差率減小20%.

2）以簡化模型為基礎提出了等效核心筒剛度比概念，根據參數分析結果擬合出等效核心筒剛度比計算公式，其能較好地估計普通樓層對伸臂結構的剛度貢獻.

3）將等效核心筒剛度比運用于動力分析中能近似估計考慮樓層剛度伸臂結構的基本周期.

4）分析了各參數對結構整體抗側剛度的影響規(guī)律，隨著伸臂與普通樓層剛度比μ增大，即伸臂提供的整體結構抗側剛度占比越大，普通樓層梁對整體剛度的貢獻越小，伸臂結構整體抗側剛度降低；隨著普通樓層數量n增大，伸臂結構抗側剛度提高，當普通樓層梁剛度減小到一定程度時，樓層數量n對整體抗側剛度的影響降低.