基于改進(jìn)粒子群算法的系桿拱橋成橋索力優(yōu)化

楊雅勛，張宇航，柴文浩，吳富勇

(長安大學(xué) 公路學(xué)院 ,陜西 西安 710064)

0 引 言

系桿拱橋是一種基于拱肋、吊桿、系桿的三元結(jié)構(gòu)，其外部靜定內(nèi)部超靜定，具有較大的整體剛度，力學(xué)性能好、施工便捷、造價低等特點(diǎn)被國內(nèi)外廣泛應(yīng)用。系桿拱橋的設(shè)計(jì)過程是以合理成橋狀態(tài)為目標(biāo)，即在恒載作用下系桿、拱肋受力合理、主橋線形平順，這就需要吊桿具有合適的成橋索力。因此，系桿拱橋的優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化成吊桿索力的優(yōu)化問題。

目前系桿拱橋吊桿的索力求解方法主要是沿用了一些斜拉橋上的索力求解方法,Leonhardt率先提出了剛性支承連續(xù)梁法并最早應(yīng)用于美國P-K橋的分析中；肖汝城等[1-2]結(jié)合影響矩陣推導(dǎo)了彎矩最小能量法的公式；梁鵬等[3]提出通過調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度來近似的求解最小彎曲能量法。傳統(tǒng)的調(diào)索方法因受限于各自的局限性而不具有普遍適用性，如剛性支承連續(xù)梁法不能考慮多條件的約束問題，因而用其計(jì)算的索力值往往不合理；彎曲最小能量法在結(jié)合影響矩陣情況下，想要精確求解計(jì)算會十分繁瑣，而采用近似求解方法也需要不斷調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的剛度才能使其達(dá)到預(yù)期結(jié)果。為了避免傳統(tǒng)調(diào)索方法的缺點(diǎn)，且能夠快速有效的求解出索力，出現(xiàn)了將計(jì)算機(jī)智能優(yōu)化算法與索力結(jié)合的方法，陳志軍等[4]、吳霄等[5]分別采用傳統(tǒng)的粒子群和遺傳算法對斜拉橋索力進(jìn)行了優(yōu)化，但傳統(tǒng)的優(yōu)化算法因其自身的局限性導(dǎo)致結(jié)果往往不夠理想。為了使結(jié)果更加準(zhǔn)確，以實(shí)際工程項(xiàng)目為依托，通過對粒子群算法加以改進(jìn)并與影響矩陣相結(jié)合，在同時兼顧計(jì)算效率和多目標(biāo)約束的條件下求解吊桿索力，并與其他多種方法進(jìn)行分析比較，從而驗(yàn)證該方法的可行性。

1 基于改進(jìn)粒子群算法的自動調(diào)索

1.1 理論基礎(chǔ)

粒子群算法最早是由J. KENNEDY等[6]提出的一種基于群鳥覓食的仿生智能算法。其原理是群鳥在覓食的過程中，每只鳥的初始位置和飛行方向都處于隨機(jī)的狀態(tài)，而且不知道最佳的覓食點(diǎn)在何處。鳥群間通過相互學(xué)習(xí)、信息共享，并在每次覓食過程中結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)和種群之間的信息傳遞不斷調(diào)整速度和位置，最終步步逼近食物，示意如圖1。

圖1 粒子尋優(yōu)示意

如果將該方法運(yùn)用到實(shí)際應(yīng)用中，則是把鳥群抽象為m個沒有質(zhì)量和體積的粒子，再將其延伸至N維空間，粒子在N維空間中的位置表示為Xi=(xi1,xi2,…,xij)，速度表示為Vi=(vi1,vi2,…,vij)，且其位置和速度需限制在[Xmin,Xmax]和[Vmin,Vmax]范圍內(nèi)。每個粒子都有一個由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度值fitness，并且知道自己迄今為止發(fā)現(xiàn)的最好位置pt=(pi1,pi2,…,pij)和群體發(fā)現(xiàn)的最好位置gt=(g1,g2,…,gj)。粒子通過追蹤pt和gt來更新自己的速度和位置，且速度和位置更新公式為：

(1)

(2)

式中：i為粒子的個數(shù)，i=1,2,…,m；j為例子的維度，j=1,2,…,N；k為迭代步數(shù)；w為慣性因子；c1、c2為學(xué)習(xí)因子；r1、r2為[0,1]范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)；vmax為用戶自定義常數(shù)，一般取vmax=aXmax；vmin=aXmin，通常a為0.1～0.2。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)下每一個粒子都有一個適應(yīng)度值，它作為每次迭代的臨時儲存變量，并不具有記憶性，優(yōu)化算法可通過粒子每次迭代的適應(yīng)度值來評價結(jié)果的好壞，進(jìn)而不斷的尋優(yōu)最終靠近目標(biāo)。實(shí)踐證明，通過限制拱橋結(jié)構(gòu)的彎曲能量所求解的吊桿索力能使橋梁結(jié)構(gòu)處于一個較好的受力狀態(tài)，因此筆者以吊桿拱橋的彎曲能量為目標(biāo)，并將結(jié)構(gòu)離散化，離散后的彎曲應(yīng)變能公式為：

(3)

式中：U為結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能；b為離散單元的數(shù)量；Li、Ei、Ii、Mi分別為單元的長度、材料的彈性模量、截面慣性矩和彎矩。

為了能夠建立起設(shè)計(jì)變量(拱橋的吊桿索力)與優(yōu)化目標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系，可采用影響矩陣原理作為連接二者的橋梁，進(jìn)而達(dá)到索力優(yōu)化的目的。影響矩陣公式具體表示為：

AY=D

(4)

式中：Y為施調(diào)向量，在中是指吊桿索力組成的列向量；D為受調(diào)向量，是指結(jié)構(gòu)中關(guān)心截面上若干獨(dú)立元素所組成的列向量。這些元素一般是指關(guān)心截面的內(nèi)力、位移，通過將這些元素調(diào)整到期望狀態(tài)來求解施調(diào)向量Y；A為影響矩陣，是指當(dāng)施調(diào)向量的某一向量發(fā)生單位變化時，引起受調(diào)向量D的變化量。

從公式3可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)確定時，其單元及材料的具體特性已經(jīng)確定，因而只能通過改變截面彎矩來調(diào)整應(yīng)變能的大小。因此不妨令受調(diào)向量為截面的彎矩，且調(diào)索前彎矩向量為M0，施調(diào)向量X=[S1,S2,…Sn]T，其中S為吊桿索力，則調(diào)索后的彎矩為：

M=M0+CX

(5)

將式(5)帶入式(3)可得結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)為：

U=M0TBM0+M0TBCX+XTCTBM0+XTCTBCX

(6)

式中：B為系數(shù)矩陣，是對角陣，表示單元柔度對單元彎矩的加權(quán)矩陣，bii=li/2EiIi；C為單位索力引起彎矩變化的影響矩陣。

1.3 約束條件

對于系桿拱橋，其彎矩主要由系梁承受，因此就必需對系梁彎矩加以約束以使其落在允許的范圍內(nèi)。彎矩的約束條件可表示為Mmin≤M≤Mmax。根據(jù)影響矩陣?yán)碚?，在對彎矩進(jìn)行限制的同時也相當(dāng)于對索力進(jìn)行了約束，從而使調(diào)索后的最優(yōu)解具有了合理性。即當(dāng)Mmin≤M≤Mmax時，可得索力約束條件為：

(7)

式中：Si為第i根吊桿的索力；Mjmax、Mjmin、分別為系梁上第j個單元所允許的最大、最小彎矩；M0j為系梁第j個單元初始彎矩。同時為了滿足索力均勻原則，需將相鄰索力的差值限定在可控范圍內(nèi)，另對索力做以下約束：

(8)

式中：Δ為索力均勻度的評價閾值。

1.4 算法改進(jìn)

由于傳統(tǒng)粒子群算法的程序?qū)崿F(xiàn)過程十分簡潔，且需要調(diào)整的參數(shù)較少，因此在隨機(jī)優(yōu)化算法中具有強(qiáng)勁的優(yōu)勢，并被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。但其在求解多維函數(shù)時存在陷入早熟收斂或局部極值的現(xiàn)象。為了提高算法的適應(yīng)范圍，使其結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠，為此我們需要對傳統(tǒng)的算法進(jìn)行改進(jìn)[7-9]。研究結(jié)果表明[10-12]，通過改變慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子可有效提高算法的性能。學(xué)習(xí)因子采用F.VANDENBERGH等[13]的推薦值并精確至小數(shù)點(diǎn)后兩位。對于慣性權(quán)重w，因其較大時，算法的全局搜索能力較強(qiáng)，較小時算法的局部搜索能力較強(qiáng)，因此算法的優(yōu)化問題便轉(zhuǎn)化成一個w值的選取問題，及當(dāng)粒子目標(biāo)值趨于局部最優(yōu)時，需要增大慣性因子，當(dāng)粒子目標(biāo)值比較分散時，則需減小慣性因子。

為了合理的選取w，筆者將權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，通過判斷粒子當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)值U的好壞來自動調(diào)整w。將當(dāng)前所有粒子的最小適應(yīng)值和平均適應(yīng)值表示為Umin、Uavg。將所有小于Uavg的適應(yīng)值取平均所得表示為U′avg。當(dāng)U>Uavg，此時粒子的目標(biāo) 函數(shù)值要比平均目標(biāo)值差，為了使其向較好的搜索區(qū)靠攏，對應(yīng)的慣性因子要較大；當(dāng)U′avg

(9)

式中：wmax、wmin分別為w的最大值和最小值。

1.5 算法性能分析

為了對算法改進(jìn)前后的性能進(jìn)行比較，選取了Rastrigrin標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)對算法性能進(jìn)行分析。Rastrigrin函數(shù)表達(dá)式為：

(10)

該函數(shù)為多峰函數(shù)，可用于測試算法跳出局部最優(yōu)解的能力。其在xi=0時有全局最優(yōu)解f(x)=0。利用改進(jìn)前后的粒子群算法分別對測試函數(shù)進(jìn)行求解，因文中工程實(shí)例中拱橋吊桿為對稱分布，因此函數(shù)維度n取10，改進(jìn)前后算法迭代步數(shù)均取500次。其他具體參數(shù)見表1，m為種群權(quán)數(shù)。圖2、圖3分別為算法改進(jìn)前后10維測試函數(shù)的適應(yīng)度和迭代時間曲線。

表1 粒子群參數(shù)設(shè)置

圖2 10維Rastrigrin函數(shù)適應(yīng)度迭代曲線

由圖2可知，改進(jìn)前的粒子群算法在迭代了300步以后陷入局部解，而改進(jìn)后的粒子群算法能夠跳出局部解從而找到全局最優(yōu)解，且收斂速度更快。由圖3可知，改進(jìn)后較改進(jìn)前迭代時間更短，說明改進(jìn)后粒子的搜索效率得到提高，節(jié)省了算法的運(yùn)行時間。由此可見，經(jīng)過改進(jìn)后的算法在收斂速度、搜索效率和尋找全局最優(yōu)解上有顯著的提升。

圖3 10維Rastrigrin函數(shù)迭代時間曲線

1.6 調(diào)索路線優(yōu)化

將索力調(diào)整和計(jì)算機(jī)智能優(yōu)化算法結(jié)合，并考慮了慣性權(quán)重的實(shí)時變化，使索力調(diào)整過程自動化，從而實(shí)現(xiàn)索力的高效尋優(yōu)。其具體步驟如下：

1)利用有限元軟件建立拱橋模型，并提取相關(guān)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)及影響矩陣作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫；

2)建立目標(biāo)函數(shù)，利用MATLAB軟件編程粒子群算法并搜索在約束范圍內(nèi)的最優(yōu)解，如果滿足停止條件，則輸出當(dāng)前解，否則更新權(quán)重繼續(xù)搜索；

3)將搜索值回代有限元模型，校核結(jié)果的有效性。

優(yōu)化后的調(diào)索路線具體計(jì)算流程如圖4。

圖4 計(jì)算流程

2 工程應(yīng)用

2.1 工程概況

云南省某鋼管混凝土拱橋，主橋總長130 m，計(jì)算跨徑126.28 m，橋梁總寬11.9 m，拱軸線為二次拋物線，矢跨比為1/5，矢高25.256 m。拱肋采用啞鈴型鋼管混凝土，采用Q345q鋼材，內(nèi)充C50微膨脹混凝土。系梁采用箱形斷面，系梁高為240 cm，寬為120 cm，系梁和橫梁為預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)，橋面2%橫坡通過橫梁高度的變化進(jìn)行調(diào)整，吊桿間距為6.30 m，每片拱肋設(shè)吊桿19根，吊桿編號由小里程到大里程依次為1#～19#，如圖5。

圖5 吊桿編號示意

2.2 參數(shù)設(shè)置

系桿拱橋采用有限元軟件Abaqus建模，如圖6。除吊桿采用桁架單元外，其余均采用梁單元。恒載作用下主梁和拱肋的彎矩值M0通過軟件的數(shù)據(jù)提取功能來提取。通過分別改變每根吊桿的初拉力，使其發(fā)生單位1的變化，得到關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的彎矩變化值從而組成影響矩陣。模型的主要材料特性見表2。

圖6 系桿拱有限元模型

表2 材料特性

利用MATLAB工具編寫改進(jìn)前和改進(jìn)后的粒子群算法程序并進(jìn)行迭代求解，改進(jìn)前后除慣性權(quán)重外，其他系數(shù)取值相同。目前w較典型的取值范圍是0.4～0.9，對改進(jìn)前的慣性權(quán)重w恒取0.9，改進(jìn)后慣性權(quán)重系數(shù)按式(9)計(jì)算，學(xué)習(xí)因子c1、c2取1.5，種群規(guī)模取50，索力范圍取[500，1 500]，速度范圍取索力范圍的15%，具體數(shù)據(jù)見表3。由圖7、圖8可以看出，在迭代次數(shù)都為200次的條件下，改進(jìn)后的算法收斂速度得到明顯提高，在收斂精度方面也有一定的改善。

表3 改進(jìn)后粒子群算法參數(shù)

圖7 算法改進(jìn)前后效果對比

圖8 算法改進(jìn)前后索力對比

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

如何控制拱橋的內(nèi)力和線形使其在安全的范圍內(nèi)是施工監(jiān)控過程中的重要環(huán)節(jié)。為了能夠清楚的展示粒子群優(yōu)化算法在實(shí)際工程中的效果，本節(jié)除使用文中提出的改進(jìn)粒子群算法外，另使用近似的彎曲能量法、剛性支承連續(xù)梁法及未知荷載系數(shù)法對索力進(jìn)行求解，4種方法求得的索力見圖9。從圖9中可以看出，利用改進(jìn)后的粒子群算法求得的索力值較其他3種方法更加的均勻適中。

圖9 4種方法索力對比

將4種方法求得的索力再分別帶入有限元模型中，得到各索力下系梁彎矩和豎向位移，如圖10、圖11。從圖10可以看出，用不同方法約束的系梁彎矩在數(shù)值和均勻度上都有較大的差異，其中未知荷載系數(shù)法約束的彎矩上下峰值差距較大，剛性支承連續(xù)梁法約束的彎矩出現(xiàn)驟增現(xiàn)象，這與該方法在吊桿數(shù)量有限情況下，可能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)其余部位出現(xiàn)狀態(tài)異常有關(guān)，而筆者的改進(jìn)粒子群算法和近似最小能量法優(yōu)化后的系梁彎矩都比較均勻，但改進(jìn)粒子群算法得到的結(jié)果比近似最小彎曲能量法得到的結(jié)果在數(shù)值上更小。從圖11可以看出，剛性支承連續(xù)梁法和近似最小彎曲能量法優(yōu)化后的豎向位移較大，改進(jìn)粒子群算法和未知荷載系數(shù)法優(yōu)化后的豎向位移相近，改進(jìn)粒子群算法較未知荷載系數(shù)法優(yōu)化后的豎向位移更加均勻。4種方法對結(jié)構(gòu)具體影響見表4。

圖10 系梁彎矩

圖11 豎向位移

表4 四種優(yōu)化方法對結(jié)構(gòu)的具體影響

3 結(jié) 論

在粒子群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上對其慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)，同時考慮了系桿拱橋在索力優(yōu)化過程中的主要約束條件，提出了一種新的系桿拱橋索力優(yōu)化的方法，并以某系桿拱橋?yàn)楣こ瘫尘斑M(jìn)行應(yīng)用，主要結(jié)論如下：

1)基于粒子群算法的調(diào)索方法可以借助有限元軟件和數(shù)值分析軟件實(shí)現(xiàn)索力的自動化、智能化求解。改進(jìn)后算法的尋優(yōu)能力得到提高，從而避免了繁瑣的試算過程，進(jìn)而可以高效、準(zhǔn)確的求解出索力，極大提高了調(diào)索效率。

2)粒子群算法改進(jìn)后較改進(jìn)前在收斂速度和精度上有一定的改善。

3)4種索力優(yōu)化方法的結(jié)果表明，改進(jìn)后的粒子群算法較其他3種方法能更加全面的考慮影響因素的作用，進(jìn)而規(guī)避不利因素對優(yōu)化結(jié)果的影響，以達(dá)到更好的優(yōu)化效果。

4)提出的方法可進(jìn)一步推廣于各施工階段過程中吊桿初拉力的確定問題。