非線性彈性單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

劉繼華，茍學(xué)中，鄭龍席，高仁衡

(1.中國航發(fā)四川燃氣渦輪研究院，成都 610500；2.西北工業(yè)大學(xué)動力與能源學(xué)院，西安 710072)

1 引言

高轉(zhuǎn)速輕質(zhì)結(jié)構(gòu)是近代高速旋轉(zhuǎn)機械的設(shè)計趨勢，它提高了旋轉(zhuǎn)機械的性能，但也引發(fā)了很多嚴重的問題。尤其是線性理論得出的結(jié)果不僅誤差大，而且無法對實際出現(xiàn)過的自激振動、分岔現(xiàn)象、跳躍現(xiàn)象等做出解釋。動力機械工程中，具有強烈非線性的重要組成部分是油膜軸承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，軸頸轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的油膜壓力是非線性的。Shaw、Cveticanin對具有非線性彈性軸支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了理論和試驗分析，表明此類系統(tǒng)存在混沌運動和振動突變現(xiàn)象。

穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受到微小擾動后保持原狀態(tài)的屬性，對于實際工況中的系統(tǒng)，其性能好壞都以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性問題一直是轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究的重要課題之一，國內(nèi)外許多學(xué)者都在進行這方面的研究工作。劉繼華等基于有限差分法，對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，得出了臨界失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，結(jié)果表明適當增大偏心率能增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。薛禹勝在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中提出的互補群群際能量壁壘準則量化理論，在國內(nèi)外若干電力系統(tǒng)中得到了成功的應(yīng)用。Xue、李銀山等將應(yīng)用于電力系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性量化理論的研究引入到非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。劉繼華等采用基于軌跡的加速度-位移擴展平面穩(wěn)定裕度分析法，得出系統(tǒng)隨偏心量參數(shù)變化的穩(wěn)定裕度變化情況。

判別轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法較多，Poincare 映射圖是判斷穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。軸頸轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的油膜力具有強烈的非線性，是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要原因，這就需要對軸承間隙、潤滑油黏度等影響油膜壓力的因素進行分析。本文基于Capone 短軸承非線性油膜力模型，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行數(shù)值計算，采用Poincare映射方法得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在偏心量、軸承間隙、潤滑油黏度3 個參數(shù)的特征圖，得出失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨上述參數(shù)的變化規(guī)律。

2 數(shù)學(xué)模型

以圖1 所示的單盤對稱轉(zhuǎn)子為研究對象。圖中，兩端支撐為滑動短軸承，為軸瓦幾何中心，為軸頸中心，為轉(zhuǎn)子質(zhì)心。采用目前廣泛應(yīng)用的簡單離散轉(zhuǎn)子模型，將圖1中的轉(zhuǎn)子模型離散為3個質(zhì)點，將軸段處的質(zhì)量分別離散到軸頸和輪盤處，軸頸只考慮1/8 軸長的質(zhì)量，軸只有、方向的平動和轉(zhuǎn)動共4 個自由度，約束軸向的平動和轉(zhuǎn)動自由度。單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散模型如圖2 所示，兩軸段等效為剛度，輪盤處的阻尼為，非線性油膜力分別作用在兩個軸頸處的質(zhì)點上。

圖1 單盤對稱轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型Fig.1 Single disk symmetric rotor model

圖2 單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散模型Fig.2 Discrete model of a single disk rotor system

式中：f、f采用Capone 短軸承非線性油膜力模型，其詳細表達式見文獻[14]；=/()為轉(zhuǎn)子的無量綱重力；=/為無量綱質(zhì)量，m為單盤處集中質(zhì)量。

3 數(shù)值計算分析

式(1)描述了一個非線性動力學(xué)系統(tǒng)的微分耦合方程，可以由數(shù)值計算得出近似解。本文使用MATLAB 編程，由于油膜力和基座支撐力的強非線性作用，采用Rung-Kutta法求解。選用的時間步長為2π/100，誤差小于10，計算1 500 周期；為消除初值對瞬態(tài)響應(yīng)的影響，去除系統(tǒng)前1 000周期響應(yīng)數(shù)據(jù)。在進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，轉(zhuǎn)子模型參數(shù)選取為：=420 kg，=50 kg，=28.5 mm，=0.2 mm，=57 mm，=0.018 Pa·s，=2.105×10，=3 000 N·s/m。

3.1 偏心量對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為研究轉(zhuǎn)軸和葉輪加工及安裝過程中的殘余偏心量對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，首先需在固定偏心量(=0.20)下分析不同轉(zhuǎn)速(=300，430，500，650 rad/s)時的動態(tài)響應(yīng)；然后得出固定偏心量(=0.20)的全局(=300～800 rad/s)分岔圖，尋找其分岔點；最后得出偏心量(=0.10～0.40)-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集。

由于系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速時均表現(xiàn)為工頻周期運動，本文只考慮轉(zhuǎn)速在300 rad/s及以上的運動。圖3為系統(tǒng)=0.20、=300 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖，可見系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運動。圖4 為系統(tǒng)=0.20、=430 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖。可以看出，軸心軌跡為幾個相交的曲線，在Poincare 圖上表現(xiàn)為4 個離散的點；在頻譜圖上除工頻外，還出現(xiàn)了1/4、1/2、3/4 倍頻率，由此可以得出系統(tǒng)表現(xiàn)為4倍周期運動。這說明油膜失穩(wěn)后，除了出現(xiàn)常見的半速渦動，還有渦動頻率為1/(=4，6，8…)的高階次諧波分量。圖5 為系統(tǒng)=0.20、=500 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖。可以看出，軸心軌跡為不相交的內(nèi)凹封閉曲線，在Poincare 圖上表現(xiàn)為2 個離散的點；在頻譜圖上出現(xiàn)了1 個基頻和1個半頻，且半頻幅值比基頻幅值大；在時間歷程圖上表現(xiàn)為較規(guī)則的周期運動，出現(xiàn)了2個波峰，說明系統(tǒng)表現(xiàn)為倍周期運動。圖6 為系統(tǒng)=0.20、=650 rad/s 時的動態(tài)響應(yīng)圖?？梢?，軸心軌跡表現(xiàn)為幾個相交的環(huán)形曲線，在Poincare 圖上表現(xiàn)為一些離散的點，但這些點并沒有形成一定的環(huán)形狀；在頻譜圖上出現(xiàn)了幾個可以約分的頻率，說明系統(tǒng)此時不是概周期運動，而是多倍周期運動。

圖3 無量綱偏心量為0.20且轉(zhuǎn)速為300 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.3 Dynamic response diagram(ρ=0.20,w=300 rad/s)

圖4 無量綱偏心量為0.20且轉(zhuǎn)速為430 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.4 Dynamic response diagram(ρ=0.20,w=430 rad/s)

圖5 無量綱偏心量為0.20且轉(zhuǎn)速為500 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.5 Dynamic response diagram(ρ=0.20,w=500 rad/s)

圖6 無量綱偏心量為0.20且轉(zhuǎn)速為650 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.6 Dynamic response diagram(ρ=0.20,w=650 rad/s)

采用Poincare映射方法得出系統(tǒng)=0.20時的全局分岔圖，如圖7所示?？煽闯觯D(zhuǎn)速小于等于380 rad/s時，系統(tǒng)都表現(xiàn)為周期運動；轉(zhuǎn)速大于380 rad/s 時，系統(tǒng)的同頻周期運動發(fā)生分岔而失穩(wěn)，系統(tǒng)表現(xiàn)為倍周期運動或多倍周期運動。

圖7 無量綱偏心量為0.20時的全局分岔圖Fig.7 Global bifurcation diagram(ρ=0.20)

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同偏心量時將出現(xiàn)不同的失穩(wěn)特性，因此有必要研究偏心量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖8 為轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在偏心量-轉(zhuǎn)速參數(shù)域內(nèi)的分岔集。可以看出，無量綱偏心量小于0.25時，隨著偏心量增大，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速不斷降低，無量綱偏心量大于0.25時，隨著偏心量增大，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速又逐漸升高，系統(tǒng)存在著最低分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。此轉(zhuǎn)速不僅和無量綱偏心量有關(guān)，而且還和其他因素有關(guān)系，系統(tǒng)運行時要特別注意避開。偏心量較小或較大都會增大系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但較大的不平衡力會引起轉(zhuǎn)子軸承受力增大，出現(xiàn)多倍周期運動以及有可能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。所以為了系統(tǒng)安全運行，必須要對轉(zhuǎn)子進行較高精度的動平衡。本系統(tǒng)平衡后的無量綱偏心量至少要小于0.25。

圖8 轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在偏心量-轉(zhuǎn)速參數(shù)域內(nèi)的分岔集Fig.8 Bifurcation set of rotor bearing system with the parameter domain of eccentricity and speed

3.2 潤滑油動力黏度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

按照3.1節(jié)分析方法，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無量綱偏心量分別為0.10、0.20、0.30、0.40時的不同潤滑動力黏度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響進行研究。圖9示出了轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)油膜黏度-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集?？梢姡湍ゐざ仍?.015～0.050 Pa·s 區(qū)間，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速都是隨著油膜黏度的增加而增加。因此，為了提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和安全性，滑動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行時，應(yīng)選擇黏度較大的潤滑油。圖10 為國內(nèi)航空發(fā)動機常用的某潤滑油的黏度-溫度曲線?？煽闯觯S著溫度降低，潤滑油黏度增大。為提高失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，需要對潤滑油進行冷卻，降低其溫度；但潤滑油黏度增大又會增加發(fā)動機阻力，導(dǎo)致發(fā)動機加速時間增大。因此，潤滑油黏度需要綜合考慮失穩(wěn)轉(zhuǎn)速和發(fā)動機加速性。

圖9 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)油膜黏度-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集Fig.9 Bifurcation set of oil film viscosity-speed parameter domain of rotor system

圖10 某潤滑油的動力黏度-溫度曲線Fig.10 Dynamic viscosity and temperature curve of a lubricating oil

表1給出了采用一次函數(shù)直線擬合得出的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速與潤滑油黏度的關(guān)系?？梢钥闯觯S著無量綱偏心量的增加，分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨潤滑油黏度的增加趨勢是先逐漸增大后逐漸減小。從圖9可以看出，雖然無量綱偏心量為0.10 時隨潤滑油黏度的增長趨勢較小，但分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速始終大于其他無量綱偏心量的。這再次說明，系統(tǒng)運行時，為了增加穩(wěn)定性，應(yīng)該對其進行較高精度的動平衡。比較無量綱偏心量為0.30 和0.40 時的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，黏度較小時無量綱偏心量0.30時的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速大于無量綱偏心量0.40 的，但隨著黏度的增大，無量綱偏心量0.30 的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，逐漸小于無量綱偏心量0.40的。這說明系統(tǒng)的最低失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨黏度變化。

表1 分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速與潤滑油黏度的關(guān)系Table1 The variation trend of bifurcation instability speed with the viscosity of lubricating oil

3.3 軸承間隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

軸承結(jié)構(gòu)直接影響著軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，軸承間隙是其中一個重要的參數(shù)。為研究軸承間隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，首先需在固定偏心量(=0.02 mm)和軸承間隙(=0.25 mm)下，分析不同轉(zhuǎn)速的動態(tài)響應(yīng)；然后得出固定軸承間隙(=0.25 mm)的全局(=300～800 rad/s)分岔圖，尋找其分岔點；最后得出軸承間隙(=0.20～0.30 mm)-轉(zhuǎn)速參數(shù)域分岔集。

圖11為=660 rad/s時的系統(tǒng)響應(yīng)圖?？梢?，軸心軌跡為3個圓環(huán)，在Poincare圖上出現(xiàn)了3個離散點；在頻譜圖上除工頻外，還出現(xiàn)了1/3、2/3倍頻，說明此時為3倍周期運動。顯然，周期3不可能來自倍周期分岔，混沌學(xué)指出，周期3 意味著混沌，這種混沌叫做間隙混沌(陣發(fā)混沌)。

圖11 軸承間隙為0.25 mm且轉(zhuǎn)速為660 rad/s時的動態(tài)響應(yīng)圖Fig.11 Dynamic response diagram(c=0.25 mm,w=660 rad/s)

采用Poincare映射方法得出系統(tǒng)在軸承間隙為0.25 mm 時的全局分岔圖，見圖12。根據(jù)圖12 以及上述分析可以得出，在轉(zhuǎn)速低于380 rad/s時，系統(tǒng)表現(xiàn)為工頻周期運動；轉(zhuǎn)速超過380 rad/s時，系統(tǒng)的同頻周期運動發(fā)生分岔而失穩(wěn)；轉(zhuǎn)速在380～490 rad/s區(qū)間時，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為倍周期運動；轉(zhuǎn)速在490～540 rad/s區(qū)間時，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為周期運動；轉(zhuǎn)速在540～650 rad/s 區(qū)間時，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為概周期運動；轉(zhuǎn)速在650～670 rad/s 區(qū)間時，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為3 倍周期運動；轉(zhuǎn)速在670～800 rad/s 區(qū)間時，系統(tǒng)相應(yīng)表現(xiàn)為從概周期運動逐漸變成周期運動。

圖12 軸承間隙為0.25 mm時的全局分岔圖Fig.12 Global bifurcation diagram(c=0.25 mm)

圖13給出了軸承間隙從0.20 mm增加至0.30 mm時，轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在軸承間隙-轉(zhuǎn)速參數(shù)域內(nèi)的分岔集。可以看出，隨著軸承間隙的增大，系統(tǒng)表現(xiàn)為倍周期分岔，分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速不斷降低。因此，在此類轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)設(shè)計中，應(yīng)該選擇較小的軸承間隙。

圖13 轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在軸承間隙-轉(zhuǎn)速參數(shù)域內(nèi)的分岔集Fig.13 Bifurcation set of bearing clearance-speed in the parameter domain of rotor system

4 結(jié)論

采用Poincare 映射方法得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔圖、軸心軌跡圖、Poincare圖、時間歷程圖和頻譜圖，從而得出分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心量、軸承間隙、潤滑油黏度3 個參數(shù)的變化規(guī)律。隨著偏心量的增大，分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速先減小后增大，存在最低分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速；隨著潤滑油黏度的增大，系統(tǒng)的分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速越來越高，穩(wěn)定性越來越好；隨著軸承間隙的增大，分岔失穩(wěn)轉(zhuǎn)速越來越低?；瑒虞S承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計和運行時，應(yīng)盡可能選擇較小的軸承間隙和較大的潤滑油黏度，并進行較高精度的動平衡，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性。