關(guān)于射線是“無(wú)限長(zhǎng)的”的教學(xué)思考

江蘇灌云縣伊山中心小學(xué)新村校區(qū)（222200） 張義蘭

射線和直線是蘇教版教材第七冊(cè)的內(nèi)容，常規(guī)的教學(xué)如下所示：

（1）教師利用動(dòng)畫(huà)演示“激光燈的強(qiáng)烈光線射向墻壁，起點(diǎn)和終點(diǎn)一目了然，周遭一片漆黑”，帶領(lǐng)學(xué)生回顧學(xué)過(guò)的線段，強(qiáng)調(diào)線段有長(zhǎng)度。

（2）教師利用動(dòng)畫(huà)演示“撤去墻壁，激光燈的光線射向無(wú)盡的夜空”，學(xué)生描述此時(shí)的光線，教師揭示射線概念“激光燈的燈泡可以視為一個(gè)端點(diǎn)，從這里發(fā)射的光線向一個(gè)方向無(wú)限延伸，具備這樣特性的線條可以看作數(shù)學(xué)上的射線”。

（3）教師教授射線的畫(huà)法，指出其無(wú)限延長(zhǎng)的特性，讓學(xué)生舉例。學(xué)生舉出“槍膛里發(fā)射出去的子彈”一例，教師感到驚訝，并解釋道：“子彈最終會(huì)下落，子彈的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條弧線。”

（4）教師繼續(xù)利用動(dòng)畫(huà)演示“把兩個(gè)激光燈尾部對(duì)接，同時(shí)開(kāi)燈，兩條光線重合，形成一條完整的光線（如圖1）。當(dāng)教師準(zhǔn)備以此生成直線，并提到直線無(wú)端點(diǎn)時(shí)，一位學(xué)生當(dāng)場(chǎng)反駁道：“明顯有一個(gè)端點(diǎn)呀?！?/p>

圖1

（5）教師分析線段、射線、直線之間的相互關(guān)系，指出：“可以從直線里截取線段和射線，線段和射線都是直線的一部分。”

（6）練習(xí)環(huán)節(jié)。對(duì)于“判斷題：王師傅在工程圖紙上畫(huà)出一條10厘米長(zhǎng)的射線”，學(xué)生判斷其為錯(cuò)。對(duì)于“過(guò)一點(diǎn)和兩點(diǎn)分別可以畫(huà)出幾條直線？”，學(xué)生表示“可以畫(huà)出很多條直線”。最后，教師出示權(quán)威答案。

一、探尋緣由

課后，筆者訪談了提出“槍膛里發(fā)射出去的子彈”的學(xué)生。該生對(duì)教師在課堂上的解釋不以為然，繼續(xù)申辯：“槍膛里射出的子彈會(huì)落地，燈光也會(huì)暗淡消失?！惫P者接著訪談提出“過(guò)兩點(diǎn)可以畫(huà)出很多條直線”的學(xué)生，他給出的解釋是：“如果圓點(diǎn)很大，線條很細(xì)，就存在多條直線的情況。”最后，筆者又現(xiàn)場(chǎng)出題測(cè)試學(xué)生：“射線與直線，你認(rèn)為誰(shuí)的長(zhǎng)度更長(zhǎng)？”僅有2個(gè)學(xué)生回答正確，其余學(xué)生均認(rèn)為直線長(zhǎng)，理論依據(jù)是“射線是從直線中截取得到的”。

筆者詢(xún)問(wèn)授課教師“射線是否是直線的一部分”，授課教師思量許久，支支吾吾地說(shuō)：“許多資料好像都是這么說(shuō)的，雖然沒(méi)有明證，您現(xiàn)在這么一問(wèn)，我似乎又覺(jué)得哪里不對(duì)勁?！惫P者窮追不舍，授課教師開(kāi)始醒悟：既然直線和射線都是無(wú)限延長(zhǎng)的，那就沒(méi)有長(zhǎng)度，既然沒(méi)有長(zhǎng)度地就無(wú)法比較……

二、理論根源

點(diǎn)、直線是原始概念，類(lèi)似于公理，無(wú)法用語(yǔ)言定義。在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)線段、射線、直線都是憑直觀感覺(jué)來(lái)認(rèn)知的。如某版本教材中，將線段描述為“連接兩點(diǎn)的所有幾何線條中，只有線段最短”，然后指出圖中什么是線段。射線既可以通過(guò)延長(zhǎng)線段得到，也可以將直線從任意一點(diǎn)處切斷得到。雖然線段、射線、直線三者可以互相轉(zhuǎn)化，但是都是抽象的直觀感知，彼此之間并沒(méi)有概念上的包含關(guān)系和從屬關(guān)系。國(guó)外的文獻(xiàn)資料中，是先定義直線，再用直線定義線段；國(guó)內(nèi)的教材通常是先教學(xué)線段，再引申出射線和直線兩個(gè)概念，那是為了從直觀上便于理解，學(xué)生也容易對(duì)照類(lèi)比生活實(shí)例。

上述教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生提出的“槍膛里發(fā)射出去的子彈”，教師解釋“子彈最終會(huì)下落，子彈的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條弧線”，這種理由很牽強(qiáng)，很難令人信服。因?yàn)閿?shù)學(xué)中的直線和射線在現(xiàn)實(shí)中找不到原型，只能從理論上假想推測(cè)，勉強(qiáng)將激光燈的光線看作射線。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這些射線也有終點(diǎn)，起碼在宏觀宇宙中是這樣的。數(shù)學(xué)源于生活但又高于生活，數(shù)學(xué)中的射線和生活中的“X射線”是兩個(gè)概念，數(shù)學(xué)中的直線也并不是日常用語(yǔ)中的“平直的線條”。因此教師用“槍膛里射出的子彈最終會(huì)下落”來(lái)否定學(xué)生的舉例，極不嚴(yán)謹(jǐn)。

在練習(xí)中，學(xué)生誤認(rèn)為過(guò)兩點(diǎn)可以畫(huà)多條直線，原因是未能分辨數(shù)學(xué)與生活的區(qū)別。數(shù)學(xué)中，點(diǎn)是一個(gè)位置坐標(biāo)，沒(méi)有粗細(xì)大小，而生活中的點(diǎn)卻有。許多教師沒(méi)有這個(gè)意識(shí)，為了醒目，將點(diǎn)畫(huà)得很大，線畫(huà)得很粗，因此給學(xué)生造成錯(cuò)覺(jué)。由此得到的啟示是，教學(xué)時(shí)所選擇的生活原型要慎重且恰當(dāng)。另外，即便出現(xiàn)了射燈那么粗的光線，教師也應(yīng)該將其抽象成數(shù)學(xué)線條。

對(duì)此，教師可以通過(guò)以下方法去澄清學(xué)生的誤解：在三角形ABC中（如圖2），線段BC比線段DE長(zhǎng)，如果點(diǎn)有大小，那么線段BC上的點(diǎn)就要多于線段DE上的點(diǎn)，然而，將A點(diǎn)與BC邊上的任意一點(diǎn)連接，都會(huì)與DE形成一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)與連接點(diǎn)嚴(yán)格一一對(duì)應(yīng)，例如G點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F點(diǎn)，I點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是H點(diǎn)。

圖2

這樣就可以成功地證明點(diǎn)沒(méi)有大小之分，線沒(méi)有粗細(xì)之分。如果說(shuō)在小學(xué)階段無(wú)須較真“點(diǎn)沒(méi)有大小之分”和“線沒(méi)有粗細(xì)之分”，那么對(duì)“線的無(wú)限長(zhǎng)”這個(gè)抽象概念，則避無(wú)可避。從錯(cuò)誤觀點(diǎn)“直線比射線長(zhǎng)”中可以看出，學(xué)生對(duì)“無(wú)限長(zhǎng)”的概念理解很模糊。當(dāng)然，這也可能是教師的誤導(dǎo)造成的，教師在溝通線段、直線、射線之間的關(guān)系時(shí)，采用的就是截點(diǎn)法，給出“射線是直線的一部分”的表述。這一表述，很容易使學(xué)生產(chǎn)生誤解——射線比直線短。另外，直線是向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，而射線則是只能朝著一個(gè)方向延伸，這也間接加劇了這種誤解。

其實(shí)，對(duì)于無(wú)限量的比較，要徹底克服“部分小于整體”這種思維定式的負(fù)遷移，從另一種理論來(lái)分析無(wú)限量：從集合論出發(fā)，直線和射線都是點(diǎn)集，射線點(diǎn)集都包含于直線點(diǎn)集中，因此可以說(shuō)，射線點(diǎn)集是直線點(diǎn)集的真子集。因此，“射線是直線的一部分”的說(shuō)法是符合邏輯的。類(lèi)似的“奇數(shù)是自然數(shù)的一部分”的說(shuō)法成立，但是“自然數(shù)個(gè)數(shù)比奇數(shù)個(gè)數(shù)多”的說(shuō)法就站不住腳，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量都是無(wú)限增長(zhǎng)的。另外，前面提到的三角形ABC，盡管看上去線段BC比線段DE要長(zhǎng)一些，但兩條線段上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

三、改進(jìn)教學(xué)

如何說(shuō)清射線和直線的無(wú)限性呢？最好的做法是想象——“這條直直的線，無(wú)限延伸，穿過(guò)了黑板，穿過(guò)了教室，穿過(guò)了城市，穿過(guò)了中國(guó)，穿過(guò)了亞洲，穿過(guò)了地球，穿過(guò)了太陽(yáng)系……宇宙無(wú)限，它就無(wú)限……”，學(xué)生在這樣的情境中就能慢慢感受“無(wú)限”。

小學(xué)生對(duì)“無(wú)限”很難建立理性的認(rèn)知，只能通過(guò)想象完成。其實(shí)，這種想象是可以直觀化的。首先，教師可以利用線段來(lái)介紹點(diǎn)集的存在：出示兩個(gè)孤立的定點(diǎn)。接著，教師動(dòng)畫(huà)演示續(xù)接成線，為了表示出起始位置，一般著重加粗標(biāo)明端點(diǎn)，借此刷新線段原有的概念。這就是告訴學(xué)生，正是因?yàn)榫€段有首尾端點(diǎn)，所以才有長(zhǎng)度。然后，教師利用動(dòng)畫(huà)演示一個(gè)端點(diǎn)不斷延伸，這樣，端點(diǎn)位置的標(biāo)記意義就會(huì)凸顯出來(lái)。有了前面的鋪墊，教師就可以對(duì)線段加工，演示射線和直線的生成：從一點(diǎn)出發(fā)，向一個(gè)方向延伸，到某處終結(jié)，形成線段；按照這種操作，如果一直移動(dòng)，永無(wú)止境，就形成射線。最后，教師讓學(xué)生嘗試畫(huà)出這種運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣學(xué)生就會(huì)設(shè)法表示這種沒(méi)有終點(diǎn)、無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)，可能會(huì)出現(xiàn)以下表達(dá)方式（如圖3）：

圖3

當(dāng)然，學(xué)生也可能受到端點(diǎn)確定邊界的啟示，用不標(biāo)記端點(diǎn)來(lái)表示無(wú)限延長(zhǎng)。為了強(qiáng)化無(wú)限的概念，教師不妨畫(huà)出“長(zhǎng)短”各異的多條射線，讓學(xué)生在分辨中意識(shí)到，射線的無(wú)限長(zhǎng)不受實(shí)際畫(huà)圖時(shí)的“人定長(zhǎng)短”限制。

由光線引入直線學(xué)習(xí)，能讓數(shù)學(xué)更貼近生活，而由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和點(diǎn)集引入，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理論性和嚴(yán)謹(jǐn)性，可以有效規(guī)避光線粗細(xì)、被阻斷等不利因素的干擾。實(shí)際教學(xué)時(shí)，兩種方法可以互為補(bǔ)充。線段、射線、直線之間沒(méi)有概念的從屬關(guān)系，各自獨(dú)立，采用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡演示，三者之間能順理成章地建立起聯(lián)系。如果把射線看成是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后沒(méi)有盡頭的軌跡，那么“槍膛里發(fā)射的子彈”所形成的軌跡就要比光線更符合射線的特質(zhì)?？梢?jiàn)，“槍膛里發(fā)射的子彈”是一個(gè)很好的例子。一旦射線的無(wú)限性闡釋清楚，直線的無(wú)限性就會(huì)水到渠成：第一種辦法，讓線段的兩個(gè)端點(diǎn)永不停息地背向而行；第二種辦法，讓射線的一個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來(lái)，向反方向永不停息地運(yùn)動(dòng)。為了讓學(xué)生對(duì)線段、射線、直線形成系統(tǒng)、完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知，教學(xué)中教師可以將這兩種辦法應(yīng)用到導(dǎo)入環(huán)節(jié)或鞏固環(huán)節(jié)。

四、優(yōu)化訓(xùn)練

眾所周知，任何一項(xiàng)學(xué)習(xí)都需要有訓(xùn)練的環(huán)節(jié)，這樣的學(xué)習(xí)才完整。在射線和直線的教學(xué)中，教師要圍繞教學(xué)主旨，結(jié)合該部分知識(shí)的“前世今生”，設(shè)計(jì)一些有趣味性且富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生對(duì)射線、直線知識(shí)的理解。

1.關(guān)注基礎(chǔ)夯實(shí)，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

培育學(xué)生的學(xué)習(xí)技能，構(gòu)筑對(duì)應(yīng)的知識(shí)體系，不是靠40分鐘就能一步到位的，也不是依托題海戰(zhàn)術(shù)就能奏效的，夯實(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)才是重中之重。因此，在訓(xùn)練的第一部分，教師就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的基礎(chǔ)性練習(xí)，通過(guò)練習(xí)理解“射線是無(wú)限長(zhǎng)”的本質(zhì)。

比如，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)一些射線，并組織他們進(jìn)行討論交流?！澳阏J(rèn)為自己畫(huà)得對(duì)嗎？”教師的追問(wèn)能讓學(xué)生更好地回憶起課堂中學(xué)到的概念，他們就會(huì)解釋?zhuān)骸拔蚁犬?huà)出一個(gè)端點(diǎn)，再沿著直尺的邊向一邊無(wú)限畫(huà)下去，這就是射線。因?yàn)樗挥幸粋€(gè)端點(diǎn)，而且是直線的一部分，所以它是沒(méi)有終點(diǎn)的?！币灿袑W(xué)生提出：“可以先畫(huà)出一條線段，再把它向一方無(wú)限地延伸下去，這樣也能得到一條射線。”

2.重視理解跟進(jìn)，設(shè)計(jì)變式練習(xí)

經(jīng)驗(yàn)和思維的強(qiáng)化都需要一個(gè)曲折且漫長(zhǎng)的歷程。這時(shí)，教師就要利用恰當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練來(lái)優(yōu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生理解概念。因此，教師要設(shè)計(jì)相應(yīng)的變式訓(xùn)練來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)射線無(wú)限長(zhǎng)認(rèn)識(shí)的升華。

比如，設(shè)計(jì)判斷題：（1）小明畫(huà)出了一條50米長(zhǎng)的射線；（2）小東認(rèn)為，射線只有一個(gè)端點(diǎn)，直線沒(méi)有端點(diǎn)，所以直線要比射線長(zhǎng)一些。通過(guò)這樣的習(xí)題訓(xùn)練，學(xué)生意識(shí)到同伴學(xué)習(xí)的狀態(tài)，進(jìn)而興趣滿(mǎn)滿(mǎn)地參與到問(wèn)題的辨析之中。其間，有學(xué)生提出：“前面已經(jīng)知道射線是需要沿著直尺的邊無(wú)限地延長(zhǎng)下去的，所以50米這個(gè)長(zhǎng)度的射線是錯(cuò)誤的?！庇袑W(xué)生認(rèn)為：“射線是由線段向一端無(wú)限延長(zhǎng)，既然是無(wú)限的，這不就和直線的特性一致嗎？它們都是無(wú)限的，又怎能說(shuō)誰(shuí)長(zhǎng)誰(shuí)短呢？”

又如，引導(dǎo)學(xué)生用兒歌的方式記憶和領(lǐng)悟射線、直線和線段的特點(diǎn)，使得學(xué)生用好玩、有趣的方法記憶這些知識(shí)要點(diǎn)，建構(gòu)相應(yīng)的認(rèn)知體系。像猜謎語(yǔ)的方式就可以讓學(xué)生在思考中感悟射線、直線、線段：有始有終——（），有始無(wú)終——（），無(wú)始無(wú)終——（ ）。

綜上，對(duì)于文章開(kāi)頭的教學(xué)中，在從激光燈引出直線時(shí)，學(xué)生認(rèn)為激光燈的燈泡本身就是一個(gè)“端點(diǎn)”，這是受前面線段和射線端點(diǎn)的影響，學(xué)生無(wú)法辨別端點(diǎn)究竟是不是點(diǎn)。而點(diǎn)動(dòng)成線的直線形成方式就能將端點(diǎn)歸納為動(dòng)點(diǎn)的起始位置。因此，對(duì)“線段和射線是直線的一部分”的這種誤解，教師不妨用“射線與直線，哪個(gè)長(zhǎng)度長(zhǎng)”這一問(wèn)題來(lái)代替“王師傅在工程圖紙上畫(huà)出一條10厘米長(zhǎng)的射線”這樣的判斷題，這樣就能第一時(shí)間將“無(wú)限”的概念準(zhǔn)確地傳達(dá)下去。