雙零階貝塞爾波束的傳播及對(duì)單軸各向異性球的散射特性*

李順 李正軍? 屈檀 李海英 吳振森

1) (西安電子科技大學(xué)物理學(xué)院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學(xué),信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

3) (西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,西安 710071)

基于廣義洛倫茲Mie 理論,研究了單軸各向異性球形粒子對(duì)兩束具有任意傳播和極化方向的零階貝塞爾波束的傳播和散射特性,并與單零階貝賽爾波束入射單軸各向異性球形粒子時(shí)的傳播和散射特性進(jìn)行了對(duì)比研究.利用球矢量波函數(shù)的正交關(guān)系及坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)定理,導(dǎo)出了任意傳播和極化方向零階貝塞爾波束的球矢量波函數(shù)的展開形式,通過矢量疊加得到了總?cè)肷鋱?chǎng)的展開系數(shù).基于傅里葉變換方法和切向連續(xù)的邊界條件,得到了單軸各向異性球內(nèi)部電磁場(chǎng)的球矢量波函數(shù)展開式,并導(dǎo)出了散射系數(shù)解析表達(dá)式.將零階貝塞爾波束退化成平面波,通過將其入射到單軸各向異性球形粒子的雷達(dá)散射截面角分布與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文理論及程序的正確性.數(shù)值分析了入射角、錐角及極化角等參數(shù)對(duì)雷達(dá)散射截面角分布的影響.本文理論和數(shù)值結(jié)果希望能應(yīng)用于多波束入射下各向異性粒子、生物細(xì)胞等復(fù)雜粒子體系的散射、粒徑分析以及光學(xué)俘獲等特性的研究中.

1 引言

自從Durnin[1]提出貝塞爾波束以來,由于其非衍射和自重構(gòu)特性,受到越來越多的關(guān)注,并廣泛應(yīng)用于不同的領(lǐng)域,如光捕獲和操作、粒徑分析、光導(dǎo)和對(duì)準(zhǔn)等[2-5].作為激光束,許多學(xué)者對(duì)貝塞爾波束在球面和柱面坐標(biāo)系中的輪廓和描述進(jìn)行了深入研究[6-11].基于該描述,許多學(xué)者進(jìn)一步研究了球形粒子對(duì)貝塞爾波束的散射問題.Marson[12]使用平面波分解方法研究了球體對(duì)零階貝塞爾的散射特性,Ma 和Li[13]研究了球形粒子對(duì)非偏振貝塞爾波束的散射.入射貝塞爾波束被認(rèn)為是Cimár等[8]提出的平面波的疊加,并在球面矢量波函數(shù)方面進(jìn)行了展開,實(shí)際上它是軸棱鏡生成的貝塞爾波束.基于廣義洛倫茲Mie 理論[14],Li 等[15]研究了由棱鏡生成的貝塞爾波束照射的球形粒子的散射.用積分局域近似法(integral local approximation,ILA),Ambrosio 和Herández-Figueroa[10]給出了零階貝塞爾波束的球矢量波函數(shù)展開系數(shù).然而,貝塞爾波束由標(biāo)量波理論描述,只有當(dāng)圓錐角比較小時(shí)才能提供令人滿意的結(jié)果.Mishra[11]則利用矢量波理論來描述任意圓錐角的貝塞爾波束,得到了比較滿意無衍射特性的貝塞爾波束.使用這種矢量描述,Mitri[16]研究了各向同性球形粒子對(duì)零階貝塞爾波束的散射特性.利用數(shù)值方法,Cui 等[17]研究了任意形狀的均勻介電粒子對(duì)零階貝塞爾波束的散射特性.Klimov[18]導(dǎo)出了零階貝塞爾波束在球體上散射的解析解,Wang 等[19]研究了零階貝塞爾波束激發(fā)的受激拉曼散射顯微成像用于散射組織中深層目標(biāo)的成像.但是上述研究主要針對(duì)簡單的各向同向粒子的散射問題,關(guān)于各向異性粒子對(duì)零階貝塞爾波束散射特性的研究還比較少.

近年來,各向異性介質(zhì)的散射特性因其在光信號(hào)處理、雷達(dá)散射截面(radar cross section,RCS)控制和微波器件制造等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛而備受關(guān)注.Stout 等[20]使用微分理論給出了由任意各向異性介質(zhì)構(gòu)成的任意形狀物體的散射解.Wong等[21]和Qiu 等[22]研究了單軸各向異性(uniaxial anisotropy,UA)球形粒子對(duì)平面波的散射特性.通過引入傅里葉變換的方法,Geng 等[23]利用解析方法研究了UA 球形粒子對(duì)平面波的散射特性,Wang 等[24]研究了旋轉(zhuǎn)各向異性介質(zhì)球?qū)﹄x軸高斯波束的散射特性.近十年,Yuan 等[25,26]深入研究了在軸、離軸和任意入射高斯波束照射下UA 球體的散射特性.Wang 等[27]基于T矩陣方法研究了UA 介質(zhì)球?qū)Ω咚共ㄊ纳⑸涮匦?并與解析方法進(jìn)行了比較驗(yàn)證.Qu 等[28]研究了UA 球體對(duì)離軸零階貝塞爾波束的散射特性.

然而這些研究中,入射波僅限于平面波或單個(gè)貝塞爾波束,其中各向異性球體對(duì)雙零階貝塞爾波束散射特性的研究還是非常少的.特別地,由于主光軸的存在,零階貝塞爾波束離軸斜入射到UA 粒子上時(shí),其散射特性與在軸和離軸入射情況下UA粒子的散射特性有很大不同.并且,與單波束光勢(shì)阱相比,雙波束光勢(shì)阱或駐波光勢(shì)阱用于非常小的同位素球形粒子及非各向同性粒子的光學(xué)捕獲更加具有優(yōu)勢(shì)[29].這就要求對(duì)于非各向同性球形粒子對(duì)雙聚焦波束的散射理論及特性問題要研究透徹.基于此,本文主要研究了UA 球形粒子對(duì)于雙任意方向入射零階貝塞爾波束的散射問題,并詳細(xì)討論了雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布及作用于UA 球形粒子RCS 角分布的情況.值得注意的是,本文的研究與廣義洛倫茲Mie 理論不同的地方主要有兩點(diǎn): 一是入射波束從高斯波束入射擴(kuò)展到任意方向傳播雙零階貝塞爾波束入射,其球矢量波函數(shù)的展開利用了坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)定理,展開系數(shù)是通過積分方法及矢量加法定理得到的;二是內(nèi)場(chǎng)的展開要比各向同性球形粒子要復(fù)雜得多,基于傅里葉變換方法根據(jù)球矢量波函數(shù)L,M和N的正交完備性進(jìn)行展開.因而,UA 球體對(duì)于雙任意方向入射零階貝塞爾波束散射問題的研究是廣義洛倫茲Mie 理論的深入的擴(kuò)展.

2 散射理論

2.1 零階貝塞爾波束的描述

作為一種典型的有形波束,零階貝塞爾波束的標(biāo)量形式可以看作是標(biāo)量波動(dòng)方程的一類精確解.假設(shè)時(shí)諧因子為 e-iωt(ω為角頻率),零階貝塞爾波束電場(chǎng)在波束坐標(biāo)系Oxyz中可表示為[1]

其中E0為歸一化振幅,J0(·) 為零階柱階貝塞爾函數(shù),參數(shù)R=以及?=tan-1(y/x) 分別為橫向面平面 (x,y)上的半徑和方位角,kR=k0sinC0和kz=k0cosC0分別為波矢k的橫向分量和縱向分量,C0為波束的半錐角.

一般來說,當(dāng)半錐角小于10°時(shí),上述標(biāo)量表示(1)式足以精確地描述零階貝塞爾波束的無衍射特性.但是,當(dāng)半錐角比較大時(shí): 例如kR≈k0,(1)式所表示的貝塞爾波束就會(huì)與實(shí)際情況出現(xiàn)比較大的誤差.因此,Mishra[11]通過兩個(gè)矢勢(shì)來構(gòu)建一個(gè)電磁場(chǎng),得到具有對(duì)稱性的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式.矢量描述是通過引入矢量勢(shì)A來定義零階貝塞爾波束的電磁場(chǎng)[30]:

假設(shè)矢勢(shì)A沿x軸方向偏振,通過求解亥姆霍茲方程,可以得到

對(duì)于矢量波方法,為得到圓對(duì)稱的零階貝塞爾波束,設(shè)沿y方向偏振的矢勢(shì)A′,則

E′和H′的表達(dá)式為

(5)式與(2)式結(jié)果相加再取平均,即可得到沿z軸傳播、x軸偏振的零階貝塞爾波束在其波束坐標(biāo)系Oxyz中的電磁場(chǎng)表示式[11,16]:

2.2 雙零階貝塞爾波束的展開

如圖1(a)所示,兩束零階貝塞爾波束離軸斜入射到UA 介質(zhì)球上,兩波束中心分別為O1和O2.O1x1y1z1和O2x2y2z2分別是以各自波束中心為原點(diǎn),傳播方向?yàn)閦1和z2軸建立的直角坐標(biāo)系.Oxyz是以UA 介質(zhì)球心O為原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系,設(shè)定各向異性介質(zhì)球的主光軸沿z軸方向,半徑為a.設(shè)定在粒子坐標(biāo)系Oxyz中,兩波束中心O1和O2的坐標(biāo)分別為 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2),兩束零階貝塞爾波束的半錐角分別用C1和C2表示,傳播方向分別用k1和k2表示.如圖1(b)所示,設(shè)定α1為第一束零階貝塞爾波束的入射角,是波束傳播方向k1與粒子坐標(biāo)系Oxyz中z軸的夾角;β1為第一束零階貝塞爾波束的極化角,是波束傳播方向k1在粒子坐標(biāo)系Oxyz下xOy面上的投影與x軸的夾角,這樣可以表示出零階貝塞爾波束的傳播和極化方向的任意性.類似地,可以設(shè)定α2和β2為第二束零階貝塞爾波束的入射角和極化角.這里與圖1(b)的情況相同,只是角度的表示不一樣,不再重復(fù)畫出示意圖.值得注意的是,由于UA 介質(zhì)存在主光軸,當(dāng)波束的入射方向與主光軸不同時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的散射特性.入射角定義為0°—180°的范圍,相對(duì)各向異性球形粒子的主光軸z軸而言,零階貝塞爾波束是以任意方向入射UA 介質(zhì)球的.

圖1 雙零階貝塞爾波束離軸斜入射UA 介質(zhì)球的示意圖Fig.1.Schematic diagram of a uniaxial anisotropic sphere illuminated by off-axis obliquely incident double zero-order Bessel beams.

將(6)式和(7)式中相應(yīng)的坐標(biāo)表示 (x,y,z) 分別替代成坐標(biāo)表示 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2),即可以得到兩束零階貝塞爾波束在各自坐標(biāo)系O1x1y1z1和O2x2y2z2的電磁場(chǎng)矢量表示式.由于零階貝塞爾波束的矢量表示式本身就是從麥克斯韋方程組推導(dǎo)得來的,因此可以將這兩束零階貝塞爾波束根據(jù)球矢量波函數(shù)進(jìn)行展開.以第一束零階貝塞爾波束為例,可根據(jù)球矢量波函數(shù)在粒子坐標(biāo)系Oxyz下展開:

其中,ε0和μ0分別為在真空傳播時(shí)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率,ψn(k0a)=k0ajn(k0a) 為黎卡提貝塞爾函數(shù).如果已知原始零階貝塞爾波束在粒子坐標(biāo)系Oxyz下的徑向電磁場(chǎng),則可以通過求解方程(11)式中的二重積分來得到展開系數(shù).需要注意的是,零階貝塞爾波束的入射方向不平行于z軸,因此無法通過簡單的坐標(biāo)平移得到波束的徑向電磁場(chǎng).可以通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)理論來解決這個(gè)問題.如圖2 所示,以第一束零階貝塞爾波束中心O1為原點(diǎn)建立與粒子坐標(biāo)系Oxyz相互平行的中間直角坐標(biāo)系O1x10y10z10.一般地,任意兩個(gè)非平行的直角坐標(biāo)系都可以通過歐勒角α,β,γ角相互旋轉(zhuǎn)得到[34,35].為了簡化,這里只用兩個(gè)角即α1,β1.首先將直角坐標(biāo)系O1x1y1z1繞y1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α1角,得 到z1與z10軸重合;再將O1x1y1z1以z1為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β1角,即可以使直角坐標(biāo)系O1x1y1z1與O1x10y10z10相互重合.

通過圖2 的旋轉(zhuǎn)關(guān)系,可以得到兩個(gè)坐標(biāo)系下坐標(biāo)的關(guān)系:

圖2 兩直角坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)關(guān)系示意圖Fig.2.Schematic diagram of rotation relationship between two rectangular coordinate systems.

由于中間坐標(biāo)系O1x10y10z10與粒子坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)之間有如下關(guān)系:

因此可以得到第一束零階貝塞爾波束在粒子坐標(biāo)系下的電磁場(chǎng)徑向分量,再代入(11)式即可以獲得第一束零階貝塞爾波束在粒子坐標(biāo)系Oxyz下的展開系數(shù).

類似地,建立一個(gè)平行于粒子坐標(biāo)系Oxyz的中間坐標(biāo)系O2x20y20z20,第二束零階貝塞爾波束也可以根據(jù)球矢量波函數(shù)在粒子坐標(biāo)系Oxyz下展開:

同樣可以得到第二束零階貝塞爾波束在粒子坐標(biāo)系下的展開系數(shù):

對(duì)于兩束入射的零階貝塞爾波束,可通過兩個(gè)電磁場(chǎng)的矢量疊加來計(jì)算總?cè)肷鋱?chǎng),則總?cè)肷鋱?chǎng)展開系數(shù)為

2.3 雙零階貝塞爾波束的傳播特性

圖3 為不同半錐角下沿z軸正、負(fù)方向相同極化角時(shí),反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況.零階貝塞爾波束電場(chǎng)振幅E0設(shè)定為1,計(jì)算參數(shù)為:α1=β1=β2=0°,α2=180°,z1=1 μm,z2=-1 μm (后文若無特殊說明,E0=1,z1與z2保持不變).與單束零階貝塞爾波束相比,反向傳播雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布形成了4 個(gè)明顯的孤島.同時(shí),半錐角越大,反向傳播雙零階貝塞爾波束在xOy的場(chǎng)值整體越強(qiáng),4 個(gè)孤島更加向中心區(qū)域集中,周邊區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布也會(huì)形成更多的孤島.

如圖4 所示,計(jì)算了不同半錐角下沿z軸正、負(fù)方向不同極化角時(shí),反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況.計(jì)算參數(shù)為:α1=β1=0°,α2=β2=180°.與極化角相同時(shí)反向傳播雙零階貝塞爾波束(圖3)相比,形成的孤島有所減少,而孤島中心強(qiáng)度卻明顯增加,形成孤島的位置和方位也發(fā)生了較大的改變.在與粒子相互作用中,兩束零階貝塞爾波束極化角不同時(shí),散射特性應(yīng)該會(huì)不同.

圖5 給出了不同半錐角下斜入射反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況.計(jì)算參數(shù)為:α1=30°,α2=210°,β1=β2=0°.雖然雙零階貝塞爾波束的傳播方向是反向的,但是電場(chǎng)強(qiáng)度分布并沒有形成孤島.因?yàn)樾比肷淝闆r下,雙波束相向傳播到波束中心時(shí),應(yīng)該在與其傳播方向相互垂直的面上形成孤島而不是xOy面上.隨著半錐角的增大,雙零階貝塞爾波束在中心區(qū)域的電場(chǎng)漸漸集中,強(qiáng)度增強(qiáng),與圖3 和圖4 所示的電場(chǎng)強(qiáng)度分布非常不同.

圖3 相同極化角下反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.3.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with identical polarization angles:(a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖4 不同極化角下反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.4.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with different polarization angles:(a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖6 展示了不同半錐角下斜入射非反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況.計(jì)算參數(shù)為:α1=30°,α2=120°,β1=β2=0°.由于雙零階貝塞爾波束的傳播方向不是反向,電場(chǎng)強(qiáng)度在xOy面的分布沒有形成較為明顯的孤島,這與非反向傳播的波束并不會(huì)形成駐波的事實(shí)相符合.隨著半錐角的增大,雙零階貝塞爾波束中心區(qū)域的電場(chǎng)漸漸分散,與圖5 所示的電場(chǎng)強(qiáng)度分布剛好相反.與圖3—圖5 相比,圖6 所展示的非反向傳播的雙零階貝塞爾波束場(chǎng)強(qiáng)分布與反向傳播的雙零階貝塞爾波束場(chǎng)強(qiáng)分布有著明顯的區(qū)別,這會(huì)導(dǎo)致入射粒子的散射特性的不同.

圖5 斜入射時(shí)反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.5.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with oblique incidence: (a) C1=C2=5° ;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖6 斜入射時(shí)非反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.6.Electric intensity distribution of non-back propagating double zero-order Bessel beams with oblique incidence: (a)C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

2.4 UA 介質(zhì)球的內(nèi)場(chǎng)展開

對(duì)于半徑為a的UA 介質(zhì)球,其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別表示為

在無源情況下,由UA 介質(zhì)的麥克斯韋方程組可以得到電場(chǎng)矢量波動(dòng)方程:

(19)式即是無源UA 介質(zhì)中電場(chǎng)矢量所滿足的微分波動(dòng)方程.該波動(dòng)方程由于是張量,電場(chǎng)的各個(gè)分量耦合在一起,無法用分離變量法來求解,可以引入傅里葉變換來求解[23]:

通過引入傅里葉變換解本征方程,UA 介質(zhì)球的內(nèi)部電磁場(chǎng)可以用球矢量波函數(shù)表示為[36]

2.5 通過邊界條件求解散系數(shù)

在r=a處,由電磁場(chǎng)在邊界上切向分量連續(xù)有

其中t表示電場(chǎng)磁場(chǎng)的切向分量.將入射場(chǎng)、內(nèi)場(chǎng)及散射場(chǎng)的展開詳細(xì)表達(dá)式代入邊界條件,于是在r=a處,可得

求解上述方程組(27)—(30),消去散射系數(shù)可得

其中,

化簡后可以得到關(guān)于內(nèi)場(chǎng)展開系數(shù)Gmr′q的方程組:

聯(lián)立方程組求解內(nèi)場(chǎng)展開系數(shù)Gmr′q將其代入(27)式和(30)式,可求解出散射系數(shù)的表達(dá)式為[37]

將散射系數(shù)代入(23)式和(24)式中得到散射場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度.由RCS 的定義可得

3 數(shù)值結(jié)果和討論

當(dāng)半錐角為0 時(shí),零階貝塞爾波束將退化為平面波形式.為了驗(yàn)證程序的正確性,我們將單零階貝塞爾波束退化成平面波,計(jì)算了入射UA 介質(zhì)球RCS 的角分布,并且與文獻(xiàn)[38]給出的結(jié)果進(jìn)行了比較.如圖7 所示,發(fā)現(xiàn)二者結(jié)果符合較好,驗(yàn)證了程序與理論公式推導(dǎo)的正確性.圖7 使用的參數(shù)為:εt=2.5ε0,εz=1.0ε0,μt=μz=1.0μ0,λ=1.064 μm,α=β=0°,a=1 μm,C0=0°.Eplane 對(duì)應(yīng)xOz面,稱為E面;H-plane 對(duì)應(yīng)yOz面,稱為H面.

圖7 UA 介質(zhì)球?qū)瘟汶A貝塞爾波束的RCS 角分布Fig.7.Normalized RCS of a UA dielectric sphere illuminated by single zero-order Bessel beam versus the scattering angle.

圖8 計(jì)算了反向傳輸?shù)碾p零階貝塞爾波束退化成平面波入射到UA 球形粒子的RCS 的角分布,并與文獻(xiàn)[39]結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)兩者也符合得比較好,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文理論和程序的正確性.計(jì)算過程中所使用的參數(shù)為εt=2.5ε0,εz=1.0ε0,μt=μz=1.0μ0,λ=1.064 μm,a=1 μm,α1=β1=β2=0°,α2=180°,x1=y1=x2=y2=0,z1=1 μm,z2=-1 μm.比較圖7 和圖8 可以看出,當(dāng)雙零階貝塞爾波束照射UA 球形粒子時(shí),產(chǎn)生的散射效應(yīng)是增加的.雙零階貝塞爾波束入射情況下,由于波束在粒子中存在干涉效應(yīng),所以E面和H面的峰值也不是特別明顯.

圖8 雙零階貝塞爾波束退化成平面波入射UA 介質(zhì)球的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.8.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere by double zero-order Bessel beams when degenerating into plane waves: (a) E-plane;(b) H-plane.

如圖9 所示,計(jì)算了UA 介質(zhì)球?qū)Σ煌x軸情形單零階貝塞爾波束的RCS 角分布,計(jì)算參數(shù)為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1,n0=1.0,α1=β1=0°,C1=C1=10°.當(dāng)入射波束沿x軸方向偏移時(shí),E面和H面上的RCS 值都在減小,E面出現(xiàn)了不對(duì)稱的情況,但是H面上的RCS 的角分布對(duì)稱性和形狀都沒有太大改變.當(dāng)單波束沿y軸方向偏移時(shí),E面和H面上的RCS值也都在減小,與沿x軸方向偏移時(shí)的情形不同,此時(shí)E面上的RCS 角分布的對(duì)稱性和形狀都沒有太大的改變,但是在H面出現(xiàn)不對(duì)稱的情況.之所以出現(xiàn)RCS 值減小的情況,是因?yàn)椴ㄊx軸入射粒子,波束中心距離球心橫向位置越遠(yuǎn)時(shí),波束照射球體的強(qiáng)度會(huì)越小.而沿x軸和y軸偏移會(huì)出現(xiàn)不一樣的情況,是因?yàn)榉轿唤菫?=arctan(y/x),x和y的改變會(huì)影響到散射系數(shù).

圖9 UA 介質(zhì)球?qū)Σ煌x軸情形入射的單零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.9.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by different off-axis incident zero-order Bessel beams:(a) E-plane;(b) H-plane.

如圖10 所示,計(jì)算了UA 介質(zhì)球?qū)Σ煌x軸雙零階貝塞爾波束的RCS 角分布,計(jì)算參數(shù)為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1,n0=1.0,α1=β1=β2=0°,α2=180°,C1=C2=10°.可以明顯地看到,無論波束是沿x軸方向還是沿y軸方向偏離,RCS 值都會(huì)減小.這是因?yàn)殡x軸入射時(shí)波束中心偏離球心的橫向位置越遠(yuǎn),波束照射到球體上的強(qiáng)度就會(huì)越小,這與單波束的情況類似.與圖9 所示單離軸零階貝塞爾波束入射情況相比,圖10 中RCS 角分布發(fā)生了明顯地改變,尤其是雙零階貝塞爾波束沿正y軸和負(fù)y軸離軸入射UA 介質(zhì)球時(shí),RCS 出現(xiàn)了兩個(gè)極小值點(diǎn).

圖10 UA 介質(zhì)球?qū)﹄x軸入射的雙零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.10.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by different off-axis incident double zero-order Bessel beams: (a) E-plane;(b) H-plane.

圖11 計(jì)算了第二束零階貝塞爾波束入射角與第一束零階貝塞爾波束的不同時(shí),雙波束非反向入射UA 球形粒子的RCS 角分布,所用參數(shù)為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1.0μ0,n0=1.0,x1=y1=z1=0,x2=y2=z2=0,α1=β1=β2=0°,C1=C2=20°.可以看出,隨著第二束零階貝塞爾波束入射角不斷的變化而產(chǎn)生的RCS 角分布是不同的.當(dāng)入射角都是0°時(shí),兩束零階貝塞爾波束的傳播方向相同,此時(shí)RCS 值最大.但是兩束波束由于在粒子之間有相互作用的關(guān)系,所得的RCS 值并不是單零階貝塞爾波束入射UA球形粒子時(shí)RCS 的2 倍.隨著第二束零階貝塞爾波束的入射角不斷增大,即第二束零階貝塞爾波束是斜入射時(shí),在E面上峰值沒有正入射時(shí)大,并且峰值出現(xiàn)的次數(shù)會(huì)隨著入射角的不斷增大而增加.這說明在雙波束的入射角度變大時(shí),其相互干涉的效應(yīng)不斷增大.而在H面上,由于雙零階貝塞爾波束的極化方向垂直于H面,所以H面上的RCS 角分布總是對(duì)稱的.

圖11 UA 介質(zhì)球?qū)Σ煌肷浣窍码p零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.11.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by double zero-order Bessel beams with different incident angles: (a) E-plane;(b) H-plane.

圖12 計(jì)算了雙反向傳輸?shù)牧汶A貝塞爾波束在不同錐角入射的情況下UA 介質(zhì)球的RCS 角分布,參數(shù)如下:λ=1.064 μm,a=0.5 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1.0μ0,n0=1.0,x1=y1=x2=y2=0,z1=z2=1 μm,α1=β1=β2=0°,α2=180°.可以看出,隨著零階貝塞爾波束錐角的逐漸增大,在E面和H面的RCS 值都是逐漸減小.這是因?yàn)殡S著錐角的增大,波束之間的干涉效應(yīng)在逐漸增加.當(dāng)兩束波束都沿z軸傳播時(shí),所得到的RCS 值是對(duì)稱的.

圖12 雙反向傳輸?shù)牧汶A貝塞爾波束在不同錐角入射的情況下UA 介質(zhì)球的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.12.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by back propagating double zero-order Bessel beams with different conic angles: (a) E-plane;(b) H-plane.

4 結(jié)論

基于廣義洛倫茲Mie 理論,研究了UA 球形粒子對(duì)兩束具有任意傳播和極化方向的零階貝塞爾波束的傳播和散射特性.利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系及特殊函數(shù)的正交關(guān)系,導(dǎo)出了任意傳播和極化方向的雙零階貝塞爾波束的球矢量波函數(shù)的展開形式及展開系數(shù)的解析表達(dá)式,詳細(xì)討論了單、雙零階貝塞爾波束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布特性.通過將單、雙零階貝塞爾波束退化成平面波的特殊情況下的RCS 角分布與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文理論及程序的正確性.數(shù)值分析了各參數(shù)對(duì)雙零階貝塞爾波束入射UA 球形粒子的RCS 角分布的影響,并與單零階貝塞爾波束入射UA 球形粒子的散射特性進(jìn)行對(duì)比.由于干涉效應(yīng),當(dāng)粒子被雙零階貝塞爾波束照射時(shí),RCS 值并不是單零階貝塞爾波束入射時(shí)的兩倍.且第二束零階貝塞爾波束在入射角增大的時(shí)候干涉效應(yīng)逐漸增強(qiáng),說明使用雙波束與各向異性介質(zhì)產(chǎn)生的相互作用會(huì)更強(qiáng).本文理論和數(shù)值結(jié)果希望能為多波束入射下非各向同性、生物細(xì)胞等復(fù)雜粒子的散射特性、粒徑分析以及光學(xué)微操控等提供理論依據(jù).