基于有理變換的改進(jìn)輔助方程法在變系數(shù)非線性發(fā)展方程中的應(yīng)用

尹天樂(lè) 龐 晶

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué),理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010051;2.內(nèi)蒙古自治區(qū)生命數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

§1 引言

近年來(lái),隨著對(duì)孤子理論的研究,學(xué)者們逐步建立和構(gòu)造起來(lái)一些以計(jì)算機(jī)符號(hào)為主的求解代數(shù)方法,而直接代數(shù)法具有應(yīng)用范圍較為廣泛,容易實(shí)現(xiàn)以及效率較為高的優(yōu)勢(shì).并且,直接代數(shù)法又包含了展開(kāi)法[1-2],雙曲函數(shù)展開(kāi)法[3-6],exp(-φ(ξ))展開(kāi)法[6-7],Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[8-10],輔助方程法[11-14]等,這些方法都具有相似的求解過(guò)程,其求解步驟主要分為四步.(在參考文獻(xiàn)中均有體現(xiàn))

1.對(duì)給定非線性發(fā)展方程進(jìn)行行波變換,得到常微分方程;

2.引入輔助方程,并根據(jù)齊次平衡原則設(shè)解;

3.將輔助方程代入到常微分方程中,并且令相關(guān)整式的各次冪系數(shù)為0,得到一個(gè)代數(shù)方程組;

4.求解代數(shù)方程組,并利用輔助方程的解得到給定非線性發(fā)展方程的精確行波解.

為方便表達(dá),將類似于上述求解過(guò)程的方法統(tǒng)稱為輔助方程法.

各種輔助方程法的主要不同之處是所選擇的輔助方程,在展開(kāi)法中,所選取的輔助方程是二階線性常微分方程(15);在雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法中,所選取的輔助方程是(20);在Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法中,輔助方程類似于(2),等等.簡(jiǎn)言之,大多數(shù)輔助方程可以分為三類: 二階常微分方程和廣義Riccati方程

其中αi和βi為任意常數(shù).在特定的情況下,通過(guò)特定的變換,二階輔助方程可以與廣義Riccati方程或一般橢圓函數(shù)方程相互轉(zhuǎn)換,例如,對(duì)式(1)做變換可以得到式(15),反之同理.

由于各種輔助方程法所引入的輔助方程不盡相同,那么所設(shè)的解也不盡相同,例如在exp(-φ(ξ))展開(kāi)法中,設(shè)解為

其中,ηi(i=1,2,3,···,n)為待定未知量;在雙曲正切函數(shù)法[6]中,設(shè)解為

等等.所以在求解非線性發(fā)展方程時(shí),可否僅依據(jù)方程的自身得到解? 在廣田雙線性方法[14-17]中,可以通過(guò)有理變換(11)得到一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)形式的解,但是在求解變系數(shù)非線性發(fā)展方程時(shí)會(huì)比較困難.

本文總結(jié)前人的方法與經(jīng)驗(yàn),在處理變系數(shù)非線性發(fā)展方程時(shí),將傳統(tǒng)輔助方程法改進(jìn),在做行波變換之前引入有理變換,并通過(guò)特定的方式得到給定方程的初步的解,再依據(jù)輔助方程等得到變系數(shù)非線性發(fā)展方程的精確行波解.§2較為詳細(xì)地說(shuō)明了本文的方法過(guò)程;§3-§5分別用展開(kāi)法,展開(kāi)法和橢圓函數(shù)展開(kāi)法的輔助方程求解了一類KdV方程.結(jié)果表明,本文所給的方法是適用于多種輔助方程,并且通過(guò)有理變換等手段可以求得變系數(shù)非線性發(fā)展方程的一個(gè)相對(duì)統(tǒng)一的解.與傳統(tǒng)輔助方程法相比較,其優(yōu)勢(shì)在于無(wú)需依據(jù)各種輔助方程法的特性去設(shè)解,并且在求解過(guò)程中可以省去如設(shè)解(3),(4)中出現(xiàn)的ηi等多個(gè)待定未知量,這使計(jì)算過(guò)程更加方便簡(jiǎn)潔.更重要的是,本文的方法可以將多種輔助方程法的求解過(guò)程統(tǒng)一化,進(jìn)一步完善輔助方程法的研究理論.

§2 方法簡(jiǎn)介

本節(jié)簡(jiǎn)單說(shuō)明所給的方法.現(xiàn)引入變系數(shù)非線性偏微分方程

其中u=u(x,t)是未知函數(shù).

步驟一 首先作有理變換(11)代入到(5)中,得到由F(x,t)和G(x,t)及它們的各階微分組成的等式

其中F=F(x,t),G=G(x,t)是未知函數(shù).(一般地,為了簡(jiǎn)便計(jì)算,在作有理變換之前,根據(jù)不同方程的不同特點(diǎn),需要引入u=wx或者u=wxx將方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式)*

步驟二 從(6)中選取兩個(gè)特定的項(xiàng)Φ和Ψ,令Φ+Ψ=0,可以得到F(x,t)和G(x,t)的關(guān)系,然后根據(jù)有理變換可以得到方程(5)的解

在這里,Φ和Ψ需要滿足如下條件.

1.Φ是由式(5)中最高階線性項(xiàng)進(jìn)行有理變換所得到的項(xiàng),Ψ是由式(5)中最高冪次的非線性項(xiàng)進(jìn)行有理變換所得到的項(xiàng).

2.Φ和Ψ均是由F(x,t)和G(x,t)及它們的一階微分組成的項(xiàng).

步驟三 做行波變換G(x,t)=G(ξ),其中ξ=kx+ω(t),并且引入輔助方程,例如(15),(25),(32)等.

步驟四 將F(x,t)和G(x,t)的關(guān)系,行波變換以及輔助方程帶入到(6)后,令關(guān)于G(ξ)的整式各次冪的系數(shù)為0,則得到以k和ω(t)為未知量的一個(gè)線性代數(shù)方程組.

步驟五 借助計(jì)算機(jī)軟件Mathematica求解步驟四中得到的代數(shù)方程組,以確定相關(guān)的待定未知量.然后將F(x,t)和G(x,t)的關(guān)系,行波變換以及輔助方程帶入到解(7)中,再依據(jù)輔助方程的解和代數(shù)方程組的解,便可得到方程(5)的精確行波解.

*: 在作有理變換之前引入u=wx或者u=wxx有利于方便計(jì)算,§3 KdV方程為例,其原因主要有以下兩點(diǎn)理由.

一.由于方程(8)中最高階的線性項(xiàng)為u3x的階數(shù)是O(u3x)=n+3,最高冪次的非線性項(xiàng)為uux的階數(shù)是O(uux)=2n+1,平衡得到n=2;然而,在方程(10)中平衡得到n=1,所以方程(10)的截?cái)嘈问郊?jí)數(shù)解要優(yōu)于方程(8)的.

本文的其它方程同理,讀者可自行驗(yàn)證.

§3 改進(jìn)輔助方程法―展開(kāi)法在變系數(shù)KdV方程中的應(yīng)用

展開(kāi)法是王明亮等人于2008年提出的一種構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確行波解的方法,其選取的輔助方程為二階線性微分方程(15).本節(jié)應(yīng)用展開(kāi)法的輔助方程求解變系數(shù)KdV方程

代入到方程(8)后對(duì)x進(jìn)行積分并且取積分常數(shù)為0,將其化成等價(jià)形式

代入到式(10),整理得到

再根據(jù)之前進(jìn)行的有理變換得到方程(8)的解

然后做行波變換G(x,t)=G(ξ),其中ξ=kx+ω(t),G(ξ)為輔助方程

其中a3為任意非0常數(shù).

最后將行波變換以及輔助方程(15)帶入到解(14)中,得到

再根據(jù)輔助方程的解(16)和代數(shù)方程組的解(18),可以得到如下所示的變系數(shù)KdV方程(8)的精確行波解.

當(dāng)Δ ＞0時(shí)有

注對(duì)于本節(jié)情況,若輔助方程(15)的λ1=0,變換可以得到

實(shí)際上,(20)是雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法的輔助方程,只需要令即可.也就說(shuō),雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法可以由本文所給方法進(jìn)行改進(jìn),并且輔助方程(20)同樣適用于本方法.

§4 改進(jìn)輔助方程法―展開(kāi)法在變系數(shù)mKdV 方程中的應(yīng)用

變系數(shù)mKdV方程

可用于非調(diào)和晶格中描述等離子和聲子多重作用的孤立子模型.對(duì)于該方程而言,可以直接進(jìn)行有理變換,則得到類似于上一節(jié)情況,故本節(jié)不再說(shuō)明,而本節(jié)選取的輔助方程是展開(kāi)法中的(25).

同樣引入(9),代入到方程(21)后對(duì)x進(jìn)行積分并且取積分常數(shù)為0,將其化成等價(jià)形式

其中b3和b4為任意非0常數(shù).

最后將行波變換以及輔助方程(25)帶入到解(24)中,再根據(jù)輔助方程的解(26)和代數(shù)方程組的解(28),可以得到如下所示的變系數(shù)mKdV方程的精確行波解.

§5 改進(jìn)輔助方程法―橢圓函數(shù)法在變系數(shù)fKdV方程中的應(yīng)用

本節(jié)以變系數(shù)fKdV方程

為例,所引入的輔助方程為第四類橢圓方程(32).

首先引入(9)代入到式(29)后對(duì)x進(jìn)行積分并且取積分常數(shù)為0,將其化成等價(jià)形式

其次取Φ和Ψ為的最高冪次項(xiàng),可以得到類似于(13)的關(guān)系,再根據(jù)有理變換得到解

然后做行波變換G(x,t)=G(ξ),同樣有ξ=kx+ω(t),G(ξ)為輔助方程

的解,其中c1,c2,c3為常數(shù).文獻(xiàn)[8]給出了方程(32)的多個(gè)精確解,并且在[13]中作者將該方程的解進(jìn)行了等價(jià)性證明和分類,故方程(32)的解如下.

其中c4為任意常數(shù).

最后由行波變換,式(31),式(34)和輔助方程(32)及其解,可以得到如下所示的非線性方程(29)的精確行波解.

§6 解及圖像的簡(jiǎn)要分析

本文運(yùn)用改進(jìn)輔助方程法得到了有理函數(shù),三角函數(shù)和雙曲函數(shù)解.由于變系數(shù)KdV方程和mKdV方程的解較為常見(jiàn),并且在文獻(xiàn)中有所體現(xiàn),故本文僅對(duì)變系數(shù)fKdV方程的部分解進(jìn)行圖像展示和說(shuō)明.圖1-圖6分別是解u7-u12的圖像,其左側(cè)圖為三維圖像,而圖1-圖4的右側(cè)圖是取t=0時(shí)的二維圖像,圖5和圖6的右側(cè)圖是取x=0時(shí)的二維圖像.通過(guò)對(duì)ci(i=1,2,3,4)取值,和d(t)取不同的函數(shù)時(shí),得到了一些孤子解.圖1,圖4是孤子解,圖2,圖3是扭曲孤子解,圖5,圖6是周期亮孤子解.

圖1 解u7的演變: c1=1,c2=4,c3=4,c4=1,d(t)=t,k=1

圖2 解u8的演變: c1=1,c2=2,c3=1,c4=1,d(t)=t,k=1

圖3 解u9的演變: c1=1,c2=4,c3=4,c4=1,d(t)=t,k=1

圖4 解u10的演變: c1=1,c2=4,c3=4,c4=1,d(t)=sin(t),k=1

圖5 解u11的演變: c1=1,c2=2,c3=1,c4=1,d(t)=+sin(t),k=1

圖6 解u12的演變: c1=1,c2=2,c3=1,c4=1,d(t)=sin(t),k=1

§7 總結(jié)

本文成功地將有理變換融入到輔助方程法中,使幾類輔助方程法擁有統(tǒng)一的求解過(guò)程.與其他的方法相比較,本文所給出的方法將多個(gè)待定未知量省去,極大的簡(jiǎn)化了計(jì)算量,并且使用符號(hào)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)Mathematica,成功地使計(jì)算過(guò)程變得清晰簡(jiǎn)潔,具有簡(jiǎn)單易懂,計(jì)算量較少,易于求解的特點(diǎn),并且在求解變系數(shù)發(fā)展方程時(shí)更具有優(yōu)勢(shì).故本文為變系數(shù)非線性發(fā)展方程的研究提供了一個(gè)新的思想,并且為更高階更高維的變系數(shù)方程進(jìn)一步開(kāi)拓了研究與探索的新思路.